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Display information for equation id:math.2045.48 on revision:2045

* Page found: Stabilität und Langzeitverhalten (eq math.2045.48)

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Hash: ad2e61cc506a979dec582dac80b11334

TeX (original user input): 

\begin{align}
  & \bar{\varpi }{{*}^{(2)}}=\left( \begin{matrix}
   0 & \omega  & 0  \\
\end{matrix} \right): \\
 & 0=\det (A-\lambda 1)=\left| \begin{matrix}
   -\lambda  & 0 & -{{k}_{1}}\omega   \\
   0 & -\lambda  & {{0}_{{}}}  \\
   -{{k}_{3}}\omega  & 0 & -\lambda   \\
\end{matrix} \right|=-\lambda \left( {{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}} \right) \\
 & \Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm \omega \sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{3}}} \\
\end{align}

TeX (checked): 

{\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(2)}}=\left({\begin{matrix}0&\omega &0\\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &0&-{{k}_{1}}\omega \\0&-\lambda &{{0}_{}}\\-{{k}_{3}}\omega &0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm \omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{3}}}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (34.932 KB / 4.053 KB) :

ϖ ¯ * ( 2 ) = ( 0 ω 0 ) : 0 = det ⁡ ( A - λ ⁢ 1 ) = | - λ 0 - k 1 ⁢ ω 0 - λ 0 - k 3 ⁢ ω 0 - λ | = - λ ⁢ ( λ 2 + k 1 ⁢ k 3 ⁢ ω 2 ) ⇒ λ 1 ( 2 ) = 0 , λ 2 / 3 ( 2 ) = ± ω ⁢ k 1 ⁢ k 3 missing-subexpression fragments ¯ italic-ϖ superscript 2 fragments ( 0 𝜔 0 ) : missing-subexpression 0 𝐴 𝜆 1 𝜆 0 subscript 𝑘 1 𝜔 0 𝜆 0 subscript 𝑘 3 𝜔 0 𝜆 𝜆 superscript 𝜆 2 subscript 𝑘 1 subscript 𝑘 3 superscript 𝜔 2 missing-subexpression formulae-sequence ⇒ absent superscript subscript 𝜆 1 2 0 superscript subscript 𝜆 2 3 2 plus-or-minus 𝜔 subscript 𝑘 1 subscript 𝑘 3 {\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &\displaystyle\bar{\varpi}{{*}^{(2% )}}=\left(\begin{matrix}0&\omega&0\\ \end{matrix}\right):\\ &\displaystyle 0=\det(A-\lambda 1)=\left|\begin{matrix}-\lambda&0&-{{k}_{1}}% \omega\\ 0&-\lambda&{{0}}\\ -{{k}_{3}}\omega&0&-\lambda\\ \end{matrix}\right|=-\lambda\left({{\lambda}^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega}^% {2}}\right)\\ &\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda}_{2/3}}^{(2)}=\pm% \omega\sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{3}}}\\ \end{aligned}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\bar{\varpi}{{*}^{(2%&#10;)}}=\left(\begin{matrix}0&amp;\omega&amp;0\\&#10;\end{matrix}\right):\\&#10;&amp;\displaystyle 0=\det(A-\lambda 1)=\left|\begin{matrix}-\lambda&amp;0&amp;-{{k}_{1}}%&#10;\omega\\&#10;0&amp;-\lambda&amp;{{0}}\\&#10;-{{k}_{3}}\omega&amp;0&amp;-\lambda\\&#10;\end{matrix}\right|=-\lambda\left({{\lambda}^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega}^%&#10;{2}}\right)\\&#10;&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda}_{2/3}}^{(2)}=\pm%&#10;\omega\sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{3}}}\\&#10;\end{aligned}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mtable columnspacing="0pt" rowspacing="0pt" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
      <mtr id="p1.1.m1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1c" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.2.cmml">ϖ</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.1.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
            <msup id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">*</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">(</mo>
                <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml">2</mn>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </msup>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml">(</mo>
              <mtable columnspacing="5pt" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                <mtr id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6c" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1.cmml">ω</mi>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6d" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
              </mtable>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">:</mo>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml"/>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">0</mn>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml">
              <mo movablelimits="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">det</mo>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29a" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml">⁡</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">
                  <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml">A</mi>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">λ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">1</mn>
                  </mrow>
                </mrow>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.1.cmml">|</mo>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.2.cmml">λ</mi>
                    </mrow>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12c" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12d" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.2.cmml">k</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.3.1.cmml">1</mn>
                        </msub>
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.4.cmml">ω</mi>
                      </mrow>
                    </mrow>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12e" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12f" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12g" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2.cmml">λ</mi>
                    </mrow>
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                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12h" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
                </mtr>
                <mtr id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12i" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                  <mtd columnalign="center" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12j" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml">
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.1.cmml">-</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.cmml">
                        <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.2.cmml">k</mi>
                          <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.3.1.cmml">3</mn>
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                        <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.1.cmml">⁢</mo>
                        <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.4.cmml">ω</mi>
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                    <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.1.cmml">0</mn>
                  </mtd>
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.cmml">
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.1.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.2.cmml">λ</mi>
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                      <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml">2</mn>
                    </msup>
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                      </msub>
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                        <mn id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.24.1.cmml">3</mn>
                      </msub>
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                      </msub>
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            <apply id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9">superscript</csymbol>
              <times id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.1.2">2</cn>
            </apply>
            <eq id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4"/>
            <cerror id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.3">fragments</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.5">(</ci>
              <matrix id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6">
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.1.1">0</cn>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.2.1">𝜔</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.1.3.1">0</cn>
                </matrixrow>
              </matrix>
              <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7">)</ci>
            </cerror>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8">:</ci>
          </cerror>
        </matrixrow>
        <matrixrow id="p1.1.m1.1.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
          <cerror id="p1.1.m1.1.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">missing-subexpression</csymbol>
          </cerror>
          <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
            <and id="p1.1.m1.1.1.2.2.1a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.2"/>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1">0</cn>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29">
                <determinant id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1">
                  <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5">𝐴</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1">
                    <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.1.2.1.1"/>
                    <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7">𝜆</ci>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8">1</cn>
                  </apply>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.10"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.29.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1d.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30">
                <abs id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.11"/>
                <matrix id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12a.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.1.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.2.1">0</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.5.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.2">𝑘</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.3.1">1</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.1.3.1.4">𝜔</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                  </matrixrow>
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12b.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.1.1">0</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.2.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.2.3.1">0</cn>
                  </matrixrow>
                  <matrixrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12c.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12">
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5">
                        <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.1"/>
                        <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.2">
                          <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.5.2">subscript</csymbol>
                          <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.2">𝑘</ci>
                          <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.3.1">3</cn>
                        </apply>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.1.1.4">𝜔</ci>
                      </apply>
                    </apply>
                    <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.2.1">0</cn>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1">
                      <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.1"/>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.12.3.3.1.2">𝜆</ci>
                    </apply>
                  </matrixrow>
                </matrix>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1e.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1">
              <eq id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.14"/>
              <share href="#p1.1.m1.1.1.2.2.1.30.cmml" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1f.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1"/>
              <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31">
                <minus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.15"/>
                <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1">
                  <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.1"/>
                  <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.16">𝜆</ci>
                  <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2">
                    <plus id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.20"/>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.1">superscript</csymbol>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.18">𝜆</ci>
                      <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.19.1">2</cn>
                    </apply>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2">
                      <times id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.1"/>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2">
                        <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.2">subscript</csymbol>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.21">𝑘</ci>
                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.22.1">1</cn>
                      </apply>
                      <apply id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.31.1.2.2.2.3">
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.2.1">1</cn>
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                      <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.7.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.7">
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                        <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.2.4.1">3</cn>
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      </matrix>
    </annotation-xml>
    <annotation encoding="application/x-tex" id="p1.1.m1.1c">{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} &amp;\displaystyle\bar{\varpi}{{*}^{(2%
)}}=\left(\begin{matrix}0&amp;\omega&amp;0\\
\end{matrix}\right):\\
&amp;\displaystyle 0=\det(A-\lambda 1)=\left|\begin{matrix}-\lambda&amp;0&amp;-{{k}_{1}}%
\omega\\
0&amp;-\lambda&amp;{{0}}\\
-{{k}_{3}}\omega&amp;0&amp;-\lambda\\
\end{matrix}\right|=-\lambda\left({{\lambda}^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega}^%
{2}}\right)\\
&amp;\displaystyle\Rightarrow{{\lambda}_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda}_{2/3}}^{(2)}=\pm%
\omega\sqrt{{{k}_{1}}{{k}_{3}}}\\
\end{aligned}}}</annotation>
  </semantics>
</math>

