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* Page found: Paramagnetismus (eq math.2585.6)

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Paramagnetismus Eq: math.2585.6

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TeX (original user input):

\begin{align}

& Z=\sum\limits_{{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp \left( \beta \mu B{{m}_{l}} \right) \\

& \nu :={{m}_{l}}+l \\

& \Rightarrow Z=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\sum\limits_{\nu =0}^{2l}{{}}{{\left( \exp \left( \beta \mu B \right) \right)}^{\nu }}=\exp \left( -\beta \mu Bl \right)\frac{\exp \left( \beta \mu B\left( 2l+1 \right) \right)-1}{\exp \left( \beta \mu B \right)-1}=\frac{\sinh \left( \beta \mu B\left( l+\frac{1}{2} \right) \right)}{\sinh \left( \frac{1}{2}\beta \mu B \right)} \\

\end{align}

TeX (checked):

{\begin{aligned}&Z=\sum \limits _{{{m}_{l}}=-l}^{l}{}\exp \left(\beta \mu B{{m}_{l}}\right)\\&\nu :={{m}_{l}}+l\\&\Rightarrow Z=\exp \left(-\beta \mu Bl\right)\sum \limits _{\nu =0}^{2l}{}{{\left(\exp \left(\beta \mu B\right)\right)}^{\nu }}=\exp \left(-\beta \mu Bl\right){\frac {\exp \left(\beta \mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp \left(\beta \mu B\right)-1}}={\frac {\sinh \left(\beta \mu B\left(l+{\frac {1}{2}}\right)\right)}{\sinh \left({\frac {1}{2}}\beta \mu B\right)}}\\\end{aligned}}

LaTeXML (experimentell; verwendet MathML) rendering

MathML (40.075 KB / 4.292 KB) :

