<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\hat{G}}_{+}}:=\frac{1}{\left(E-{{{\hat{H}}}_{0}%&#10;}+i\varepsilon\right)}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.6.1" xref="p1.1.m1.1.6.1.cmml">
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.cmml">G</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">+</mo>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">:=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.5a" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">
          <mn id="p1.1.m1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.5.2.cmml">1</mn>
          <mrow id="p1.1.m1.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.cmml">(</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.11" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.11.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.2.cmml">E</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.3.3" xref="p1.1.m1.1.5.3.3.cmml">-</mo>
                <msub id="p1.1.m1.1.5.3.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.1.1.cmml">
                  <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.5.3.4.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.2.cmml">H</mi>
                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.1.cmml">^</mo>
                  </mover>
                  <mn id="p1.1.m1.1.5.3.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.5.1.cmml">0</mn>
                </msub>
              </mrow>
              <mo id="p1.1.m1.1.5.3.6" xref="p1.1.m1.1.5.3.6.cmml">+</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.5.3.11.2" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.5.3.7" xref="p1.1.m1.1.5.3.7.cmml">i</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.5.3.11.2.1" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.2.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.3.8" xref="p1.1.m1.1.5.3.8.cmml">ε</mi>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.5.3.9" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mfrac>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">
        <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">assign</csymbol>
        <apply id="p1.1.m1.1.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.6.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.6.1">subscript</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1">^</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2">𝐺</ci>
          </apply>
          <plus id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1"/>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.5">
          <divide id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5"/>
          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.2">1</cn>
          <apply id="p1.1.m1.1.5.3.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3">
            <plus id="p1.1.m1.1.5.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.6"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.5.3.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.1">
              <minus id="p1.1.m1.1.5.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.3"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.2">𝐸</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.5.3.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.5.3.11.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.1.1">subscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.5.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.4">
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.1">^</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.3.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.4.2">𝐻</ci>
                </apply>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.5.3.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.5.1">0</cn>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.5.3.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.2">
              <times id="p1.1.m1.1.5.3.11.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.11.2.1"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.3.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.7">𝑖</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.5.3.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.3.8">𝜀</ci>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle{{\hat{G}}_{+}}:=\frac{1}{\left(E-{{{\hat{H}}}_{0}%
}+i\varepsilon\right)}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>G</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo>+</mo></mrow></msub></mstyle><mi>:</mi><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>E</mi><mo>&#x2212;</mo><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>H</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>i</mi><mi>&#x03B5;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mrow></mfrac></mrow></mrow></math>