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ϖ¯*(2)=(0ω0):0=det⁡(A−λ1)=|−λ0−k1ω0−λ0−k3ω0−λ|=−λ(λ2+k1k3ω2)⇒λ1(2)=0,λ2/3(2)=±ωk1k3
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnalign="right left right left right left right left right left right left" columnspacing="0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em 2em 0em" displaystyle="true" rowspacing="3pt"><mtr><mtd></mtd><mtd><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03D6;</mi><mo>¯</mo></mover></mrow></mrow><msup><mo>*</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mi>&#x03C9;</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mi>:</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mn>0</mn><mo>=</mo><mi>det</mi><mo>&#x2061;</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi><mn>1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">|</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mtable columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>k</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><mi>&#x03C9;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi></mtd><mtd><msub><mn>0</mn><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>k</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub><mi>&#x03C9;</mi></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">|</mo></mrow><mo>=</mo><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BB;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><msup><mi>&#x03BB;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mi>k</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>k</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub><msup><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn></mrow></msup><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd><mtd><mo>&#x21D2;</mo><msup><msub><mi>&#x03BB;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><msup><msub><mi>&#x03BB;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>2</mn><mo>/</mo><mn>3</mn></mrow></mrow></msub><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mo stretchy="false">(</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></msup><mo>=</mo><mo>&#x00B1;</mo><mi>&#x03C9;</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msqrt><mrow data-mjx-texclass="ORD"><msub><mi>k</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>1</mn></mrow></msub><msub><mi>k</mi><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mn>3</mn></mrow></msub></mrow></msqrt></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd></mtd></mtr></mtable></mrow></mstyle></mrow></math>

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Identifiers

  • ϖ¯
  • ω
  • A
  • λ
  • λ
  • k1
  • ω
  • λ
  • k3
  • ω
  • λ
  • λ
  • λ
  • k1
  • k3
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  • λ1
  • λ
  • ω
  • k1
  • k3

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