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F(x,s):=\frac{1}{1-s}\exp \left\{ -x\frac{s}{1-s} \right\}=\sum\limits_{q=0}^{\infty }{{}}{{L}_{q}}(x)\frac{{{s}^{q}}}{q!}

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MathML (11.115 KB / 1.813 KB) :

F ⁢ ( x , s ) := 1 1 - s ⁢ exp ⁡ { - x ⁢ s 1 - s } = ∑ q = 0 ∞ L q ⁢ ( x ) ⁢ s q q ! assign 𝐹 𝑥 𝑠 1 1 𝑠 𝑥 𝑠 1 𝑠 superscript subscript 𝑞 0 subscript 𝐿 𝑞 𝑥 superscript 𝑠 𝑞 𝑞 {\displaystyle{\displaystyle F(x,s):=\frac{1}{1-s}\exp\left\{-x\frac{s}{1-s}% \right\}=\sum\limits_{q=0}^{\infty}{{}}{{L}_{q}}(x)\frac{{{s}^{q}}}{q!}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle F(x,s):=\frac{1}{1-s}\exp\left\{-x\frac{s}{1-s}%&#10;\right\}=\sum\limits_{q=0}^{\infty}{{}}{{L}_{q}}(x)\frac{{{s}^{q}}}{q!}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.26.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">F</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.26.2.1" xref="p1.1.m1.1.26.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.26.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.1.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.1.cmml">(</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">x</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.1.cmml">,</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">s</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.26.2.2.1.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">:=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.26.3" xref="p1.1.m1.1.26.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.9a" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.9.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.9.3.1" xref="p1.1.m1.1.9.3.1.cmml">1</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.9.3.2" xref="p1.1.m1.1.9.3.2.cmml">-</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.3.3" xref="p1.1.m1.1.9.3.3.cmml">s</mi>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.26.3.1" xref="p1.1.m1.1.26.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.26.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">exp</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.26.3.2.2a" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.1.cmml">⁡</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.26.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.1.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.1.cmml">{</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">-</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">x</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                  <mfrac id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">s</mi>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.cmml">1</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.14.3.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.3.cmml">s</mi>
                    </mrow>
                  </mfrac>
                </mstyle>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.1.cmml">}</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.26.4" xref="p1.1.m1.1.26.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.26.4.1" xref="p1.1.m1.1.26.4.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.26.4.1a" xref="p1.1.m1.1.26.4.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.18.1.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml">q</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.18.1.2" xref="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.18.1.3" xref="p1.1.m1.1.18.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.19.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
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          <msub id="p1.1.m1.1.26.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">L</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">q</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.26.4.2.1" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.26.4.2.3" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">x</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.24" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.26.4.2.1a" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.25a" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">
              <msup id="p1.1.m1.1.25.2" xref="p1.1.m1.1.25.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.25.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.1.cmml">s</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.25.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.25.2.2.1.cmml">q</mi>
              </msup>
              <mrow id="p1.1.m1.1.25.3" xref="p1.1.m1.1.25.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.25.3.1" xref="p1.1.m1.1.25.3.1.cmml">q</mi>
                <mo lspace="0pt" rspace="3.5pt" id="p1.1.m1.1.25.3.2" xref="p1.1.m1.1.25.3.2.cmml">!</mo>
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              <ci id="p1.1.m1.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.3">𝑥</ci>
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                <minus id="p1.1.m1.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.12"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.3.2.2.1.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13">𝑥</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
                    <divide id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">𝑠</ci>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.14.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.3">𝑠</ci>
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                  <eq id="p1.1.m1.1.18.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.2"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.18.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1.1">𝑞</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.26.4.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.26.4.2.2">
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F(x,s):=11−sexp⁡{−xs1−s}=∑q=0∞Lq(x)sqq!
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