Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

{{Scripthinweis|Elektrodynamik|6}

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !

• Kugelwellen sind
• -> Lorentz- Invariant, also:
• $r^2-c^2{t}^2=r{\stackrel{´}{}}^2-c^{2}t{\stackrel{´}{}}^2$

Für Lorentz- Transformationen !

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

${\left(ds\right)}^2:={\left(cdt\right)}^2-{\left(d\overline{r}\right)}^2$

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen : $\mathrm{\Sigma }\leftrightarrow \mathrm{\Sigma }\stackrel{´}{}$

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man ${\left(ds\right)}^2$ als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

$\begin{array}{rl}& x^i\\ & x^1:=ct\\ & x^1,x^2,x^3\\ \end{array}$

als Komponenten des Ortsvektors $\overline{r}$

kovariante Komponenten

$\begin{array}{rl}& x_i:\\ & x_0:=ct\\ & x_{\alpha }=-x^{\alpha },\alpha =1,2,3\\ \end{array}$

kovarianter Vektor $\in \tilde{V}$ , dualer Vektorraum zu V ! Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten -> $\in \tilde{V}$ als Raum der linearen Funktionale l: $V\to R$

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !

Schreibe

${\left(ds\right)}^2=d{x}^{0}d{x}_0+d{x}^{1}d{x}_1+d{x}^{2}d{x}_2+d{x}^{3}d{x}_3=d{x}^{i}d{x}_i$

Mit: Summenkonvention ! über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt $a^i{a}_i$ schreiben !

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

$\#=\mathrm{\Delta }-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}=-\frac{\partial }{\partial x^i}\frac{\partial }{\partial x_i}=-{\partial }_i{\partial }^i$

Vierergeschwindigkeit

$\begin{array}{rl}& u^i:=\frac{d{x}^i}{ds}\Rightarrow u^i{u}_i=\frac{d{x}^{i}d{x}_i}{{\left(ds\right)}^2}=1\\ & mit\\ & ds={\left(d{x}^{i}d{x}_i\right)}^{\frac{1}{2}}=c{(1-{\beta }^2)}^{\frac{1}{2}dt}=\frac{c}{\gamma }dt\\ & \Rightarrow u^0=\gamma \\ & u^{\alpha }=\frac{\gamma }{c}{v}^{\alpha }\\ & v^{\alpha }:=\frac{d{x}^{\alpha }}{dt}\\ & \beta :=\frac{v}{c}\\ & \gamma :=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}\\ \end{array}$

Physikalische Interpretation

$\begin{array}{rl}& u^{\alpha }=\frac{1}{c}\frac{d{x}^{\alpha }}{d\tau }\\ & d\tau =\frac{dt}{\gamma }\\ \end{array}$

Viererimpuls

$p^i:=m_{0}c{u}^i$ mit der Ruhemasse m0

Also:

$\begin{array}{rl}& p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2{u}^i{u}_i\\ & u^i{u}_i=1\\ & \Rightarrow p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2\\ & p^0=m_0\gamma c=m(v)c=\frac{E}{c}\\ & p^{\alpha }=m_0\gamma v^{\alpha }=m(v)v^{\alpha }\\ & p^i{p}_i={m_0}^2{c}^2{u}^i{u}_i\iff E^2={m_0}^2{c}^4+c^2{\overline{p}}^2\\ \end{array}$

Mit der Energie

$E=m(v)c^2$

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

$\begin{array}{rl}& A^{ik},{A^i}_k,{A_i}^k,A_{ik}\\ & A^{00}={A^0}_0={A_0}^0=A_{00}\\ & A^{10}={A^1}_0=-{A_1}^0=-A_{10}\\ & A^{11}=-{A^1}_1=-{A_1}^1=A_{11}\\ \end{array}$

Der metrische Tensor

$g^{ik}:={\delta }^{ik}=\{\begin{array}{c}{{\delta }^i}_{k}k=0\\ -{{\delta }^i}_{k}k=1,2,3\\ \end{array}\}=g_{ik}$

$g^{ik}=g_{ik}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ \end{array}\right)$