{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&\displaystyle Z=\sum\limits_{% {{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp\left(\beta\mu B{{m}_{l}}\right)\\ \par&\displaystyle\nu:={{m}_{l}}+l\\ \par&\displaystyle\Rightarrow Z=\exp\left(-\beta\mu Bl\right)\sum\limits_{\nu=% 0}^{2l}{{}}{{\left(\exp\left(\beta\mu B\right)\right)}^{\nu}}=\exp\left(-\beta% \mu Bl\right)\frac{\exp\left(\beta\mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp\left(% \beta\mu B\right)-1}=\frac{\sinh\left(\beta\mu B\left(l+\frac{1}{2}\right)% \right)}{\sinh\left(\frac{1}{2}\beta\mu B\right)}\\ \par\end{aligned}}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle\begin{aligned} \par&amp;\displaystyle Z=\sum\limits_{%&#10;{{m}_{l}}=-l}^{l}{{}}\exp\left(\beta\mu B{{m}_{l}}\right)\\&#10;\par&amp;\displaystyle\nu:={{m}_{l}}+l\\&#10;\par&amp;\displaystyle\Rightarrow Z=\exp\left(-\beta\mu Bl\right)\sum\limits_{\nu=%&#10;0}^{2l}{{}}{{\left(\exp\left(\beta\mu B\right)\right)}^{\nu}}=\exp\left(-\beta%&#10;\mu Bl\right)\frac{\exp\left(\beta\mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp\left(%&#10;\beta\mu B\right)-1}=\frac{\sinh\left(\beta\mu B\left(l+\frac{1}{2}\right)%&#10;\right)}{\sinh\left(\frac{1}{2}\beta\mu B\right)}\\&#10;\par\end{aligned}}}" display="inline">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.2.cmml">=</mo>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.cmml">
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.6.cmml">
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                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.2.1.cmml">l</mi>
                    </msub>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.3.cmml">=</mo>
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.4.cmml">-</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.4.1.5.cmml">l</mi>
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                  </mrow>
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                </munderover>
              </mstyle>
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.6.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.8.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.9.cmml">μ</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.10.cmml">B</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.2.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.11.cmml">m</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.12.1.cmml">l</mi>
                    </msub>
                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.1.2.1.13" xref="p1.1.m1.1.1.1.2.1.14.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
      <mtr id="p1.1.m1.1.1d" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
        <mtd id="p1.1.m1.1.1e" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mi id="p1.1.m1.1.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.1.1.cmml"/>
        </mtd>
        <mtd columnalign="left" id="p1.1.m1.1.1f" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">
          <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.cmml">
            <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.1.cmml">ν</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.3.cmml">:=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.cmml">
              <msub id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.8.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.4.cmml">m</mi>
                <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.5.1.cmml">l</mi>
              </msub>
              <mo id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.6.cmml">+</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.2.2.1.7.cmml">l</mi>
            </mrow>
          </mrow>
        </mtd>
      </mtr>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.cmml">
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            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.1.cmml">⇒</mo>
            <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.2.cmml">Z</mi>
            <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.3.cmml">=</mo>
            <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.cmml">
              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">
                <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.4.cmml">exp</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">⁡</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">(</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.6.cmml">-</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.7.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.8.cmml">μ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml">B</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml">l</mi>
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                  </mrow>
                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.11" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.2.1.cmml">)</mo>
                </mrow>
              </mrow>
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              <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.cmml">
                <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.cmml">
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                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.13.1.3.cmml">0</mn>
                    </mrow>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.cmml">
                      <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.1.cmml">2</mn>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.3.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.2.cmml">l</mi>
                    </mrow>
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                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.15" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml">
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                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml">⁡</mo>
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                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml">μ</mi>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.26" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.39.2.1.cmml">(</mo>
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              <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">
                <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.33.cmml">
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              </mstyle>
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                  <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.12.cmml">⁡</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.12.cmml">
                    <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.12.cmml">(</mo>
                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.3.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.4.cmml">μ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.5.cmml">B</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.2.2.cmml">
                        <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.2.2.cmml">(</mo>
                        <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.2.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.13.1.2.2.cmml">
                          <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.7" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.7.cmml">l</mi>
                          <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.8" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.8.cmml">+</mo>
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                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.9.2.cmml">1</mn>
                            <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.9.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.2.9.3.cmml">2</mn>
                          </mfrac>
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                  <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.8.cmml">
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                    <mrow id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.cmml">
                      <mfrac id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.3.cmml">
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.3.2" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.3.2.cmml">1</mn>
                        <mn id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.3.3" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.3.3.cmml">2</mn>
                      </mfrac>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.4" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.4.cmml">β</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.1a" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.5" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.5.cmml">μ</mi>
                      <mo id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.1b" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.9.1.1.cmml">⁢</mo>
                      <mi id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.6" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.35.3.6.cmml">B</mi>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.9">𝐵</ci>
                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.10">𝑙</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1">
                      <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.1">subscript</csymbol>
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                      <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.2.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.14.1.2">𝑙</ci>
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                    <csymbol cd="ambiguous" id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2">superscript</csymbol>
                    <apply id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.38.3.2.2.2.2">
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                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.19">𝜇</ci>
                        <ci id="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20.cmml" xref="p1.1.m1.1.1.3.2.1.20">𝐵</ci>
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0}^{2l}{{}}{{\left(\exp\left(\beta\mu B\right)\right)}^{\nu}}=\exp\left(-\beta%
\mu Bl\right)\frac{\exp\left(\beta\mu B\left(2l+1\right)\right)-1}{\exp\left(%
\beta\mu B\right)-1}=\frac{\sinh\left(\beta\mu B\left(l+\frac{1}{2}\right)%
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\begin{aligned} Z = \sum_{m_{l} = - l}^{l} \exp (β μ B m_{l}) \\ ν : = m_{l} + l \\ \Rightarrow Z = \exp (- β μ B l) \sum_{ν = 0}^{2 l} {(\exp (β μ B))}^{ν} = \exp (- β μ B l) \frac{\exp (β μ B (2 l + 1)) - 1}{\exp (β μ B) - 1} = \frac{\sinh (β μ B (l + \frac{1}{2}))}{\sinh (\frac{1}{2} β μ B)} \end{aligned}

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