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\left\langle {\hat{M}} \right\rangle =\int_{{}}^{{}}{{}}d\xi \rho \left( \xi  \right)M\left( \xi  \right)=tr\left( \hat{\rho }\hat{M} \right)

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⟨ M ^ ⟩ = ∫ 𝑑 ξ ⁢ ρ ⁢ ( ξ ) ⁢ M ⁢ ( ξ ) = t ⁢ r ⁢ ( ρ ^ ⁢ M ^ ) delimited-⟨⟩ ^ 𝑀 differential-d 𝜉 𝜌 𝜉 𝑀 𝜉 𝑡 𝑟 ^ 𝜌 ^ 𝑀 {\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=\int{{}}d\xi% \rho\left(\xi\right)M\left(\xi\right)=tr\left(\hat{\rho}\hat{M}\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\left\langle{\hat{M}}\right\rangle=\int{{}}d\xi%&#10;\rho\left(\xi\right)M\left(\xi\right)=tr\left(\hat{\rho}\hat{M}\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.23" xref="p1.1.m1.1.23.cmml">
      <mrow id="p1.1.m1.1.23.2" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.2.2.cmml">M</mi>
          <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.2.1.cmml">^</mo>
        </mover>
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.23.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">=</mo>
      <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.23.3" xref="p1.1.m1.1.23.3.cmml">
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.3a" xref="p1.1.m1.1.23.3.cmml">
          <mo largeop="true" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.5.cmml">∫</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.23.3.1" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">
            <mrow id="p1.1.m1.1.23.3.1.2" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.2.cmml">
              <mo rspace="0pt" id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">𝑑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.7" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">ξ</mi>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.23.3.1.1" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">ρ</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.23.3.1.1a" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.23.3.1.3" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.9" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">ξ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.11" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
            <mo id="p1.1.m1.1.23.3.1.1b" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.12" xref="p1.1.m1.1.12.cmml">M</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.23.3.1.1c" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.1.cmml">⁢</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.23.3.1.4" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">(</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">ξ</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.cmml">)</mo>
            </mrow>
          </mrow>
        </mrow>
      </mstyle>
      <mo id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.23.4" xref="p1.1.m1.1.23.4.cmml">
        <mi id="p1.1.m1.1.17" xref="p1.1.m1.1.17.cmml">t</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.23.4.1" xref="p1.1.m1.1.23.4.1.cmml">⁢</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.18" xref="p1.1.m1.1.18.cmml">r</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.23.4.1a" xref="p1.1.m1.1.23.4.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.23.4.2" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">
          <mo id="p1.1.m1.1.19" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">(</mo>
          <mrow id="p1.1.m1.1.23.4.2.2" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.20.2" xref="p1.1.m1.1.20.2.cmml">ρ</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.20.1" xref="p1.1.m1.1.20.1.cmml">^</mo>
            </mover>
            <mo id="p1.1.m1.1.23.4.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.1.cmml">⁢</mo>
            <mover accent="true" id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.21.2" xref="p1.1.m1.1.21.2.cmml">M</mi>
              <mo stretchy="false" id="p1.1.m1.1.21.1" xref="p1.1.m1.1.21.1.cmml">^</mo>
            </mover>
          </mrow>
          <mo id="p1.1.m1.1.22" xref="p1.1.m1.1.23.4.2.2.cmml">)</mo>
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      </mrow>
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        <apply id="p1.1.m1.1.23b.cmml" xref="p1.1.m1.1.23">
          <eq id="p1.1.m1.1.4.cmml" xref="p1.1.m1.1.4"/>
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              <ci id="p1.1.m1.1.2.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.2.2">𝑀</ci>
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              <times id="p1.1.m1.1.23.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.23.3.1.1"/>
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\rho\left(\xi\right)M\left(\xi\right)=tr\left(\hat{\rho}\hat{M}\right)}}</annotation>
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</math>

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⟨M^⟩=∫dξρ(ξ)M(ξ)=tr(ρ^M^)
<math class="mwe-math-element" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">&#x27E8;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>M</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">&#x27E9;</mo></mrow><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"><munderover><mo texclass="OP">&#x222B;</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"></mrow></munderover></mstyle><mi>d</mi><mi>&#x03BE;</mi><mi>&#x03C1;</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03BE;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mi>M</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mi>&#x03BE;</mi><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow><mo>=</mo><mi>t</mi><mi>r</mi><mrow data-mjx-texclass="INNER"><mo data-mjx-texclass="OPEN">(</mo><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>&#x03C1;</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mrow data-mjx-texclass="ORD"><mover><mi>M</mi><mo>^</mo></mover></mrow></mrow><mo data-mjx-texclass="CLOSE">)</mo></mrow></mstyle></mrow></math>

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