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

$g^{ik}{a}_k=a^i$

Wichtig fürs Skalarprodukt:

$d{s}^2=g^{ik}d{x}_{i}d{x}_k=g_{ik}d{x}^{i}d{x}^k$

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

$\begin{array}{rl}& \left(x^0\begin{array}{cccc},& x^1,& x^2,& x^3\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}ct,& x,& y,& z\\ \end{array}\right)\\ & d{s}^2=c^{2}d{t}^2-d{x}^2-d{y}^2-d{z}^2\\ \end{array}$

Nämlich:

$\begin{array}{rl}& \left(\begin{array}{c}{x}_0\stackrel{´}{}\\ x_1\stackrel{´}{}\\ x_2\stackrel{´}{}\\ x_3\stackrel{´}{}\\ \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right)\\ & x{\stackrel{´}{}}^i={U^i}_k{x}^k\\ \end{array}$

Mit ${U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

für $v\left|\right|x_1$

Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

$\begin{array}{rl}& {U^i}_k{U_i}^l={\delta }_k^l\\ & \Rightarrow a{\stackrel{´}{}}^{i}b{\stackrel{´}{}}_i={U^i}_k{U_i}^l{a}^k{b}_l=a^k{b}_k\\ \end{array}$

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !

Umkehr- Transformation:

$x^i={U_k}^{i}x{\stackrel{´}{}}^k$

Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

$\begin{array}{rl}& div\overline{j}+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\frac{\partial j_x}{\partial x}+\frac{\partial j_y}{\partial y}+\frac{\partial j_z}{\partial z}+\frac{\partial c\rho }{\partial ct}=0\\ & 0=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{\alpha =1}^3{\partial }_{\alpha }{j}^{\alpha }\\ \end{array}$

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

$\left\{j^{\mu }\right\}=\{c\rho ,\overline{j}\}$ ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten ! ->

$j^{\mu }=0$ muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt ${\partial }_{\mu }{j}^{\mu }=0$ Lorentz- invariant ist !:

$\begin{array}{rl}& x^0\stackrel{´}{}=\gamma (x^0-\beta x^1)\iff t\stackrel{´}{}=\gamma (t-\frac{v}{c^2}{x}^1)\\ & x^1\stackrel{´}{}=\gamma (x^1-\beta x^0)\iff x^1\stackrel{´}{}=\gamma (x^1-vt)\\ & x^2\stackrel{´}{}=x^2\\ & x^3\stackrel{´}{}=x^3\\ \end{array}$

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

$\begin{array}{rl}& j^0\stackrel{´}{}=\gamma (j^0-\beta j^1)\iff \rho \stackrel{´}{}=\gamma (\rho -\frac{v}{c^2}{j}^1)\\ & j^1\stackrel{´}{}=\gamma (j^1-\beta j^0)\iff j^1\stackrel{´}{}=\gamma (j^1-v\rho )\\ & j^2\stackrel{´}{}=j^2\\ & j^3\stackrel{´}{}=j^3\\ \end{array}$

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale $\mathrm{\Phi },\overline{A}$ sind in der Lorentz- Eichung $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$ Lösungen von

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\overline{A}(\overline{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\\ & \#=-{\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\\ & {\mu }_{0}c=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}\\ & \#\overline{A}(\overline{r},t)=-{\mu }_0\overline{j}\iff {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }c{A}^{\alpha }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\alpha }\\ & \alpha =1,2,3\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\Delta }\varphi (\overline{r},t)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\varphi (\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=-{\mu }_0{c}^2\rho \\ & \#\varphi (\overline{r},t)=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}\iff {\partial }_{\mu }{\partial }^{\mu }\varphi =\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ \end{array}$

Zusammen:

$\begin{array}{rl}& -\#{\mathrm{\Phi }}^{\mu }={\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }={\mu }_0{j}^{\mu }\\ & {\mathrm{\Phi }}^0:=\varphi \\ & {\mathrm{\Phi }}^i:=c{A}^{i}i=1..3\\ \end{array}$

