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* Page found: Drehimpulsdarstellung und Streuphasen (eq math.1796.6)

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Drehimpulsdarstellung und Streuphasen Eq: math.1796.6

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TeX (original user input):

{{\Psi }_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}={{e}^{ikr\cos \vartheta }}=\sum\limits_{l=0}^{\infty }{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )

TeX (checked):

{{\Psi }_{e}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}={{e}^{ikr\cos \vartheta }}=\sum \limits _{l=0}^{\infty }{}{\frac {1}{r}}{{u}_{l}}(r){{P}_{l}}(\cos \vartheta )

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (12.255 KB / 1.901 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle{{\Psi}_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}={{e}% ^{ikr\cos\vartheta}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty}{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}% _{l}}(\cos\vartheta)}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\Psi}_{e}}(\bar{r})={{e}^{i\bar{k}\bar{r}}}={{e}%&#10;^{ikr\cos\vartheta}}=\sum\limits_{l=0}^{\infty}{{}}\frac{1}{r}{{u}_{l}}(r){{P}%&#10;_{l}}(\cos\vartheta)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">
        <msub id="p1.1.m1.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml">
          <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Ψ</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">e</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.28.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.2.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">(</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.4.2" xref="p1.1.m1.1.4.2.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.4.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">)</mo>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
      <msup id="p1.1.m1.1.28.3" xref="p1.1.m1.1.28.3.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">e</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.8.1.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml">i</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.8.1.4" xref="p1.1.m1.1.8.1.4.cmml">⁢</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8.1.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.8.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.2.cmml">k</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
          <mo id="p1.1.m1.1.8.1.4a" xref="p1.1.m1.1.8.1.4.cmml">⁢</mo>
          <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.8.1.3" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.8.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.2.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.8.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.1.cmml">¯</mo>
          </mover>
        </mrow>
      </msup>
      <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">=</mo>
      <msup id="p1.1.m1.1.28.4" xref="p1.1.m1.1.28.4.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">e</mi>
        <mrow id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.11.1.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml">i</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.11.1.6" xref="p1.1.m1.1.11.1.6.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.11.1.2" xref="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml">k</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.11.1.6a" xref="p1.1.m1.1.11.1.6.cmml">⁢</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.11.1.3" xref="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml">r</mi>
          <mo id="p1.1.m1.1.11.1.6b" xref="p1.1.m1.1.11.1.6.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.11.1.7" xref="p1.1.m1.1.11.1.7.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.11.1.4" xref="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml">cos</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.11.1.7a" xref="p1.1.m1.1.11.1.7.cmml">⁡</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.11.1.5" xref="p1.1.m1.1.11.1.5.cmml">ϑ</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </msup>
      <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.5" xref="p1.1.m1.1.28.5.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.5.1" xref="p1.1.m1.1.28.5.1.cmml">
          <munderover id="p1.1.m1.1.28.5.1a" xref="p1.1.m1.1.28.5.1.cmml">
            <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">∑</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.14.1.1.cmml">l</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.14.1.2.cmml">=</mo>
              <mn id="p1.1.m1.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.14.1.3.cmml">0</mn>
            </mrow>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.15.1" xref="p1.1.m1.1.15.1.cmml">∞</mi>
          </munderover>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.5.2" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
            <mfrac id="p1.1.m1.1.16a" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.16.2" xref="p1.1.m1.1.16.2.cmml">1</mn>
              <mi id="p1.1.m1.1.16.3" xref="p1.1.m1.1.16.3.cmml">r</mi>
            </mfrac>
          </mstyle>
          <mo id="p1.1.m1.1.28.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.28.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.2.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">u</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.18.1" xref="p1.1.m1.1.18.1.cmml">l</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.28.5.2.1a" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.5.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.cmml">
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.cmml">(</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">r</mi>
            <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.cmml">)</mo>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.28.5.2.1b" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <msub id="p1.1.m1.1.28.5.2.4" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.4.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">P</mi>
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          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.28.5.2.1c" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.5.2.5" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.5.2.cmml">
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              <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">cos</mi>
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              <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">Ψ</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑒</ci>
            </apply>
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              <ci id="p1.1.m1.1.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.1">¯</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.4.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.4.2">𝑟</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.3">superscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.7">𝑒</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1">
              <times id="p1.1.m1.1.8.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.4"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.8.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.1">𝑖</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2">
                <ci id="p1.1.m1.1.8.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.1">¯</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.2.2">𝑘</ci>
              </apply>
              <apply id="p1.1.m1.1.8.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.3">
                <ci id="p1.1.m1.1.8.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.1">¯</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.8.1.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.8.1.3.2">𝑟</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.28c.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">
          <eq id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.28.3.cmml" id="p1.1.m1.1.28d.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.4">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.4">superscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.10">𝑒</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.11.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1">
              <times id="p1.1.m1.1.11.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.6"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.1">𝑖</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.2">𝑘</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.3">𝑟</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.11.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.7">
                <cos id="p1.1.m1.1.11.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.4"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.11.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.1.5">italic-ϑ</ci>
              </apply>
            </apply>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.28e.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">
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          <share href="#p1.1.m1.1.28.4.cmml" id="p1.1.m1.1.28f.cmml" xref="p1.1.m1.1.28"/>
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            <apply id="p1.1.m1.1.28.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.5.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.1">superscript</csymbol>
              <apply id="p1.1.m1.1.28.5.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.5.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.1">subscript</csymbol>
                <sum id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
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                <ci id="p1.1.m1.1.16.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.16.3">𝑟</ci>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.5.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.2">subscript</csymbol>
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                <ci id="p1.1.m1.1.18.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.18.1">𝑙</ci>
              </apply>
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                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.5.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.4">subscript</csymbol>
                <ci id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">𝑃</ci>
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              <apply id="p1.1.m1.1.28.5.2.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.5.2.5">
                <cos id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
                <ci id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">italic-ϑ</ci>
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_{l}}(\cos\vartheta)}}</annotation>
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Ψ_{e} (\bar{r}) = e^{i \bar{k} \bar{r}} = e^{i k r \cos ϑ} = \sum_{l = 0}^{\infty} \frac{1}{r} u_{l} (r) P_{l} (\cos ϑ)

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><msub><mi mathvariant="normal">&#x03A8;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>e</mi></mrow></msub></mstyle><mo stretchy="false">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>k</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>r</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>r</mi><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><munderover><mo form="prefix" texclass="OP">&#x2211;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi mathvariant="normal">&#x221E;</mi></mrow></munderover><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>r</mi></mrow></mfrac></mrow><msub><mi>u</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mi>P</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>l</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D1;</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></math>

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$\bar{r}$

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$r$

$ϑ$

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$r$

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