Euler-Lagrange-Gleichungen

Will man nun ein konkretes Problem betrachten stellt sich zuerst die Frage welche Bahn das System wirklich im Ereignisraum einschlagen wird. Wir geben nun 2S Anfangsbedingungen, also 2 Punkte um Ereignisraum vor: $(q_1,t_1)\in ERG$,$(q_2,t_2)$. M sei die Menge aller Bahnen im Ereignisraum die die beiden Ereignisse verbinden.

$M:=\{q\in C^2(t,KONF)\subset ERG:q\left(t_1\right)=q_1,q\left(t_2\right)=q_2\}$ (3.1)

In der Realität kann natürlich nur eine Bahn tatsächlich gewählt werden. Wir wollen diese mit $q_0\left(t\right)\in M$bezeichnen. Nun gilt aber für alle Bahnen aus M, dass sie durch eine Verbiegung (virtuelle Verrückung$\delta q$) aus der echten Bahn hervorgehen wobei die Endpunkte jedoch fix bleiben.

$\mathrm{\forall }q\in M:q=q_0+\delta q,\delta q\left(t_1\right)=\delta q\left(t_2\right)=0$ (3.2)

Das Hamiltonsche Variationsprinzip postuliert, dass grade diejenige Bahn $q_0\left(t\right)\in M$tatsächlich eingeschlagen wird, bei der die Wirkung $S\left[q\right]$minimal wird. Das Funktional $S\left[q\right]$ ist dabei das Wegintegral der Langrangefunktion längst q.

$S\left[q\right]:=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(q,\dot{q},t)dt$ (3.3)

Dies bedeute aber, dass $S\left[q_0\right]$ das kleinste aller Funktionale $S\left[q\right]$ ist.

$S\left[q_0\right]<S\left[q\right]\mathrm{\forall }q\in M/\left\{q_0\right\}$ (3.4)

Daher kann die kleinste Wirkung über die Differenz zweier Wirkungen gefunden werden.

$\delta S\left[q\right]=S\left[q_0\right]-S\left[q\right]=S\left[q_0\right]-S[q+\delta q]$ (3.5)   Setzt man nun die Definition der Wirkung ein erhält man folgende Gleichung:

$\begin{array}{rl}& \delta S\left[q\right]=S\left[q_0\right]-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}L(q+\delta q,\dot{q}+\delta \dot{q},t)dt\\ & =S\left[q_0\right]-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\underset{=S\left[q_0\right]}{\underbrace{L}}+{\partial }_{q}L\delta q+{\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q})dt\\ & =-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}({\partial }_{q}L\delta q+{\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q})dt\end{array}$

Wir verwenden die Kettenregel um den 2. Ausdruck etwas umzuformen:

${\partial }_{\dot{q}}L\delta \dot{q}=d_t\left({\partial }_{\dot{q}}L\delta q\right)-d_t\left({\partial }_{\dot{q}}L\right)\delta q$

Setzt man dies wieder ein so fällt der 1. Term aus dem Integral raus und muss an den Stellen t1 und t2 ausgewertet werden. Da nach Vorraussetzung für alle Bahnen die virtuelle Verrückung$\delta q$ an diesen Stellen 0 ist fällt er weg:

$\begin{array}{rl}& \delta S\left[q\right]=-{\left[{\partial }_{\dot{q}}L\delta q\right]}_{t_1}^{t_2}-\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}({\partial }_{q}L\delta q-d_t\left({\partial }_{\dot{q}}L\right)\delta q)dt\\ & =\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(d_t{\partial }_{\dot{q}}-{\partial }_q)L\delta qdt\end{array}$

Da die virtuelle Verrückung zwar definitionsgemäß nicht von der Zeit abhängig ist aber beliebige Werte annehmen kann muss schon.

$(d_t{\partial }_{\dot{q}}-{\partial }_q)L=0$ (3.6) Damit das Funktional minimal wird. Dieser Zusammenhang (3.6) muss also von der Lagrangefunktion erfüllt werden. Es handelt sich hierbei um S Differentialgleichungen 2. Ordnung da q ein Element des S-Dimensionalen Konfigurationsraums ist.