Da $j^{\mu }$ Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch ${\mathrm{\Phi }}^{\mu }$ wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

${\partial }_{\alpha }{\partial }^{\alpha }$ lorentz- invariant !:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\Phi }}^0\stackrel{´}{}=\gamma ({\mathrm{\Phi }}^0-\beta {\mathrm{\Phi }}^1)bzw.\mathrm{\Phi }\stackrel{´}{}=\gamma (\mathrm{\Phi }-v{A}^1)\\ & {\mathrm{\Phi }}^1\stackrel{´}{}=\gamma ({\mathrm{\Phi }}^1-\beta {\mathrm{\Phi }}^0)bzw.A{\stackrel{´}{}}^1=\gamma (A^1-\frac{v}{c^2}\mathrm{\Phi }),A^{\stackrel{´}{}2}=A^2,A{\stackrel{´}{}}^3=A^3\\ \end{array}$

Nun: Lorentz- Eichung:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$

Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz ${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=0$ ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=0\iff \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\varphi =0$

Umeichung:

$\begin{array}{rl}& \tilde{\overline{A}}=\overline{A}+\mathrm{\nabla }F\\ & \tilde{\varphi }=\varphi -\frac{\partial }{\partial t}F\\ & \iff \\ & c{\tilde{A}}^{\alpha }=c{A}^{\alpha }+{\partial }_{\alpha }cF=c{A}^{\alpha }-{\partial }^{\alpha }cF\\ & {\tilde{\mathrm{\Phi }}}^0={\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }_{0}cF={\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }^{0}cF\\ \end{array}$

Also:

${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\mu }={\mathrm{\Phi }}^{\mu }-{\partial }^{\mu }cF$

Felder E und B:

$\begin{array}{rl}& \overline{E}=-grad\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}\\ & \Rightarrow E^{\alpha }=-{\partial }_{\alpha }\varphi -\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t}c{A}^{\alpha }=-{\partial }_{\alpha }{\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }_0{\mathrm{\Phi }}^{\alpha }={\partial }^{\alpha }{\mathrm{\Phi }}^0-{\partial }^0{\mathrm{\Phi }}^{\alpha }\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& \overline{B}=\mathrm{\nabla }\times \overline{A}\\ & \Rightarrow c{B}^1={\partial }_{2}c{A}^3-{\partial }_{3}c{A}^2={\partial }_2{\mathrm{\Phi }}^3-{\partial }_3{\mathrm{\Phi }}^2={\partial }^3{\mathrm{\Phi }}^2-{\partial }^2{\mathrm{\Phi }}^3\\ \end{array}$

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

$\begin{array}{rl}& c{B}^2={\partial }^1{\mathrm{\Phi }}^3-{\partial }^3{\mathrm{\Phi }}^1\\ & c{B}^3={\partial }^2{\mathrm{\Phi }}^1-{\partial }^1{\mathrm{\Phi }}^2\\ \end{array}$

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

$\begin{array}{rl}& \left\{F_{\mu \nu }\right\}=\{{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{c}{E}_x& \frac{1}{c}{E}_y& \frac{1}{c}{E}_z\\ -\frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ -\frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ -\frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\\ \end{array}\right)\\ & F^{\mu \nu }=\{{\partial }^{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& -\frac{1}{c}{E}_x& -\frac{1}{c}{E}_y& -\frac{1}{c}{E}_z\\ \frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ \frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ \frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\\ \end{array}\right)\\ & \iff F^{\mu \nu }=\{{\partial }^{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& -E^1& -E^2& -E^3\\ E^1& 0& -c{B}^3& c{B}^2\\ E^2& c{B}^3& 0& -c{B}^1\\ E^3& -c{B}^2& c{B}^1& 0\\ \end{array}\right)\\ \end{array}$

Wegen der Antisymmetrie hat $F^{\mu \nu }$ nur 6 unabhängige Komponenten !

