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* Page found: Kanonisches Enseble (eq math.948.0)

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U=\left\langle E \right\rangle =\frac{1}{Z\left( \beta ,N \right)}\sum\limits_{\alpha }{{{E}_{\alpha }}\exp \left( -\beta {{E}_{\alpha }} \right)}=-{{\partial }_{\beta }}\ln \left( Z\left( \beta ,N \right) \right)

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MathML (11.64 KB / 1.799 KB) :

U = ⟨ E ⟩ = 1 Z ⁢ ( β , N ) ⁢ ∑ α E α ⁢ exp ⁡ ( - β ⁢ E α ) = - ∂ β ⁡ ln ⁡ ( Z ⁢ ( β , N ) ) 𝑈 delimited-⟨⟩ 𝐸 1 𝑍 𝛽 𝑁 subscript 𝛼 subscript 𝐸 𝛼 𝛽 subscript 𝐸 𝛼 subscript 𝛽 𝑍 𝛽 𝑁 {\displaystyle{\displaystyle U=\left\langle E\right\rangle=\frac{1}{Z\left(% \beta,N\right)}\sum\limits_{\alpha}{{{E}_{\alpha}}\exp\left(-\beta{{E}_{\alpha% }}\right)}=-{{\partial}_{\beta}}\ln\left(Z\left(\beta,N\right)\right)}} 
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="p1.1.m1.1" class="ltx_Math" alttext="{\displaystyle{\displaystyle U=\left\langle E\right\rangle=\frac{1}{Z\left(%&#10;\beta,N\right)}\sum\limits_{\alpha}{{{E}_{\alpha}}\exp\left(-\beta{{E}_{\alpha%&#10;}}\right)}=-{{\partial}_{\beta}}\ln\left(Z\left(\beta,N\right)\right)}}" display="inline">
  <semantics id="p1.1.m1.1a">
    <mrow id="p1.1.m1.1.32" xref="p1.1.m1.1.32.cmml">
      <mi id="p1.1.m1.1.1" xref="p1.1.m1.1.1.cmml">U</mi>
      <mo id="p1.1.m1.1.2" xref="p1.1.m1.1.2.cmml">=</mo>
      <mrow id="p1.1.m1.1.32.2" xref="p1.1.m1.1.32.2.1.cmml">
        <mo id="p1.1.m1.1.3" xref="p1.1.m1.1.32.2.1.1.cmml">⟨</mo>
        <mi id="p1.1.m1.1.4" xref="p1.1.m1.1.4.cmml">E</mi>
        <mo id="p1.1.m1.1.5" xref="p1.1.m1.1.32.2.1.1.cmml">⟩</mo>
      </mrow>
      <mo id="p1.1.m1.1.6" xref="p1.1.m1.1.6.cmml">=</mo>
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          <mfrac id="p1.1.m1.1.7a" xref="p1.1.m1.1.7.cmml">
            <mn id="p1.1.m1.1.7.2" xref="p1.1.m1.1.7.2.cmml">1</mn>
            <mrow id="p1.1.m1.1.7.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.7.3.1" xref="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml">Z</mi>
              <mo id="p1.1.m1.1.7.3.7" xref="p1.1.m1.1.7.3.7.cmml">⁢</mo>
              <mrow id="p1.1.m1.1.7.3.8" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml">
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.2" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml">(</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.3" xref="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml">β</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.4" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml">,</mo>
                <mi id="p1.1.m1.1.7.3.5" xref="p1.1.m1.1.7.3.5.cmml">N</mi>
                <mo id="p1.1.m1.1.7.3.6" xref="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml">)</mo>
              </mrow>
            </mrow>
          </mfrac>
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        <mo id="p1.1.m1.1.32.3.1" xref="p1.1.m1.1.32.3.1.cmml">⁢</mo>
        <mrow id="p1.1.m1.1.32.3.2" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.cmml">
          <mstyle displaystyle="true" id="p1.1.m1.1.32.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.1.cmml">
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              <mo largeop="true" movablelimits="false" symmetric="true" id="p1.1.m1.1.8" xref="p1.1.m1.1.8.cmml">∑</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.9.1" xref="p1.1.m1.1.9.1.cmml">α</mi>
            </munder>
          </mstyle>
          <mrow id="p1.1.m1.1.32.3.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.32.3.2.2.2" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.2.cmml">
              <mi id="p1.1.m1.1.10" xref="p1.1.m1.1.10.cmml">E</mi>
              <mi id="p1.1.m1.1.11.1" xref="p1.1.m1.1.11.1.cmml">α</mi>
            </msub>
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                <mo id="p1.1.m1.1.13" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.1.cmml">(</mo>
                <mrow id="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.cmml">
                  <mo id="p1.1.m1.1.14" xref="p1.1.m1.1.14.cmml">-</mo>
                  <mrow id="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.1.cmml">
                    <mi id="p1.1.m1.1.15" xref="p1.1.m1.1.15.cmml">β</mi>
                    <mo id="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.1.1.cmml">⁢</mo>
                    <msub id="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.1.2" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.3.2.1.1.2.cmml">
                      <mi id="p1.1.m1.1.16" xref="p1.1.m1.1.16.cmml">E</mi>
                      <mi id="p1.1.m1.1.17.1" xref="p1.1.m1.1.17.1.cmml">α</mi>
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                </mrow>
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          </mrow>
        </mrow>
      </mrow>
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        <mo id="p1.1.m1.1.20" xref="p1.1.m1.1.20.cmml">-</mo>
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          <mrow id="p1.1.m1.1.32.4.1.2.1" xref="p1.1.m1.1.32.4.1.2.1.cmml">
            <msub id="p1.1.m1.1.32.4.1.2.1.1" xref="p1.1.m1.1.32.4.1.2.1.1.cmml">
              <mo id="p1.1.m1.1.21" xref="p1.1.m1.1.21.cmml">∂</mo>
              <mi id="p1.1.m1.1.22.1" xref="p1.1.m1.1.22.1.cmml">β</mi>
            </msub>
            <mo id="p1.1.m1.1.32.4.1.2.1a" xref="p1.1.m1.1.32.4.1.2.1.cmml">⁡</mo>
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              <mi id="p1.1.m1.1.25" xref="p1.1.m1.1.25.cmml">Z</mi>
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                <ci id="p1.1.m1.1.7.3.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.1">𝑍</ci>
                <interval closure="open" id="p1.1.m1.1.7.3.8.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.8">
                  <ci id="p1.1.m1.1.7.3.3.cmml" xref="p1.1.m1.1.7.3.3">𝛽</ci>
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                </interval>
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                <times id="p1.1.m1.1.32.3.2.2.1.cmml" xref="p1.1.m1.1.32.3.2.2.1"/>
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                    <minus id="p1.1.m1.1.14.cmml" xref="p1.1.m1.1.14"/>
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                        <ci id="p1.1.m1.1.16.cmml" xref="p1.1.m1.1.16">𝐸</ci>
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}}\right)}=-{{\partial}_{\beta}}\ln\left(Z\left(\beta,N\right)\right)}}</annotation>
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