Elektromagnetische Wellen

Im statischen Fall sind die Felder $\overline{E},\overline{B}$ entkoppelt. Im dynamischen Fall jedoch sind $\overline{E},\overline{B}$ über den Verschiebungsstrom

$\frac{1}{{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-\overline{j}={\epsilon }_0\dot{\overline{E}}$

und über das Induktionsgesetz

$\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\dot{\overline{B}}$ gekoppelt !

Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen !

Freie Wellenausbreitung im Vakuum

Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

$\rho =0$

$\overline{j}=0$

Damit:

$\#\mathrm{\Phi }=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho =0\Rightarrow \#\mathrm{\Phi }=0$

$\#\overline{A}=-{\mu }_0\overline{j}=0\Rightarrow \#\overline{A}=0$

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}(\overline{r},t)\\ & \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\\ \end{array}$

gilt auch

$\begin{array}{rl}& \#\overline{E}=0\\ & \#\overline{B}=0\\ \end{array}$

Dies folgt auch direkt aus

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{B}={\epsilon }_0{\mu }_0\dot{\overline{E}}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\dot{\overline{B}}\\ & \Rightarrow mit\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=0\\ & (\mathrm{\Delta }-{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\overline{E}=0\\ \end{array}$

Allgemeine Lösung von $u(\overline{r},t)=0$

$u(\overline{r},t)=F(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)$

mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion $F(\varphi )$ und $\varpi =c\left|\overline{k}\right|$ ( dÁlembertsche Lösung) Beweis:

$\#F(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)=({\overline{k}}^2-\frac{{\varpi }^2}{c^2})F\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\left(\varphi \right)=0$

Nebenbemerkung: $F(\varphi )$ muss nicht periodisch in $\varphi$ sein ! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :

Der Wellenvektor $\overline{k}$ zeigt in Ausbreitungsrichtung:

Es gilt: $\mathrm{\nabla }\varphi (\overline{r},t)=\overline{k}$

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

$\overline{k}\overline{r}-\varpi t=\varphi (\overline{r},t)=const!$

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

$\overline{k}(\overline{r}-\frac{1}{k^2}\overline{k}(\varpi t+\varphi ))=0$

Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

$\overline{r}(t)=\frac{1}{k^2}\overline{k}(\varpi t+\varphi )$

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

$\begin{array}{rl}& v_{ph}={\frac{d\overline{r}(t)}{dt}|}_{\varphi =const}^{}=\frac{\overline{k}}{k^2}\varpi =c\frac{\overline{k}}{k}\\ & \frac{\overline{k}}{k}:=\overline{n}\\ \end{array}$

spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle

$u(\overline{r},t)=\tilde{u}(\overline{k})e^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}$

mit der komplexen Amplitude

$\tilde{u}(\overline{k})$

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation $\varpi (\overline{k})$

$u(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}k\tilde{u}(\overline{k})e^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi (\overline{k})t)}$

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

$\tilde{u}(\overline{k})$ um ${\overline{k}}_0$ herum lokalisiert:

So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist !

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um ${\overline{k}}_0$ ergibt

$\begin{array}{rl}& \varpi (\overline{k})\approx \varpi ({\overline{k}}_0)+(\overline{k}-{\overline{k}}_0){\mathrm{\nabla }}_k\varpi (\overline{k}){|}_{\overline{k}={\overline{k}}_0}+\frac{1}{2!}{(\overline{k}-{\overline{k}}_0)}^2{\left({\mathrm{\nabla }}_k\right)}^2\varpi (\overline{k}){|}_{\overline{k}={\overline{k}}_0}+...\\ & {\mathrm{\nabla }}_k\varpi (\overline{k}){|}_{\overline{k}={\overline{k}}_0}={\overline{v}}_g\\ & \varpi (\overline{k})\approx \varpi ({\overline{k}}_0)+(\overline{k}-{\overline{k}}_0){\overline{v}}_g\\ \end{array}$

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t)=e^{i({\overline{k}}_0\overline{r}-{\varpi }_{0}t)}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^3\tilde{k}\tilde{u}({\overline{k}}_0+\tilde{\overline{k}})e^{i\tilde{\overline{k}}(\overline{r}-{\overline{v}}_{g}t)}\\ & \tilde{\overline{k}}=\overline{k}-{\overline{k}}_0\\ \end{array}$

Dies ist zu interpretieren als

$e^{i({\overline{k}}_0\overline{r}-{\varpi }_{0}t)}$ eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit ${\overline{v}}_{ph}=\frac{{\varpi }_0}{k_0}$

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^3\tilde{k}\tilde{u}({\overline{k}}_0+\tilde{\overline{k}})e^{i\tilde{\overline{k}}(\overline{r}-{\overline{v}}_{g}t)}$ als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

${\overline{v}}_g={\mathrm{\nabla }}_k\varpi \left(\overline{k}\right)$ bewegt:

Wir erhalten die Dispersionsrelation $\varpi \left(\overline{k}\right)$

elektromagnetische Wellen im Vakuum: $\varpi \left(\overline{k}\right)=c\left|\overline{k}\right|\Rightarrow {\overline{v}}_g=c\frac{\overline{k}}{\left|\overline{k}\right|}={\overline{v}}_{ph}=\frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}\overline{n}$

es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !

Polarisation

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}\\ & \overline{B}(\overline{r},t)={\overline{B}}_0{e}^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}\\ \end{array}$

Allgemein gilt:

$\overline{E}(\overline{r},t)$ heißt transversal, wenn $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=0$ ( quellenfrei)

$\Rightarrow i\overline{k}\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=0\Rightarrow \overline{k}\mathrm{\perp }\overline{E}(\overline{r},t)$

$\overline{E}(\overline{r},t)$ heißt longitudinal, wenn $\mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)=0$ ( wirbelfrei)

$\Rightarrow i\overline{k}\times \overline{E}(\overline{r},t)=0\Rightarrow \overline{k}\left|\right|\overline{E}(\overline{r},t)$

Für $\rho =0$ ist wegen $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}(\overline{r},t)=0$ das elektrische Feld transversal. Wegen $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}(\overline{r},t)=0$ ist das magnetische Feld stets transversal !