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

$rot\overline{A}=\overline{B}$

während die Raum- zeit- Komponenten:

$\overline{E}=-grad\varphi -\frac{\partial }{\partial t}\overline{A}$ erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit $\overline{v}$ bewegtes System K´ gilt:

$F_{}{\stackrel{´}{}}^{\mu \nu }={U^{\mu }}_{\lambda }{U^{\nu }}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }$

${U^i}_k=\left(\begin{array}{cccc}\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ \frac{-\beta }{\sqrt{1-{\beta }^2}}& \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ \end{array}\right)$

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder $\overline{E}$ und $rot\overline{A}=\overline{B}$ berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!

$\begin{array}{rl}& E{\stackrel{´}{}}^1=F{\stackrel{´}{}}^{10}={U^1}_{\lambda }{U^0}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }=-\beta \gamma {U^0}_{\kappa }{F}^{0\kappa }+\gamma {U^0}_{\kappa }{F}^{1\kappa }={\left(\beta \gamma \right)}^2{F}^{01}+{\gamma }^2{F}^{10}=\\ & ={\gamma }^2(1-{\beta }^2)F^{10}=E^1\\ & {\gamma }^2(1-{\beta }^2)=1\\ & \\ & E{\stackrel{´}{}}^2=F{\stackrel{´}{}}^{20}={U^2}_{\lambda }{U^0}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }={U^0}_{\kappa }{F}^{2\kappa }=\gamma F^{20}-\beta \gamma F^{21}=\gamma (E^2-v{B}^3)\\ \end{array}$

$E{\stackrel{´}{}}^3=F{\stackrel{´}{}}^{30}={U^0}_{\kappa }{F}^{3\kappa }=\gamma F^{30}-\beta \gamma F^{31}=\gamma (E^3+v{B}^2)$

$\begin{array}{rl}& B{\stackrel{´}{}}^1=\frac{1}{c}F{\stackrel{´}{}}^{32}=\frac{1}{c}{U^3}_{\lambda }{U^2}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }=\frac{1}{c}{F}^{32}=B^1\\ & B{\stackrel{´}{}}^2=\frac{1}{c}F{\stackrel{´}{}}^{13}=\frac{1}{c}{U^1}_{\lambda }{U^3}_{\kappa }{F}^{\lambda \kappa }=\frac{1}{c}{U^1}_{\kappa }{F}^{\kappa 3}=-\frac{\beta \gamma }{c}{F}^{03}+\frac{\gamma }{c}{F}^{13}=\gamma (B^2+\frac{v}{c^2}{E}^3)\\ \end{array}$

$B{\stackrel{´}{}}^3=\gamma (B^3-\frac{v}{c^2}{E}^2)$

Zusammenfassung

$\begin{array}{rl}& E^1\stackrel{´}{}=E^1\\ & E^2\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(E^2-v{B}^3)\\ & E^3\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(E^3+v{B}^2)\\ & B^1\stackrel{´}{}=B^1\\ & B^2\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(B^2+\frac{v}{c^2}{E}^3)\\ & B^3\stackrel{´}{}=\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}(B^3-\frac{v}{c^2}{E}^2)\\ \end{array}$

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !

Umeichung:

${\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\mu }={\mathrm{\Phi }}^{\mu }+{\partial }^{\mu }\varphi$

Somit:

$\begin{array}{rl}& {\tilde{F}}^{\mu \nu }={\partial }^{\mu }{\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\tilde{\mathrm{\Phi }}}^{\mu }={\partial }^{\mu }({\mathrm{\Phi }}^{\nu }+{\partial }^{\nu }\varphi )-{\partial }^{\nu }({\mathrm{\Phi }}^{\mu }+{\partial }^{\mu }\varphi )\\ & ={\partial }^{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }+{\partial }^{\mu }{\partial }^{\nu }\varphi -{\partial }^{\nu }{\partial }^{\mu }\varphi =F^{\mu \nu }\\ \end{array}$

Homogene Maxwell- Gleichungen

$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\cdot \overline{B}={\partial }_1{B}^1+{\partial }_2{B}^2+{\partial }_3{B}^3=0\\ & \Rightarrow {\partial }_1{F}^{32}+{\partial }_2{F}^{13}+{\partial }_3{F}^{21}=0\\ & \\ \end{array}$

