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{{\Phi }_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot }\bar{E}\left( {\bar{r}} \right)=\frac{q}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}\cdot \oint_{S}{{}}d\Omega =\frac{q}{{{\varepsilon }_{0}}}

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MathML (10.36 KB / 1.735 KB) :

Φ e = ∮ S 𝑑 f ¯ ⋅ E ¯ ⁢ ( r ¯ ) = q 4 ⁢ π ⁢ ε 0 ⋅ ∮ S 𝑑 Ω = q ε 0 subscript Φ 𝑒 subscript contour-integral 𝑆 ⋅ differential-d ¯ 𝑓 ¯ 𝐸 ¯ 𝑟 ⋅ 𝑞 4 𝜋 subscript 𝜀 0 subscript contour-integral 𝑆 differential-d Ω 𝑞 subscript 𝜀 0 {\displaystyle{\displaystyle{{\Phi}_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot}\bar{E}\left(% {\bar{r}}\right)=\frac{q}{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\cdot\oint_{S}{{}}d\Omega=% \frac{q}{{{\varepsilon}_{0}}}}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle{{\Phi}_{e}}=\oint_{S}{d\bar{f}\cdot}\bar{E}\left(%&#10;{\bar{r}}\right)=\frac{q}{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\cdot\oint_{S}{{}}d\Omega=%&#10;\frac{q}{{{\varepsilon}_{0}}}}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.22.cmml">
      <msub id="p1.1.m1.1.22.2" xref="p1.1.m1.1.22.2.cmml">
        <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">Φ</mi>
        <mi id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">e</mi>
      </msub>
      <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.3.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.22.3" xref="p1.1.m1.1.22.3.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.22.3.1" xref="p1.1.m1.1.22.3.1.cmml">
          <msub id="p1.1.m1.1.22.3.1a" xref="p1.1.m1.1.22.3.1.cmml">
            <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">∮</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.5.1.cmml">S</mi>
          </msub>
        </mstyle>
        <mrow id="p1.1.m1.1.22.3.2" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.22.3.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.2.1.cmml">
              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">𝑑</mo>
              <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">f</mi>
                <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.7.1" xref="p1.1.m1.1.7.1.cmml">¯</mo>
              </mover>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">⋅</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.9.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.9.2" xref="p1.1.m1.1.9.2.cmml">E</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.22.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.22.3.2.1.cmml">⁢</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.3.2.3" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
            <mo id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">(</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.11.2" xref="p1.1.m1.1.11.2.cmml">r</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">¯</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.11.cmml">)</mo>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.13.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.22.4" xref="p1.1.m1.1.22.4.cmml">
        <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
          <mfrac id="p1.1.m1.1.14a" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.14.2" xref="p1.1.m1.1.14.2.cmml">q</mi>
            <mrow id="p1.1.m1.1.14.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.cmml">
              <mn id="p1.1.m1.1.14.3.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.1.cmml">4</mn>
              <mo id="p1.1.m1.1.14.3.5" xref="p1.1.m1.1.14.3.5.cmml">⁢</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.14.3.2" xref="p1.1.m1.1.14.3.2.cmml">π</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.14.3.5a" xref="p1.1.m1.1.14.3.5.cmml">⁢</mo>
              <msub id="p1.1.m1.1.14.3.6" xref="p1.1.m1.1.14.3.6.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.14.3.3" xref="p1.1.m1.1.14.3.3.cmml">ε</mi>
                <mn id="p1.1.m1.1.14.3.4.1" xref="p1.1.m1.1.14.3.4.1.cmml">0</mn>
              </msub>
            </mrow>
          </mfrac>
        </mstyle>
        <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">⋅</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.22.4.1" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.22.4.1.1" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.22.4.1.1a" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.1.cmml">
              <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">∮</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">S</mi>
            </msub>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.22.4.1.2" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.2.cmml">
            <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">𝑑</mo>
            <mi mathvariant="normal" id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.19.cmml">Ω</mi>
          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
        <mfrac id="p1.1.m1.1.21a" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">q</mi>
          <msub id="p1.1.m1.1.21.3" xref="p1.1.m1.1.21.3.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.21.3.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.1.cmml">ε</mi>
            <mn id="p1.1.m1.1.21.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.1.cmml">0</mn>
          </msub>
        </mfrac>
      </mstyle>
    </mrow>
    <annotation-xml encoding="MathML-Content" id="p1.1.m1.1b">
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          <apply id="p1.1.m1.1.22.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">
            <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.22.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.2">subscript</csymbol>
            <ci id="p1.1.m1.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1">Φ</ci>
            <ci id="p1.1.m1.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.1">𝑒</ci>
          </apply>
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                  <ci id="p1.1.m1.1.9.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.9.1">¯</ci>
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                </apply>
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                <ci id="p1.1.m1.1.11.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.11.2">𝑟</ci>
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            <ci id="p1.1.m1.1.15.cmml" xref="p1.1.m1.1.15">⋅</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14">
              <divide id="p1.1.m1.1.14.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
              <ci id="p1.1.m1.1.14.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.2">𝑞</ci>
              <apply id="p1.1.m1.1.14.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3">
                <times id="p1.1.m1.1.14.3.5.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.5"/>
                <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.1">4</cn>
                <ci id="p1.1.m1.1.14.3.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.2">𝜋</ci>
                <apply id="p1.1.m1.1.14.3.6.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.6">
                  <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.14.3.6.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.6">subscript</csymbol>
                  <ci id="p1.1.m1.1.14.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.3">𝜀</ci>
                  <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.14.3.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.14.3.4.1">0</cn>
                </apply>
              </apply>
            </apply>
            <apply id="p1.1.m1.1.22.4.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.4.1">
              <apply id="p1.1.m1.1.22.4.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.22.4.1.1">
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              </apply>
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                <csymbol cd="latexml" id="p1.1.m1.1.18.cmml" xref="p1.1.m1.1.18">differential-d</csymbol>
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          </apply>
        </apply>
        <apply id="p1.1.m1.1.22e.cmml" xref="p1.1.m1.1.22">
          <eq id="p1.1.m1.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.20"/>
          <share href="#p1.1.m1.1.22.4.cmml" id="p1.1.m1.1.22f.cmml" xref="p1.1.m1.1.22"/>
          <apply id="p1.1.m1.1.21.cmml" xref="p1.1.m1.1.21">
            <divide id="p1.1.m1.1.21.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21"/>
            <ci id="p1.1.m1.1.21.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.2">𝑞</ci>
            <apply id="p1.1.m1.1.21.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.3">
              <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.21.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.3">subscript</csymbol>
              <ci id="p1.1.m1.1.21.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.3.1">𝜀</ci>
              <cn type="integer" id="p1.1.m1.1.21.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.21.3.2.1">0</cn>
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{\bar{r}}\right)=\frac{q}{4\pi{{\varepsilon}_{0}}}\cdot\oint_{S}{{}}d\Omega=%
\frac{q}{{{\varepsilon}_{0}}}}}</annotation>
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Φe=∮Sdf¯⋅E¯(r¯)=q4πε0⋅∮SdΩ=qε0
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