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* Page found: Wirkungs- und Winkelvariable (eq math.1995.7)

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Wirkungs- und Winkelvariable Eq: math.1995.7

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TeX (original user input):

\begin{align}
  & \dot{\phi }=\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial {{p}_{\phi }}}=\frac{{{p}_{\phi }}}{m{{l}^{2}}} \\
 & {{{\dot{p}}}_{\phi }}=-\frac{\partial H(\phi ,{{p}_{{\dot{\phi }}}})}{\partial \phi }=-mgl\sin \phi  \\
\end{align}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (19.535 KB / 2.429 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\dot{\phi}=\frac{% \partial H(\phi,{{p}_{{\dot{\phi}}}})}{\partial{{p}_{\phi}}}=\frac{{{p}_{\phi}% }}{m{{l}^{2}}}\\ &\displaystyle{{{\dot{p}}}_{\phi}}=-\frac{\partial H(\phi,{{p}_{{\dot{\phi}}}}% )}{\partial\phi}=-mgl\sin\phi\\ \end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\dot{\phi}=\frac{%&#10;\partial H(\phi,{{p}_{{\dot{\phi}}}})}{\partial{{p}_{\phi}}}=\frac{{{p}_{\phi}%&#10;}}{m{{l}^{2}}}\\&#10;&amp;\displaystyle{{{\dot{p}}}_{\phi}}=-\frac{\partial H(\phi,{{p}_{{\dot{\phi}}}}%&#10;)}{\partial\phi}=-mgl\sin\phi\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">ϕ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">˙</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.cmml">
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.10.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.1.cmml">∂</mo>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.10a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.10.cmml">⁡</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.2.cmml">H</mi>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.9.cmml">⁢</mo>
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                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4.cmml">ϕ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.11.1.cmml">,</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.11.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.11.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.6.cmml">p</mi>
                      <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.cmml">
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.2.cmml">ϕ</mi>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.1.cmml">˙</mo>
                      </mover>
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                    <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.11.1.cmml">)</mo>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.1.cmml">∂</mo>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.cmml">⁡</mo>
                  <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.4.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml">p</mi>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml">ϕ</mi>
                  </msub>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
              <mfrac id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">
                <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.1.cmml">p</mi>
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.2.2.1.cmml">ϕ</mi>
                </msub>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml">m</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.4.cmml">⁢</mo>
                  <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.5.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.2.cmml">l</mi>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.3.1.cmml">2</mn>
                  </msup>
                </mrow>
              </mfrac>
            </mstyle>
          </mrow>
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            <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml">
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">-</mo>
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.2.cmml">H</mi>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.9.cmml">⁢</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.1.2.cmml">ϕ</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.1.1.cmml">˙</mo>
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              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">-</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1.cmml">⁢</mo>
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                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1.cmml">⁢</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">l</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.1.1.cmml">⁢</mo>
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                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1">˙</ci>
                <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2">italic-ϕ</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.4">italic-ϕ</ci>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1">
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.1">˙</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.2.7.1.1.2">italic-ϕ</ci>
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                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.2">𝑝</ci>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.3.3.1">italic-ϕ</ci>
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                  <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.4"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.3.1">𝑚</ci>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.2">𝑝</ci>
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                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.2.7.1.1.1">˙</ci>
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}}{m{{l}^{2}}}\\
&amp;\displaystyle{{{\dot{p}}}_{\phi}}=-\frac{\partial H(\phi,{{p}_{{\dot{\phi}}}}%
)}{\partial\phi}=-mgl\sin\phi\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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\begin{aligned} \dot{ϕ} = \frac{\partial H (ϕ, p_{\dot{ϕ}})}{\partial p_{ϕ}} = \frac{p_{ϕ}}{m l^{2}} \\ {\dot{p}}_{ϕ} = - \frac{\partial H (ϕ, p_{\dot{ϕ}})}{\partial ϕ} = - m g l \sin ϕ \end{aligned}

<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03D5;</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>H</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>&#x03D5;</mi><mo>,</mo><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03D5;</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03D5;</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03D5;</mi></mrow></msub></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>m</mi><msup><mi>l</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>p</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x03D5;</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mfrac><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>H</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>&#x03D5;</mi><mo>,</mo><msub><mi>p</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03D5;</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mrow></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mi>&#x2202;</mi><mi>&#x03D5;</mi></mrow></mrow></mfrac></mrow><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>m</mi><mi>g</mi><mi>l</mi><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x03D5;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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