Weiter folgt aus:

$\mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)+\dot{\overline{B}}=0$

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times \overline{E}(\overline{r},t)+\dot{\overline{B}}=0\\ & \Rightarrow (i\overline{k}\times {\overline{E}}_0-i\varpi {\overline{B}}_0)e^{i(\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}=0\\ & \varpi =c\left|\overline{k}\right|\\ & \Rightarrow {\overline{B}}_0=\frac{1}{c}\frac{\overline{k}}{\left|\overline{k}\right|}\times {\overline{E}}_0:=\frac{1}{c}\overline{n}\times {\overline{E}}_0\\ \end{array}$

Folglich bilden $\overline{k},{\overline{E}}_0,{\overline{B}}_0$ ein Rechtssystem !

Die Richtung von $\mathrm{\Re }\{{\overline{E}}_0,{\overline{B}}_0\}$ legt die Polarisation fest:

Sei $\overline{k}\left|\right|{\overline{e}}_3$ - Achse, also:

$\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_0=E_{01}{\overline{e}}_1+E_{02}{\overline{e}}_2\\ & E_{0i}=a_i{e}^{i{\delta }_i}\in C\\ & a_i,{\delta }_i\in R\\ & i=1,2\\ \end{array}$

Das physikalische Feld ergibt sich zu $\begin{array}{rl}& {\overline{E}}_1(\overline{r},t)=\mathrm{\Re }\left\{a_1{e}^{i({\delta }_1+\overline{k}\overline{r}-\varpi t)}\right\}=a_1\cos (\varphi +{\delta }_1)\\ & \varphi :=\overline{k}\overline{r}-\varpi t\\ \end{array}$

und

${\overline{E}}_2(\overline{r},t)=\mathrm{\Re }\left\{a_2{e}^{i({\delta }_2+\varphi )}\right\}=a_2\cos (\varphi +{\delta }_2)$

Aus

$\begin{array}{rl}& \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}(\overline{r},t)=\cos \varphi \cos {\delta }_1-\sin \varphi \sin {\delta }_1\\ & \frac{{\overline{E}}_2}{a2}(\overline{r},t)=\cos \varphi \cos {\delta }_2-\sin \varphi \sin {\delta }_2\\ \end{array}$

Kann $\varphi$ und somit $(\overline{r},t)$ eliminiert werden:

$\begin{array}{rl}& \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\sin {\delta }_2-\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\sin {\delta }_1=\cos \varphi \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)\\ & \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\cos {\delta }_2-\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\cos {\delta }_1=\sin \varphi \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)\\ & \Rightarrow 1^2+2^2\Rightarrow {\left(\frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\right)}^2+{\left(\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\right)}^2-2\frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\frac{{\overline{E}}_2}{a2}\cos ({\delta }_2-{\delta }_1)={\sin }^2({\delta }_2-{\delta }_1)\\ \end{array}$

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für ${\overline{E}}_1,{\overline{E}}_2$

Der Feldvektor $\overline{E}(\overline{r},t)$ läuft als Funktion von $\varphi$ auf einer Ellipse senkrecht zu $\overline{k}$ um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:

Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor $\overline{r}$ für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort $\overline{r}$ .

Spezialfälle:

Linear polarisierte Welle:

$\begin{array}{rl}& {\delta }_1={\delta }_2+n\pi \Rightarrow \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)=0,\cos ({\delta }_2-{\delta }_1)=\pm 1\\ & \Rightarrow \frac{{\overline{E}}_1}{a_1}\pm \frac{{\overline{E}}_2}{a2}=0\\ \end{array}$

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

$\overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\cos \varphi (\overline{r},t)$

mit reeller Amplitude

${\overline{E}}_0$

Zirkular polarisierte Welle

$\begin{array}{rl}& a1=a2=a\\ & {\delta }_1={\delta }_2+(2n+1)\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin ({\delta }_2-{\delta }_1)=\pm 1,\cos ({\delta }_2-{\delta }_1)=0\\ & \Rightarrow {{\overline{E}}_1}^2+{{\overline{E}}_2}^2=a^2\\ \end{array}$

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um $\frac{\pi }{2}$ phasenverschoben sind ! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

$\overline{E}(\overline{r},t)=a\left(\begin{array}{c}\cos \varphi \\ \pm \sin \varphi \\ \end{array}\right)$

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft $\overline{B}(\overline{r},t)$ dem $\overline{E}(\overline{r},t)$ - Vektor um $\frac{\pi }{2}$ verschoben nach bzw. voraus !

Energiedichte der elektromagnetischen Welle:

${\overline{E}}_0(\overline{r},t)$ reell: $\begin{array}{rl}& \overline{E}(\overline{r},t)={\overline{E}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\varpi t)\\ & \overline{B}(\overline{r},t)={\overline{B}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\varpi t)\\ \end{array}$

mit

${\overline{B}}_0=\frac{1}{c}\overline{n}\times {\overline{E}}_0$

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

$w=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2=\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2+\frac{1}{2{\mu }_0{c}^2}{\overline{E}}^2=2\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2$

Für die Energiestromdichte gilt:

$\begin{array}{rl}& \overline{S}=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{E}\times \overline{B}\\ & \overline{S}=\frac{1}{c{\mu }_0}\overline{E}\times (\overline{n}\times \overline{E})=\sqrt{\frac{{\epsilon }_0}{{\mu }_0}}{\overline{E}}^2\overline{n}=c{\epsilon }_0{\overline{E}}^2\overline{n}=cw\overline{n}\\ \end{array}$

Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung $\overline{n}=\frac{\overline{k}}{\left|\overline{k}\right|}$ transportiert Für ine Kugelwelle: $\overline{E}(\overline{r},t)=\frac{1}{r}{\overline{E}}_0\cos (\overline{k}\overline{r}-\varpi t)$ verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

$W(r)=4\pi r^{2}dr{\epsilon }_0{\overline{E}}^2(\overline{r},t)$

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

$W(r)=4\pi r^{2}dr{\epsilon }_0{\overline{E}}^2(\overline{r},t)=2\pi r^{2}dr{\epsilon }_0\frac{{{\overline{E}}_0}^2}{r^2}=const.$

Retardierte Potenziale

Aufgabe Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen $\rho (\overline{r},t),\overline{j}(\overline{r},t)$ und Randbedingungen $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)\to 0f\ddot{u}r\overline{r}\to \mathrm{\infty }$

Methode: Greensche Funktion verwenden:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})$

In der Elektrodynamik:

$\#u(\overline{r},t)=-f(\overline{r},t)$

mit

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t):=\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)\\ & f(\overline{r},t)=\frac{\rho }{{\epsilon }_0},{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Fourier- Trafo:

$\begin{array}{rl}& {\widehat{\#}}^{-1}:=-\hat{G}\\ & \Rightarrow \hat{u}(\overline{k},\omega )=\hat{G}\hat{f}(\overline{k},\omega )\\ \end{array}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$u(\overline{r},t)=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})$

mit

$\#G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (t-t\stackrel{´}{})$

Vergleiche: Elektrostatik:

$\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\rho \left(\overline{r}\right)$

Fourier- Trafo:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Delta }}^{-1}:=-\hat{G}\\ & \Rightarrow \hat{\mathrm{\Phi }}\left(\overline{k}\right)=\hat{G}\hat{\rho }\\ & \hat{G}=\frac{1}{{\epsilon }_0{k}^2}\\ \end{array}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$

mit

$\begin{array}{rl}& G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \mathrm{\Delta }G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{1}{{\epsilon }_0}\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Kausalitätsbedingung:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=0$

für t<t´

Somit kann

$u(\overline{r},t)$ nur von $f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})$ mit t´ < t beeinflusst werden

Fourier- Transformation:

$\begin{array}{rl}& f(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{f}(\overline{q},\omega )e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \hat{f}(\overline{q},\omega )=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtf(\overline{r},t)e^{-i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ \end{array}$

Ebenso:

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{u}(\overline{q},\omega )e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow \#u(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{u}(\overline{q},\omega )\#e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \#e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}=-(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ \end{array}$

Aber es gilt:

$\begin{array}{rl}& \#u(\overline{r},t)=-\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^2}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \hat{f}(\overline{q},\omega )e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & \Rightarrow (q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})\hat{u}(\overline{q},\omega )=\hat{f}(\overline{q},\omega )\\ & \Rightarrow \hat{u}(\overline{q},\omega )=\frac{\hat{f}(\overline{q},\omega )}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\\ & \Rightarrow \hat{G}=\frac{1}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\\ \end{array}$

Rücktransformation:

$\begin{array}{rl}& u(\overline{r},t)=\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^4}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})e^{-i(\overline{q}\overline{r}-\omega t)}\\ & u(\overline{r},t)=\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\stackrel{´}{}\left\{\frac{1}{{\left(2\pi \right)}^4}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{i\overline{q}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-i\omega (t-t\stackrel{´}{})}}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}\right\}f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})\\ & \Rightarrow \frac{1}{{\left(2\pi \right)}^4}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{i\overline{q}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-i\omega (t-t\stackrel{´}{})}}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}=G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration

für $\omega =\pm cq$ gibt es Polstellen. Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:

Der obere Integrationsweg wird durch $\tau <0$ charakterisiert, der untere Integrationsweg durch $\tau >0$ . Dabei: $\tau =t-t\stackrel{´}{}$

Das Integral über den Halbkreis:

Oberer Halbkreis: $\tau <0$

$\begin{array}{rl}& \omega =R\cdot e^{i\varphi }0\le \varphi \le \pi \\ & d\omega =R\cdot e^{i\varphi }id\varphi \\ & \left|e^{-i\omega \tau }\right|=e^{R\sin \varphi \tau }\\ & \sin \varphi >0\\ & \tau <0\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ R\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{e}^{R\sin \varphi \tau }=0\\ \end{array}$

Unterer Halbkreis: $\tau >0$

$\begin{array}{rl}& \omega =R\cdot e^{i\varphi }\pi \le \varphi \le 2\pi \\ & d\omega =R\cdot e^{i\varphi }id\varphi \\ & \left|e^{-i\omega \tau }\right|=e^{R\sin \varphi \tau }\\ & \sin \varphi <0\\ & \tau >0\\ & \Rightarrow \begin{array}{c}\lim \\ R\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}{e}^{R\sin \varphi \tau }=0\\ \end{array}$

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

$\mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau ):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\omega \frac{e^{-i\omega \tau }}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}=\underset{C}{\oint }d\omega \frac{e^{-i\omega \tau }}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}=2\pi i\sum _{Pole}^{}\mathrm{\Re }s\frac{e^{-i\omega \tau }}{(q^2-\frac{{\omega }^2}{c^2})}$

( Residuensatz)

Für $\tau <0$ liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau )=0\\ & \Rightarrow G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=0:=G(\overline{s},\tau )=0\\ \end{array}$

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für $\tau >0$

$\mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau )=-2\pi i\sum _{\omega =\pm cq}^{}\mathrm{\Re }s\frac{e^{-i\omega \tau }}{\frac{1}{c^2}(\omega -cq)(\omega +cq)}$

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

$\underset{C}{\oint }dzf(z)=2\pi i\sum _{Pole}^{}\mathrm{\Re }sf(z)$ ,

falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !

