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TeX (original user input): 

\begin{align}

& \left\langle  \uparrow  | \uparrow  \right\rangle =\left\langle  \downarrow  | \downarrow  \right\rangle =1 \\

& \left\langle  \uparrow  | \downarrow  \right\rangle =0 \\

\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&\left\langle \uparrow |\uparrow \right\rangle =\left\langle \downarrow |\downarrow \right\rangle =1\\&\left\langle \uparrow |\downarrow \right\rangle =0\\\end{aligned}}

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⟨ ↑ | ↑ ⟩ = ⟨ ↓ | ↓ ⟩ = 1 ⟨ ↑ | ↓ ⟩ = 0 absent inner-product ↑ ↑ inner-product ↓ ↓ 1 absent inner-product ↑ ↓ 0 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle\left\langle% \uparrow|\uparrow\right\rangle=\left\langle\downarrow|\downarrow\right\rangle=% 1\\ \par&\displaystyle\left\langle\uparrow|\downarrow\right\rangle=0\\ \par\end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle\left\langle%&#10;\uparrow|\uparrow\right\rangle=\left\langle\downarrow|\downarrow\right\rangle=%&#10;1\\&#10;\par&amp;\displaystyle\left\langle\uparrow|\downarrow\right\rangle=0\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">↑</mo>
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            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">=</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">⟨</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">↓</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">↓</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.16.1.1.cmml">⟩</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.cmml">=</mo>
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            </mrow>
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      </matrix>
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1\\
\par&amp;\displaystyle\left\langle\uparrow|\downarrow\right\rangle=0\\
\par\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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⟨↑|↑⟩=⟨↓|↓⟩=1⟨↑|↓⟩=0
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mo>&#x2191;</mo><mo>|</mo><mo>&#x2191;</mo><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mo>&#x2193;</mo><mo>|</mo><mo>&#x2193;</mo><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mo>&#x2191;</mo><mo>|</mo><mo>&#x2193;</mo><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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