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* Page found: Operatoren im Hilbertraum (eq math.1626.65)

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TeX (original user input): 

\left\langle {\hat{F}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\left\langle  \Psi  | {\bar{r}} \right\rangle \hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left\langle  {\bar{r}} | \Psi  \right\rangle }=\left\langle  \Psi  \right|\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar }{i}\nabla )\left| \Psi  \right\rangle

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (13.093 KB / 1.966 KB) :

⟨ F ^ ⟩ = ∫ d 3 ⁢ r ⁢ ⟨ Ψ | r ¯ ⟩ ⁢ F ^ ⁢ ( r ¯ , ℏ i ⁢ ∇ ) ⁢ ⟨ r ¯ | Ψ ⟩ = ⟨ Ψ | F ^ ⁢ ( r ¯ , ℏ i ⁢ ∇ ) | Ψ ⟩ delimited-⟨⟩ ^ 𝐹 superscript 𝑑 3 𝑟 inner-product Ψ ¯ 𝑟 ^ 𝐹 ¯ 𝑟 Planck-constant-over-2-pi 𝑖 ∇ inner-product ¯ 𝑟 Ψ quantum-operator-product Ψ ^ 𝐹 ¯ 𝑟 Planck-constant-over-2-pi 𝑖 ∇ Ψ {\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{F}}\right\rangle=\int{{{d}^{3}}r% \left\langle\Psi|{\bar{r}}\right\rangle\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar}{i}\nabla)% \left\langle{\bar{r}}|\Psi\right\rangle}=\left\langle\Psi\right|\hat{F}(\bar{r% },\frac{\hbar}{i}\nabla)\left|\Psi\right\rangle}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{F}}\right\rangle=\int{{{d}^{3}}r%&#10;\left\langle\Psi|{\bar{r}}\right\rangle\hat{F}(\bar{r},\frac{\hbar}{i}\nabla)%&#10;\left\langle{\bar{r}}|\Psi\right\rangle}=\left\langle\Psi\right|\hat{F}(\bar{r%&#10;},\frac{\hbar}{i}\nabla)\left|\Psi\right\rangle}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.40" xref="p1.1.m1.1.40.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.40.2" xref="p1.1.m1.1.40.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.40.2.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">F</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.40.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.40.3" xref="p1.1.m1.1.40.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.40.3a" xref="p1.1.m1.1.40.3.cmml">
          <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∫</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.40.3.1" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.cmml">
            <msup id="p1.1.m1.1.40.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">d</mi>
              <mn id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">3</mn>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">r</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1.1a" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.40.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.3.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">Ψ</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.3.1.1.cmml">|</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.12.2" xref="p1.1.m1.1.12.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.3.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1.1b" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">F</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1.1c" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.40.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.1.cmml">
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.1.cmml">(</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.16.1" xref="p1.1.m1.1.16.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.1.cmml">,</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.18.2" xref="p1.1.m1.1.18.2.cmml">ℏ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.18.3" xref="p1.1.m1.1.18.3.cmml">i</mi>
                </mfrac>
                <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">∇</mo>
              </mrow>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.40.3.1.1d" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.40.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.5.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.5.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">r</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.5.1.1.cmml">|</mo>
              <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.24.cmml">Ψ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.5.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.40.4" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">Ψ</mi>
        <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.29" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.1.cmml">|</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.40.4.2" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.cmml">
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.30" xref="p1.1.m1.1.30.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.30.2" xref="p1.1.m1.1.30.2.cmml">F</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.30.1" xref="p1.1.m1.1.30.1.cmml">^</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.40.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.40.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.31" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.cmml">(</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.cmml">r</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.32.1" xref="p1.1.m1.1.32.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.33" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.cmml">,</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2.cmml">
              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.34" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.34a" xref="p1.1.m1.1.34.cmml">
                  <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.34.2" xref="p1.1.m1.1.34.2.cmml">ℏ</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.34.3" xref="p1.1.m1.1.34.3.cmml">i</mi>
                </mfrac>
              </mstyle>
              <mo id="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2.1.cmml">⁢</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.35" xref="p1.1.m1.1.35.cmml">∇</mo>
            </mrow>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.36" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
        <mo fence="true" id="p1.1.m1.1.37" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.1.cmml">|</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.38" xref="p1.1.m1.1.38.cmml">Ψ</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.39" xref="p1.1.m1.1.40.4.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
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          <eq id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.40.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.2">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.40.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">delimited-⟨⟩</csymbol>
            <apply id="p1.1.m1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2">
              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">^</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2">𝐹</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.40.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3">
            <int id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.40.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1">
              <times id="p1.1.m1.1.40.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.40.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.2">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.40.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.2">superscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝑑</ci>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">3</cn>
              </apply>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8">𝑟</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.40.3.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.3">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.40.3.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">inner-product</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">Ψ</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12">
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.12.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.2">𝑟</ci>
                </apply>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
                <ci id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.1">^</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">𝐹</ci>
              </apply>
              <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.40.3.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4">
                <apply id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">
                  <ci id="p1.1.m1.1.16.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.16.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.2">𝑟</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.4.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">
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                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.18.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.18.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.3">𝑖</ci>
                  </apply>
                  <ci id="p1.1.m1.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.19">∇</ci>
                </apply>
              </interval>
              <apply id="p1.1.m1.1.40.3.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.3.1.5">
                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.40.3.1.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">inner-product</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">
                  <ci id="p1.1.m1.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">𝑟</ci>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.24.cmml" xref="p1.1.m1.1.24">Ψ</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.40c.cmml" xref="p1.1.m1.1.40">
          <eq id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.40.3.cmml" id="p1.1.m1.1.40d.cmml" xref="p1.1.m1.1.40"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.40.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4">
            <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.40.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">quantum-operator-product</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">Ψ</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.40.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4.2">
              <times id="p1.1.m1.1.40.4.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.30.cmml" xref="p1.1.m1.1.30">
                <ci id="p1.1.m1.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.1">^</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.30.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.30.2">𝐹</ci>
              </apply>
              <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.40.4.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2">
                <apply id="p1.1.m1.1.32.cmml" xref="p1.1.m1.1.32">
                  <ci id="p1.1.m1.1.32.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.1">¯</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.32.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.2">𝑟</ci>
                </apply>
                <apply id="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2">
                  <times id="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.40.4.2.2.2.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.34.cmml" xref="p1.1.m1.1.34">
                    <divide id="p1.1.m1.1.34.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.34"/>
                    <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.34.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.2">Planck-constant-over-2-pi</csymbol>
                    <ci id="p1.1.m1.1.34.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.34.3">𝑖</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.35.cmml" xref="p1.1.m1.1.35">∇</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.38.cmml" xref="p1.1.m1.1.38">Ψ</ci>
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\left\langle{\bar{r}}|\Psi\right\rangle}=\left\langle\Psi\right|\hat{F}(\bar{r%
},\frac{\hbar}{i}\nabla)\left|\Psi\right\rangle}}</annotation>
  </semantics>
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⟨F^⟩=∫d3r⟨Ψ|r¯⟩F^(r¯,ℏi∇)⟨r¯|Ψ⟩=⟨Ψ|F^(r¯,ℏi∇)|Ψ⟩
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