$\mathrm{\Gamma }(\overline{q},\tau )=2\pi i{c}^2(\frac{e^{-icq\tau }}{2cq}+\frac{e^{icq\tau }}{-2cq})$

$G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}q{e}^{i\overline{q}\overline{s}}\left(\frac{e^{-icq\tau }-e^{icq\tau }}{-2iq}\right)$

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

$\begin{array}{rl}& d^{3}q=q^{2}dq\sin \vartheta d\vartheta d\varphi \\ & \overline{q}\overline{s}=qs\cos \vartheta \\ & G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{{\left(2\pi \right)}^3}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dqq\left(\frac{e^{-icq\tau }-e^{icq\tau }}{-2i}\right)\underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\cos \vartheta e^{iqs\cos \vartheta }\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \\ & \underset{-1}{\overset{1}{\int }}d\cos \vartheta e^{iqs\cos \vartheta }=\frac{e^{iqs}-e^{-iqs}}{iqs}\\ & \xi :=cq\\ & \Rightarrow G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{2{\left(2\pi \right)}^{2}s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi \{e^{i(\tau -\frac{s}{c})\xi }+e^{-i(\tau -\frac{s}{c})\xi }-e^{i(\tau +\frac{s}{c})\xi }-e^{-i(\tau +\frac{s}{c})\xi }\}\\ & \Rightarrow G(\overline{s},\tau )=\frac{c}{4\pi s}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\xi \{\delta (\tau -\frac{s}{c})-\delta (\tau +\frac{s}{c})\}\\ & \delta (\tau +\frac{s}{c})=0f\ddot{u}r\tau >0\\ \end{array}$

Also lautet das Ergebnis:

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\delta (t-t\stackrel{´}{}-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\\ 0t<t\stackrel{´}{}\\ \end{array}t>t\stackrel{´}{}$

Retardierte Greensfunktion (kausal)

Physikalische Interpretation

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})$ ist das Potenzial $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$ , das von einer punktförmigen Ladungsdichte

$\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (t-t\stackrel{´}{})$

am Punkt $\overline{r}\stackrel{´}{}$ zur Zeit t´ erzeugt wird.

Die Eigenschaften:

• Kausalität
• Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
• $|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|=c(t-t\stackrel{´}{})$

Nebenbemerkung:

Für den Integrationsweg

Oberer Halbkreis: $\tau <0$

Unterer Halbkreis: $\tau >0$

erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´). Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an $\overline{r}\stackrel{´}{}$ zur zeit t´ zusammenzieht !

Mit

$G(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\delta (t-t\stackrel{´}{}-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})f(\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}f(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})$

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

$\rho (\overline{r},t),\overline{j}(\overline{r},t)$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & \overline{A}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ \end{array}$

Die retardierten Potenziale $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t),\overline{A}(\overline{r},t)$ sind bestimmt durch $\overline{r}\stackrel{´}{}$ zu retardierten Zeiten $t\stackrel{´}{}=t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}$ . Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.

Multipolstrahlung

Ziel:

Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

Voraussetzung: Lorentz- Eichung

$\dot{\mathrm{\Phi }}(\overline{r},t)+c^2\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0$

Somit kann aus $\overline{A}(\overline{r},t)$ dann $\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)$ und somit auch $\overline{E}(\overline{r},t)$

$\overline{B}(\overline{r},t)$ berechnet werden.

1. Näherung:

r>>a ( Ausdehnung der Quelle)

Mit

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

folgt:

$\overline{A}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi r}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})+\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi r^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})$

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !

1. Näherung

$\begin{array}{rl}& t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c}\approx t-\frac{r}{c}+\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}+....\\ & t-\frac{r}{c}:=\tau \\ \end{array}$

Diese Näherung sollte gut sein, falls $\tau >>\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}\approx \frac{a}{c}$

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !

a~ Ausdehnung der Quelle

$\tau$ ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von $\overline{j}$

Beispielsweise: harmonische Erregung:

$\begin{array}{rl}& \overline{j}\stackrel{~}{}{e}^{i\omega t}\\ & \omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau =\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{ck}=\frac{\lambda }{c}\\ & \Rightarrow a<<\lambda \\ \end{array}$

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !

Dann gilt:

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\approx \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{r}{c})+\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}\frac{\partial \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},t-\frac{r}{c})}{\partial (t-\frac{r}{c})}=\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )+\frac{\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{}}{cr}\frac{\partial \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )}{\partial \tau }$

Also folgt für das Vektorpotenzial:

Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}\ne 0$

Mit:

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=x_k\stackrel{´}{}\left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)+j_k$

mit der Kontinuitäätsgleichung:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=-\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ & \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=j_k-x_k\stackrel{´}{}\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ \end{array}$

und wegen

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=0$ (Gauß)

folgt dann:

$\begin{array}{rl}& \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left(x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right)=0=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(j_k-x_k\stackrel{´}{}\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau ))\\ & \Rightarrow \underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\dot{\rho }(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=:\dot{\overline{p}}\left(\tau \right)\\ \end{array}$

mit dem elektrischen Dipolmoment:

$\overline{p}\left(\tau \right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )$

Somit für die erste Ordnung:

${\overline{A}}^{(1)}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})$

Elektrische Dipolstrahlung

Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)

$\overline{p}\left(t\right)=\overline{p}\left(t_0\right)e^{-i\omega t}$

$\overline{p}$

$\begin{array}{rl}& {\overline{A}}^{(1)}(\overline{r},t)\approx \frac{-i\omega {\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\frac{\overline{p}\left(t_0\right)e^{-i\omega (t-\frac{r}{c})}}{r}=\frac{-i\omega {\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\frac{\overline{p}\left(t_0\right)e^{i(kr-\omega t)}}{r}\\ & k:=\frac{\omega }{c}\\ \end{array}$

Die Kugelwelle !

Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:

$\begin{array}{rl}& \dot{\mathrm{\Phi }}(\overline{r},t)+c^2\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=0\\ & \Rightarrow \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\right]\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})\right]+{\mathrm{\Phi }}_{stat.}\left(\overline{r}\right)\\ & {\mathrm{\Phi }}_{stat.}\left(\overline{r}\right)=0(obda)\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\mathrm{\nabla }\left[\frac{1}{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})\right]=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}[\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})+\frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})]\\ & \frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\stackrel{~}{}\frac{1}{r}\\ & \frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})\stackrel{~}{}\frac{1}{r^2}\\ \end{array}$

Grenzfälle:

1) Fernzone / Wellenzone:

$\begin{array}{rl}& r>>\lambda >>\left(a\right)\iff kr>>1\iff \frac{\omega }{c}r>>1\\ & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\overline{p}}\stackrel{~}{}\frac{\omega }{c}\overline{p}>>\frac{\overline{p}}{r}\\ \end{array}$

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!

Es gilt die Näherung

$\mathrm{\Phi }{(\overline{r},t)}_{fern}\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})$

2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):

$\begin{array}{rl}& \lambda >>r>>>\left(a\right)\\ & \iff kr<<1\iff \frac{\omega }{c}r<<11\\ & \Rightarrow \frac{1}{c}\dot{\overline{p}}\stackrel{~}{}\frac{\omega }{c}\overline{p}<<\frac{\overline{p}}{r}\\ \end{array}$

Also:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}(t-\frac{r}{c})$

Dies kann man noch entwickeln nach

$\overline{p}\left(t\right)$ . dadurch entstehen Terme:

$\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}\left(t\right)-\frac{1}{r^3}\frac{r}{c}\overline{r}\dot{\overline{p}}\left(t\right)$

Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den $\dot{\overline{p}}\left(t\right)$ - Term.

Wir schreiben:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{r^3}\overline{r}\overline{p}\left(t\right)$

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung

$\mathrm{\Phi }{(\overline{r},t)}_{fern}\approx \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1}{c{r}^2}\overline{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})$

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi c}\frac{1}{r^2}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]+O\left(\frac{1}{r^2}\right)\\ & \overline{E}(\overline{r},t)=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)-\dot{\overline{A}}(\overline{r},t)=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{c}^2}\frac{1}{r^3}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]\times \overline{r}+O\left(\frac{1}{r^2}\right)\\ \end{array}$

Es gilt:

$\begin{array}{rl}& \overline{B}(\overline{r},t)\times \frac{\overline{r}}{r}=\frac{{\mu }_0}{4\pi c}\frac{1}{r^3}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]\times \overline{r}=\frac{1}{c}\overline{E}(\overline{r},t)\\ & \frac{{\mu }_0}{4\pi c}=\frac{{\mu }_0{\epsilon }_0}{4\pi c{\epsilon }_0}=\frac{1}{4\pi c^3{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

F Fazit:

$\overline{r},\overline{E}(\overline{r},t),\overline{B}(\overline{r},t)$

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander ! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!

Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}(\overline{r},t)=0$ , dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).

Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)

$\begin{array}{rl}& \overline{S}=\overline{E}\times \overline{H}=\frac{-1}{{\mu }_0}\overline{B}\times \overline{E}=\frac{-c}{{\mu }_{0}r}\overline{B}\times (\overline{B}\times \overline{r})=\frac{-c}{{\mu }_{0}r}[(\overline{B}\cdot \overline{r})\overline{B}-B^2\overline{r}]\\ & (\overline{B}\cdot \overline{r})=0\\ & \Rightarrow \overline{S}=\frac{c}{{\mu }_{0}r}{B}^2\overline{r}\\ \end{array}$

$\overline{B}(\overline{r},t)=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}(\overline{r},t)\approx \frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi }\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\dot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})=\frac{{\mu }_{\stackrel{´}{}0}}{4\pi c}\frac{1}{r^2}[\ddot{\overline{p}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}]+O\left(\frac{1}{r^2}\right)$

Also:

entspricht

$l=1,m=0$

Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

$\begin{array}{rl}& \overline{p}(t)={\overline{p}}_0{e}^{-i\omega t}\\ & {\left|\ddot{\overline{p}}\right|}^2={{\overline{p}}_0}^2{\omega }^4\\ \end{array}$

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt ! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von $\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$ (mit der Coulomb- Eichung $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r})=0$ )

mit den Randbedingungen $\overline{A}(\overline{r})\to 0$ für r-> unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach $\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}$ von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung $\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})$ sei stationär für $r>>r\stackrel{´}{}$

$\frac{1}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=\frac{1}{r}+\frac{1}{r^3}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

$\overline{A}(\overline{r})=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})+\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})+...$

Monopol- Term

Mit

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=x_k\stackrel{´}{}({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{}))+\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)$

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})=0$

${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})\cdot \left({\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}{x}_k\stackrel{´}{}\right)=j_l{\delta }_{kl}=j_k$

Mit ${\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=j_k$ folgt dann:

$\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{j}_k(\overline{r}\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}{\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot [x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=\underset{S\mathrm{\infty }}{\oint }d\overline{f}[x_k\stackrel{´}{}\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{})]=0$

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

$\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )$ quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=0\\ & \Rightarrow \dot{\overline{p}}(\tau )=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\overline{r}\stackrel{´}{}\dot{\rho }=0\\ & \Rightarrow A^{(1)}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r}\dot{\overline{p}}(\tau )\equiv 0\\ \end{array}$

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)

Beispiel: geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):

Mit

$I(t)=I_0{e}^{-i\omega t}$

2. Ordnung:

${\overline{A}}^{(2)}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}(\overline{r}\cdot \overline{r}\stackrel{´}{})(1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau })\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )$