Mit

$\begin{array}{rl}& {\partial }_1=-{\partial }^1\\ & F^{32}=-F^{23}\\ & \Rightarrow {\partial }^1{F}^{23}+{\partial }^2{F}^{31}+{\partial }^3{F}^{12}=0\\ & \\ \end{array}$

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

$\mathrm{\nabla }\times \overline{E}=-\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}$

1. Komponente

${\partial }_2{E}^3-{\partial }_3{E}^2+\frac{\partial }{\partial t}{B}^1=0$

$\Rightarrow {\partial }^0{F}^{23}+{\partial }^2{F}^{30}+{\partial }^3{F}^{02}=0$ und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit

$F^{ik}=-F^{ki}$

liefert:

$\begin{array}{rl}& \Rightarrow {\partial }^0{F}^{13}+{\partial }^3{F}^{01}+{\partial }^1{F}^{30}=0zyklisch(013)\\ & \Rightarrow {\partial }^0{F}^{12}+{\partial }^1{F}^{20}+{\partial }^2{F}^{01}=0zyklisch(012)\\ \end{array}$

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }_{\lambda }{F}_{\mu \nu }=0$

${\epsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }{\partial }^{\lambda }{F}^{\mu \nu }=0$

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

1. Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).

2. ${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }$
3. transformiert unter Lorentz- Trafo

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\stackrel{´}{}={U^{\kappa }}_{\alpha }{U^{\lambda }}_{\beta }{U^{\mu }}_{\gamma }{U^{\nu }}_{\delta }{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }\\ & =\left|\begin{array}{cccc}{U^{\kappa }}_0& {U^{\kappa }}_1& {U^{\kappa }}_2& {U^{\kappa }}_3\\ {U^{\lambda }}_0& {U^{\lambda }}_1& {U^{\lambda }}_2& {U^{\lambda }}_3\\ {U^{\mu }}_0& {U^{\mu }}_1& {U^{\mu }}_2& {U^{\mu }}_3\\ {U^{\nu }}_0& {U^{\nu }}_1& {U^{\nu }}_2& {U^{\nu }}_3\\ \end{array}\right|=(\det U)\cdot {\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\\ & (\det U)=\pm 1\\ \end{array}$

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\stackrel{´}{}={\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }$ , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

${\epsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }\stackrel{´}{}=(\det U){U^{\kappa }}_{\alpha }{U^{\lambda }}_{\beta }{U^{\mu }}_{\gamma }{U^{\nu }}_{\delta }{\epsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }$

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

${(\mathrm{\nabla }\times \overline{A})}_{\alpha }={\epsilon }^{\alpha \beta \gamma }{\partial }_{\beta }{A}_{\gamma }$

Mit Pseudovektor

${(\mathrm{\nabla }\times \overline{A})}_{\alpha }$

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

( Erregungsgleichungen)

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }_0\mathrm{\nabla }\cdot \overline{E}=\rho \\ & \iff {\partial }_1{E}^1+{\partial }_2{E}^2+{\partial }_3{E}^3=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}c\rho \\ & \iff {\partial }_1{F}^{10}+{\partial }_2{F}^{20}+{\partial }_3{F}^{30}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ & \iff {\partial }_{\nu }{F}^{\nu 0}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ & wegen{\partial }_0{F}^{00}=0\\ & auch{\partial }_i{F}^{i0}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^0\\ \end{array}$

2. $\mathrm{\nabla }\times \overline{B}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial }{\partial t}\overline{E}={\mu }_0(\mathrm{\nabla }\times \overline{H}-{\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\overline{E})={\mu }_0\overline{j}$

1. Komponente

$\begin{array}{rl}& {\partial }_2{B}^3-{\partial }_3{B}^2={\mu }_0{j}^1+{\epsilon }_0{\mu }_0\frac{\partial }{\partial t}{E}^1\\ & {\mu }_{0}c=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}\\ & \iff {\partial }_2{F}^{21}-.{\partial }_3{F}^{13}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^1+.{\partial }_0{F}^{10}\\ & {\partial }_2{F}^{21}+{\partial }_3{F}^{31}+{\partial }_0{F}^{01}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^1\\ & \iff {\partial }_{\nu }{F}^{\nu 1}=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^1\\ & wegen{\partial }_1{F}^{11}=0\\ \end{array}$

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

$\begin{array}{rl}& {\partial }_{\nu }{F}^{\mu \nu }=-\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\mu }\\ & {\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\mu }\\ \end{array}$

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !

