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* Page found: Das Hamiltonsche Prinzip (eq math.1322.37)

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\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial \dot{x}}\delta \dot{x} \right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{ \frac{\partial F}{\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial \dot{x}} \right\}\delta x(t)}

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MathML (26.154 KB / 3.136 KB) :

δ ⁢ f = ∫ t 1 t 2 𝑑 t ⁢ δ ⁢ F ⁢ ( x , x ˙ ) = ∫ t 1 t 2 𝑑 t ⁢ { ∂ ⁡ F ∂ ⁡ x ⁢ δ ⁢ x + ∂ ⁡ F ∂ ⁡ x ˙ ⁢ δ ⁢ x ˙ } = ∫ t 1 t 2 𝑑 t ⁢ { ∂ ⁡ F ∂ ⁡ x + d d ⁢ t ⁢ ∂ ⁡ F ∂ ⁡ x ˙ } ⁢ δ ⁢ x ⁢ ( t ) 𝛿 𝑓 superscript subscript subscript 𝑡 1 subscript 𝑡 2 differential-d 𝑡 𝛿 𝐹 𝑥 ˙ 𝑥 superscript subscript subscript 𝑡 1 subscript 𝑡 2 differential-d 𝑡 𝐹 𝑥 𝛿 𝑥 𝐹 ˙ 𝑥 𝛿 ˙ 𝑥 superscript subscript subscript 𝑡 1 subscript 𝑡 2 differential-d 𝑡 𝐹 𝑥 𝑑 𝑑 𝑡 𝐹 ˙ 𝑥 𝛿 𝑥 𝑡 {\displaystyle{\displaystyle\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt% \delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{\frac{% \partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial\dot{x}}\delta\dot{x% }\right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{\frac{\partial F}{% \partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial\dot{x}}\right\}\delta x(t)}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\delta f=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt%&#10;\delta F(x,\dot{x})}=\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{\frac{%&#10;\partial F}{\partial x}\delta x+\frac{\partial F}{\partial\dot{x}}\delta\dot{x%&#10;}\right\}=}\int\limits_{{{t}_{1}}}^{{{t}_{2}}}{dt\left\{\frac{\partial F}{%&#10;\partial x}+\frac{d}{dt}\frac{\partial F}{\partial\dot{x}}\right\}\delta x(t)}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.48" xref="p1.1.m1.1.48.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.48.2" xref="p1.1.m1.1.48.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">δ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.48.2.1" xref="p1.1.m1.1.48.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">f</mi>
      </mrow>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.48.3.1" xref="p1.1.m1.1.48.3.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.48.3.1a" xref="p1.1.m1.1.48.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∫</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.5.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.1.cmml">t</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.5.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.2.1.cmml">1</mn>
            </msub>
            <msub id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6.1.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml">t</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.2.1.cmml">2</mn>
            </msub>
          </munderover>
        </mstyle>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.48.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.2.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">𝑑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">t</mi>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.48.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">δ</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.48.3.2.1a" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">F</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.48.3.2.1b" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.48.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.3.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.3.1.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">x</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.3.1.cmml">,</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">x</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">˙</mo>
            </mover>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.48.3.2.3.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
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        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.48.4.1" xref="p1.1.m1.1.48.4.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.48.4.1a" xref="p1.1.m1.1.48.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">∫</mo>
            <msub id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">t</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.18.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.1.cmml">1</mn>
            </msub>
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              <mi id="p1.1.m1.1.19.1.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.1.cmml">t</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.19.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.2.1.cmml">2</mn>
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          </munderover>
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        <mrow id="p1.1.m1.1.48.4.2" xref="p1.1.m1.1.48.4.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.48.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.48.4.2.2.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">𝑑</mo>
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          </mrow>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.48.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.48.4.2.3.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.48.4.2.3.1.cmml">{</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.48.4.2.3.2" xref="p1.1.m1.1.48.4.2.3.2.cmml">
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                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.27.2.2" xref="p1.1.m1.1.27.2.2.cmml">F</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.29.1.cmml">˙</mo>
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        </mrow>
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          <munderover id="p1.1.m1.1.48.5.1a" xref="p1.1.m1.1.48.5.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">∫</mo>
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            </msub>
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              <mn id="p1.1.m1.1.34.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.34.1.2.1.cmml">2</mn>
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          </munderover>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.48.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.48.5.2.2.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">𝑑</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.36.cmml">t</mi>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.48.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.48.5.2.1.cmml">⁢</mo>
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            <mo id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.48.5.2.3.1.cmml">{</mo>
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