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\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}

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MathML (8.505 KB / 1.415 KB) :

∑ i = 1 f r i ⁢ ω i = 0   r i ∈ Z ⇔ r 1 = … = r f = 0 ⇔ formulae-sequence superscript subscript 𝑖 1 𝑓 subscript 𝑟 𝑖 subscript 𝜔 𝑖 0 subscript 𝑟 𝑖 𝑍 subscript 𝑟 1 … subscript 𝑟 𝑓 0 {\displaystyle{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega}_{i}}=0% \quad{{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow{{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega}_{i}}=0%&#10;\quad{{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow{{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.28" xref="p1.1.m1.1.28.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.1.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.cmml">
            <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1.cmml">
              <munderover id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1.cmml">
                <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">∑</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml">i</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
                  <mn id="p1.1.m1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml">1</mn>
                </mrow>
                <mi id="p1.1.m1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.3.1.cmml">f</mi>
              </munderover>
            </mstyle>
            <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.2.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">r</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">i</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.1.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.3.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">ω</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">i</mi>
              </msub>
            </mrow>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">=</mo>
          <mn id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">0</mn>
        </mrow>
        <mo mathvariant="italic" separator="true" id="p1.1.m1.1.27" xref="p1.1.m1.1.28.1.1a.cmml"> </mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.28.1.3" xref="p1.1.m1.1.28.1.3.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.28.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.28.1.3.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">r</mi>
            <mi id="p1.1.m1.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.12.1.cmml">i</mi>
          </msub>
          <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">∈</mo>
          <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">Z</mi>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">⇔</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.28.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.cmml">
        <msub id="p1.1.m1.1.28.2.2" xref="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">r</mi>
          <mn id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">1</mn>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">=</mo>
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">…</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">=</mo>
        <msub id="p1.1.m1.1.28.2.3" xref="p1.1.m1.1.28.2.3.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">r</mi>
          <mi id="p1.1.m1.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.24.1.cmml">f</mi>
        </msub>
        <mo id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">=</mo>
        <mn id="p1.1.m1.1.26" xref="p1.1.m1.1.26.cmml">0</mn>
      </mrow>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
      <apply id="p1.1.m1.1.28.cmml" xref="p1.1.m1.1.28">
        <ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">⇔</ci>
        <apply id="p1.1.m1.1.28.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1">
          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.27">formulae-sequence</csymbol>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2">
            <eq id="p1.1.m1.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.8"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1">
              <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1">
                <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1">superscript</csymbol>
                <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.1">subscript</csymbol>
                  <sum id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1"/>
                  <apply id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">
                    <eq id="p1.1.m1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.2"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.1">𝑖</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1.3">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
                <ci id="p1.1.m1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.3.1">𝑓</ci>
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                <apply id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.2">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.2">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4">𝑟</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.5.1">𝑖</ci>
                </apply>
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                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.2.1.2.3">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.6">𝜔</ci>
                  <ci id="p1.1.m1.1.7.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.1">𝑖</ci>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.9">0</cn>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.3">
            <in id="p1.1.m1.1.13.cmml" xref="p1.1.m1.1.13"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.3.1">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.1.3.1">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.11.cmml" xref="p1.1.m1.1.11">𝑟</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.12.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.12.1">𝑖</ci>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">𝑍</ci>
          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.28.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">
          <and id="p1.1.m1.1.28.2a.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.2b.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">
            <eq id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.2">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝑟</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.17.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.17.1">1</cn>
            </apply>
            <ci id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">…</ci>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.2c.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">
            <eq id="p1.1.m1.1.22.cmml" xref="p1.1.m1.1.22"/>
            <share href="#p1.1.m1.1.21.cmml" id="p1.1.m1.1.28.2d.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.28.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.28.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2.3">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.23.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">𝑟</ci>
              <ci id="p1.1.m1.1.24.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.24.1">𝑓</ci>
            </apply>
          </apply>
          <apply id="p1.1.m1.1.28.2e.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2">
            <eq id="p1.1.m1.1.25.cmml" xref="p1.1.m1.1.25"/>
            <share href="#p1.1.m1.1.28.2.3.cmml" id="p1.1.m1.1.28.2f.cmml" xref="p1.1.m1.1.28.2"/>
            <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.26.cmml" xref="p1.1.m1.1.26">0</cn>
          </apply>
        </apply>
      </apply>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega}_{i}}=0%
\quad{{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow{{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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∑ i = 1 f r i ω i = 0 r i ∈ Z ⇔ r 1 = . . . = r f = 0 {\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block" alttext="{\displaystyle \sum \limits _{i=1}^{f}{{{r}_{i}}{{\omega }_{i}}=0\quad {{r}_{i}}\in Z\Leftrightarrow {{r}_{1}}=...={{r}_{f}}=0}}">
  <semantics>
    <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
      <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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          <mo movablelimits="false">&#x2211;<!-- ∑ --></mo>
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            <mn>1</mn>
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            <mi>f</mi>
          </mrow>
        </munderover>
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          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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                <mi>&#x03C9;<!-- ω --></mi>
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          <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
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          <mo>&#x2208;<!-- ∈ --></mo>
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          <mo stretchy="false">&#x21D4;<!-- ⇔ --></mo>
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