Mit

$\begin{array}{rl}& \left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}(\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=\frac{1}{2}(\overline{r}\stackrel{´}{}\times \overline{j})\times \overline{r}+\frac{1}{2}[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}+\left(\overline{r}\overline{j}\right)\overline{r}\stackrel{´}{}]\\ & und\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\left[x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\overline{j}\right]=[\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right)j_k+x_k\stackrel{´}{}\left(\overline{r}\overline{j}\right)+x_{k\stackrel{´}{}}\left(\overline{r}\overline{r}\stackrel{´}{}\right){\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}]\\ & {\mathrm{\nabla }}_{r\stackrel{´}{}}\cdot \overline{j}=-\frac{\partial }{\partial \tau }\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ \end{array}$

Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):

$\overline{\overline{Q}}\left(\tau \right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )(3\overline{r}\stackrel{´}{}\otimes \overline{r}\stackrel{´}{}-r{\stackrel{´}{}}^2\overline{\overline{1}})=:\widetilde{\overline{\overline{Q}}}-\frac{1}{3}\left(tr\left(\widetilde{\overline{\overline{Q}}}\right)\right)\overline{\overline{1}}$

Falls

$\tilde{Q}\left(\tau \right)$ oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt

$\frac{1}{3}\left(tr\left(\widetilde{\overline{\overline{Q}}}\right)\right)\overline{\overline{1}}$

keinen Beitrag zu

$\overline{E},\overline{B}$

• verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

-> $\overline{\overline{Q}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}=3\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\overline{r}\stackrel{´}{}(\overline{r}\stackrel{´}{}\cdot \overline{r})$

Also:

$\begin{array}{rl}& {\overline{A}}^{(2)}(\overline{r},t)=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^3}(1+\frac{r}{c}\frac{\partial }{\partial \tau })[\overline{m}\left(\tau \right)\times \overline{r}+\frac{1}{6}\dot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}]\\ & =\frac{{\mu }_0}{4\pi }(\frac{1}{r^3}\overline{m}\times \overline{r}+\frac{1}{c{r}^2}\dot{\overline{m}}\times \overline{r}+\frac{1}{6r^3}\dot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}+\frac{1}{6c{r}^2}\ddot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r})\\ \end{array}$

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

$\frac{1}{r^3}\overline{m}\times \overline{r}+\frac{1}{c{r}^2}\dot{\overline{m}}\times \overline{r}$

und elektrischer Quadrupolstrahlung

$\frac{1}{6r^3}\dot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}+\frac{1}{6c{r}^2}\ddot{\overline{\overline{Q}}}\left(\tau \right)\cdot \overline{r}$

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

$\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\overline{m}(t-\frac{r}{c})=\frac{1}{r^3}\overline{m}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}+\frac{1}{c{r}^2}\dot{\overline{m}}(t-\frac{r}{c})\times \overline{r}$

schreiben als:

Die magnetische Dipolstrahlung

Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung

$\begin{array}{rl}& \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-c^2\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}(\overline{r},t)=-\frac{{\mu }_0{c}^2}{4\pi }\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \frac{1}{r}\overline{m})\equiv 0\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=!=0\\ \end{array}$

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

Nebenbemerkung

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung $\frac{q}{m}$

ist

$\overline{p}\stackrel{~}{}\overline{R}$ (Schwerpunkt) und

$\overline{m}\stackrel{~}{}\overline{L}$ ( Gesamtdrehimpuls)

$\Rightarrow \dot{\overline{p}}=\dot{\overline{m}}=0$

In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung

Wellenoptik und Beugung

Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen $\rho (\overline{r},t)$ und $\overline{j}(\overline{r},t)$ und bei vorgegebenen Leitern $L_{\alpha }$ im Vakuum:

Ziel

ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V

Anwendung: Radiowellen $\lambda =1-{10}^4$ m Radar Optik $\lambda =400-800nm$ -> Beugung

Rückführung auf Randwertaufgabe

Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ \end{array}$

Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen. Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf $L_{\alpha }$

und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2

Annahme:

$\begin{array}{rl}& \rho (\overline{r},t)=\rho \left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ & \overline{j}(\overline{r},t)=\overline{j}\left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ \end{array}$

Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ & \overline{A}(\overline{r},t)=\overline{A}\left(\overline{r}\right)e^{-i\omega t}\\ \end{array}$

eingesetzt in die Wellengleichung

$\begin{array}{rl}& \#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=(\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2})\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)\\ & \Rightarrow (\mathrm{\Delta }+k^2)\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=-\frac{\rho \left(\overline{r}\right)}{{\epsilon }_0}\\ & k:=\frac{\omega }{c}\\ \end{array}$

Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung $\#\mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

$\#G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\delta (t-t\stackrel{´}{})$

Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\frac{\rho (\overline{r}\stackrel{´}{},t\stackrel{´}{})}{{\epsilon }_0}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}{e}^{-i\omega t\stackrel{´}{}}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})\\ & t-t\stackrel{´}{}:=\tau \\ & \Rightarrow \underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}{e}^{-i\omega t\stackrel{´}{}}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},t-t\stackrel{´}{})=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}dt\stackrel{´}{}{e}^{-i\omega t\stackrel{´}{}}G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\\ & =\left[\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau e^{i\omega \tau }G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )\right]e^{-i\omega t}:=\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})e^{-i\omega t}\\ & \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau e^{i\omega \tau }G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau ):=\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\\ & mit\\ & (\mathrm{\Delta }+k^2)\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ \end{array}$

Problem: Die Randbedingungen für $\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right),\overline{A}$ sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden. Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:

Skalare Kirchhoff- Identität

( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):

Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !

Weiter: Greenscher Satz:

$\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\varphi \mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\varphi )=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\varphi \mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\Delta }\varphi )$

Setze:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Psi }(\overline{r})=\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \varphi (\overline{r})=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\\ \end{array}$

Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:

$\begin{array}{rl}& \underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\nabla }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right))=\underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\Delta }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right))\\ & \mathrm{\Delta }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\delta (\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-k^2\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\\ & \mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)=\frac{-\rho }{{\epsilon }_0}-k^2\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\\ & \Rightarrow \underset{V}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r(\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\Delta }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})-\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right))=-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\\ & \underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\nabla }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}))=\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\\ \end{array}$

Also:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}(\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\mathrm{\nabla }\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}))\\ & \overline{r}\stackrel{´}{}\in V\\ \end{array}$

Dabei ist $\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)$ im inneren von V durch $\mathrm{\Phi }$ und $\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$ auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion

$\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$ bekannt ist

Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:

Randbedingung $\begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=0$

• Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):

$G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )=\{\begin{array}{c}\frac{1}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\delta (\tau -\frac{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{c})\tau >0\\ 0\tau <0\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& \tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}d\tau G(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{},\tau )e^{i\omega \tau }=\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ & k:=\frac{\omega }{c}\\ \end{array}$

Es folgt für das Potenzial:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})e^{-i\omega t}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}{e}^{-i\omega t}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\\ & \mathrm{\Phi }(\overline{r},t)=\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r\stackrel{´}{}\frac{e^{i(k|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|-\omega t)}}{4\pi |\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\frac{\rho \left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)}{{\epsilon }_0}\\ \end{array}$

beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen. ( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).

Mit

$\overline{R}:=\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}$

lautet die Kirchhoff- Identität:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }(\overline{r}\stackrel{´}{},t)=\frac{1}{4\pi }\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d{\overline{f}}_R[\frac{e^{ikR}}{R}{\mathrm{\nabla }}_r\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}]\\ & {\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}=\frac{e^{ikR}}{R}(ik-\frac{1}{R})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\\ \end{array}$

Dazu eine Grafik:

Mittels $d\overline{f}\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=df\cos \vartheta$

und über Beschränkung auf Fernzone von $\partial V$ , also R >> 1/k gilt:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r}\stackrel{´}{},t)=\frac{1}{4\pi }\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d{f}_R[\frac{\partial }{\partial n}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-ik\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\cos \vartheta ]\frac{e^{ikR}}{R}$

Mit der richtungsabhängigen Amplitude $[\frac{\partial }{\partial n}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)-ik\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\cos \vartheta ]$ und der Kugelwelle $\frac{e^{ikR}}{R}$ . Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.

Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips ( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle). deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´

b) Greensfunktion zu Randbedingungen

$\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}){|}_{\begin{array}{c}\overline{r}\in \partial V\\ \overline{r}\stackrel{´}{}\in V\end{array}}=0$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})$

Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:

$\begin{array}{rl}& \tilde{G}\left(\overline{R}\right)=g\left(\overline{R}\right)+\frac{1}{4\pi }\frac{e^{ikR}}{R}\\ & (\mathrm{\Delta }+k^2)g=0\\ \end{array}$

Mit Randbedingung

$g{|}_{\partial V}=-\frac{1}{4\pi }{\frac{e^{ikR}}{R}|}_{\partial V}$

Beispiel für die Konstruktion von $\tilde{G}\left(\overline{R}\right)$

Ebener Schirm:

Spiegelladungsmethode:

Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.

Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:

$\begin{array}{rl}& \tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi }(\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|})\\ & \Rightarrow {\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}):=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}})\\ \end{array}$

Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}):=\frac{1}{4\pi }({\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR}}{R}-{\mathrm{\nabla }}_r\frac{e^{ikR\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}})\\ & =\frac{1}{4\pi }(\frac{e^{ikR}}{R}(ik-\frac{1}{R})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}-\frac{e^{ikR\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}(ik-\frac{1}{R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}})\frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|})\\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{rl}& R=R\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}\\ & d\overline{f}\cdot \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}=-d\overline{f}\cdot \frac{\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}|}=+df\cos \vartheta \\ & \Rightarrow d\overline{f}\cdot {\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}=df\frac{1}{2\pi }\frac{e^{ikR}}{R}(ik-\frac{1}{R})\cos \vartheta \\ \end{array}$

Für $\lambda <<R$ ( Fernzone):

$\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\underset{\partial V}{\overset{}{\int }}d\overline{f}\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right){\mathrm{\nabla }}_r\tilde{G}(\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{})=-\frac{i}{\lambda }\underset{F}{\overset{}{\int }}df\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)\frac{e^{ik|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}}{|\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}|}\cos \vartheta$

Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte ${\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)|}_F$ erraten werden.

Kirchhoffsche Näherung

Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:

Annahme:

${\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)|}_S=0$ Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)

${\mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\right)|}_B=\frac{e^{ik{R}^Q}}{R^Q}$ freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende

Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\frac{i}{\lambda }\underset{B}{\overset{}{\int }}df\frac{e^{ik|R+R^Q|}}{R{R}^Q}\cos \vartheta \\ & \cos \vartheta \approx const.\\ \end{array}$

Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:

$\lambda <<d$

$\begin{array}{rl}& \overline{R}=\overline{r}-\overline{r}\stackrel{´}{}\\ & {\overline{R}}^Q=\overline{r}-{\overline{r}}^Q\\ & df=d^{2}r\\ \end{array}$

Somit:

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=-\frac{i}{\lambda }\frac{\cos {\vartheta }_0}{R_0{R_0}^Q}\underset{B}{\overset{}{\int }}df{e}^{ik|R+R^Q|}\\ & \cos \vartheta \approx const.\\ \end{array}$

im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !

• typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik

Grenzfälle

1. Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:
2. $\lambda <<d<<R$
3. )

Setze $\overline{R}={\overline{R}}_0+\overline{s}$

$R^2\approx {R_0}^2+2{\overline{R}}_0\overline{s}$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow R\approx R_0+\overline{\alpha }\overline{s}\\ & \overline{\alpha }:=\frac{{\overline{R}}_0}{R_0}\\ \end{array}$

Analog:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow R^Q\approx {R_0}^Q+{\overline{\alpha }}_0\overline{s}\\ & {\overline{\alpha }}_0:=\frac{{{\overline{R}}_0}^Q}{{R_0}^Q}\\ \end{array}$

$\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)\approx -\frac{i}{\lambda }{e}^{ik(R_0+{R_0}^Q)}\frac{\cos {\vartheta }_0}{R_0{R_0}^Q}\underset{B}{\overset{}{\int }}{d}^{2}s{e}^{ik(\overline{\alpha }+{\overline{\alpha }}_0)\overline{s}}$

Fresnelsche Beugung ( Mittelzone: $\lambda <<R\approx d$

hier: $R^2={R_0}^2+2{\overline{R}}_0\overline{s}+s^2$ nicht genähert !!

Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):

Bei senkrechtem Einfall gilt: ${\overline{\alpha }}_0\overline{s}=0$

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=C\underset{-d/2}{\overset{d/2}{\int }}d{s}_1{e}^{ik\alpha s_1}\\ & \alpha :=\sin {\vartheta }_0\\ & \overline{\alpha }\overline{s}=s_1\sin {\vartheta }_0\\ & \Rightarrow \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=\frac{C}{ik\alpha }(e^{ik\alpha \frac{d}{2}}-e^{-ik\alpha \frac{d}{2}})\\ & \mathrm{\Phi }\left(\overline{r}\stackrel{´}{}\right)=Cd\frac{\sin \left(k\alpha \frac{d}{2}\right)}{k\alpha \frac{d}{2}}\\ \end{array}$

Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)

Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also

$\sin {\vartheta }_0=n\cdot \frac{\lambda }{d}$

ebenso ( als ÜBUNG !!!) können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.

Einwurf: 1. Der holografische Prozess

• 1. Aufzeichnung und Rekonstruktion

Lichtintensität einer Lichtwelle:

$I(x,y)=|O(x,y)|{}^{\text{2}}=O(x,y)\bullet O*(x,y)$

• Phaseninformationen gehen verloren
• Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
• Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
• Kohärenz erforderlich
• monochromatisches Licht
• unpolarisiertes Licht

1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase

• Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
• Überlagerung der Objektwelle

$O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp (i{\phi }_O(x,y))$

• Mit einer Referenzwelle

$R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp (i{\phi }_R(x,y))$

• Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:

$I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^{\text{2}}=\left|O\right|{}^{\text{2}}+\left|R\right|{}^{\text{2}}+OR*+O*R$

$I(x,y)=\left|O\right|{}^{\text{2}}+\left|R\right|{}^{\text{2}}+2RO\cos [{\phi }_R(x,y)-{\phi }_O(x,y)]$

• Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
• Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
• Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
• Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
• Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
• Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
• Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
• Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
• Denisyukhologramm

2. Schritt: Rekonstruktionsphase

• Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
• Ansonsten: Verzerrung
• Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
• Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
• Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
• Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:

$O\stackrel{´}{}=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^{\text{2}}+|R|{}^{\text{2}})+O\cdot \left|R\right|{}^{\text{2}}+R\cdot R\cdot O*$

• Zu beachten: komplexe Funktionen

Fresnel- und Fourier- Hologramme

• Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
• Linse
• Objekt in weiter Entfernung
• Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.

• Fouriernäherung des Beugungsintegrals
• Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals

• 1. Grundlagen der Beugung

• Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
• Keine Berücksichtigung der Polarisation
• Voraussetzung: kohärente Beleuchtung

• Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.

• Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).

• Ausgangspunkt:

Helmholtz- Gleichung $(\mathrm{\nabla }{}^{\text{2}}+k{}^{\text{2}})U(\overline{r})=0$

mit $U(\overline{r})=\frac{e^{i\overline{k}\overline{r}o1}}{ro1}$

• lauter Kugelwellen in x1/y1

$O(xo,yo)\stackrel{~}{}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x1,y1)\bullet U(\overline{r})dx1dy1$

$\approx \stackrel{~}{}\frac{1}{z}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{ikr}\bullet A(x1,y1)dx1dy1$

• Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende

Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:

$r=\sqrt{(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}+z{}^{\text{2}}}$

$\approx z[1+\frac{(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}}{2z{}^{\text{2}}}]$

Fresnel- Näherung:

• Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild

$O(xo,yo)\approx \stackrel{~}{}\frac{e^{ikz}}{z}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}A(x1,y1)\bullet e^{\frac{i\pi }{\lambda z}[(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}]}dx1dy1$

Fraunhofer- Näherung:

• Aufzeichnung allgemein mit Linse
• Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich

• Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion

Aufzeichnung:

1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt

Hintergrund

• Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen

Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:

• Für schmalen Doppelspalt gilt:

$d\phi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot \frac{a}{\lambda }$

$\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda$ als Maximabedingung

Sofort ersichtlich:

• Variation des Spaltabstands variiert Phase
• Variation der Spaltbreite variiert Amplitude

• Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
• 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2

 $\sin \theta \cdot b=m\lambda$ als Minimabedingung

Der Einfachspalt:

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$O\stackrel{~}{}\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$ entspricht Feldverteilung des E-Feldes: $E\stackrel{~}{}\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$

$I(\theta )=I_o\cdot \text{sinc }{}^{\text{2}}\text{ (}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$

2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:

• Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$E\stackrel{~}{}\text{sinc(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )$

• Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode

Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:

$E\stackrel{~}{}\left\{\frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))}\right\}$

$I(\theta )=I_o\text{sin}{\text{c}}^{\text{2}}\text{(}\frac{k}{2}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {\left\{\frac{\sin (\frac{Nka}{2}\sin (\theta ))}{\sin (\frac{ka}{2}\sin (\theta ))}\right\}}^2$

• Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
• Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
• Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
• Für schmale Spalte: Kammfunktion