Bemerkungen

1. die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

$\left\{F_{\mu \nu }\right\}=\{{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }\}=\left(\begin{array}{cccc}0& \frac{1}{c}{E}_x& \frac{1}{c}{E}_y& \frac{1}{c}{E}_z\\ -\frac{1}{c}{E}_x& 0& -B_z& B_y\\ -\frac{1}{c}{E}_y& B_z& 0& -B_x\\ -\frac{1}{c}{E}_z& -B_y& B_x& 0\\ \end{array}\right)$

automatisch erfüllt:

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{F}_{\mu \nu }={\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }\\ & {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }=0,\\ & da:{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }symmetrisch\\ & {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }antisymmetrisch\\ & {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }=0\\ \end{array}$

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

${\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }={\partial }_{\beta }{\partial }^{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }-{\partial }_{\beta }{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\beta }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\nu }$

folgt mit Lorentz- Eichung

${\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=0$

$\begin{array}{rl}& {\partial }_{\beta }{\partial }^{\nu }{\mathrm{\Phi }}^{\beta }={\partial }^{\nu }{\partial }_{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\beta }=0\\ & also:\\ \end{array}$

${\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }={\partial }_{\beta }{\partial }^{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\nu }$ als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

$\begin{array}{rl}& {\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{F}_{\mu \nu }={\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}_{\nu }-{\epsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }{\partial }_{\beta }{\partial }_{\nu }{\mathrm{\Phi }}_{\mu }=0\\ & {\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }={\partial }_{\beta }{\partial }^{\beta }{\mathrm{\Phi }}^{\nu }=\frac{1}{{\epsilon }_{0}c}{j}^{\nu }\\ \end{array}$

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!

Gauß- System:

${\partial }_{\beta }{F}^{\beta \nu }=\frac{4\pi }{c}{j}^{\nu }$

Relativistisches Hamiltonprinzip

Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

$\begin{array}{rl}& \delta W=0\\ & W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds\\ \end{array}$

letzteres: Wirkungsintegral Wichtig: ${\delta x^i|}_{1,2}=0$

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

$W=-m_{0}c\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds$

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

$\begin{array}{rl}& \left({\varphi }^i\right)(x^j)\\ & \Rightarrow \\ \end{array}$

$W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}cds-{\varphi }^{i}d{x}_i\}$

mit den Lorentz- Invarianten

$m_{0}cds$

und

${\varphi }^{i}d{x}_i$

Variation:

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}c\delta \left(ds\right)-\delta \left({\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }\right)\}$

Nun:

$\begin{array}{rl}& \delta \left(ds\right)=\delta {\left(d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }\right)}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\frac{\left(d\delta x^{\mu }\right)d{x}_{\mu }+d{x}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)}{ds}\\ & \left(d\delta x^{\mu }\right)d{x}_{\mu }=d{x}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)\\ & =\frac{d{x}^{\mu }}{ds}\left(d\delta x_{\mu }\right)=u^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)\\ \end{array}$

Außerdem:

$\delta \left({\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }\right)=\delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }+{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)$

Somit:

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}c{u}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)-\delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }-{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)\}$

Weiter mit partieller Integration:

$\begin{array}{rl}& \underset{1}{\overset{2}{\int }}-m_{0}c{u}^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)={[-m_{0}c{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)]}_1^2+\underset{1}{\overset{2}{\int }}{m}_{0}cd{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)\\ & {[-m_{0}c{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)]}_1^2=0,weil\delta {x_{\mu }}_1^2=0\\ & \Rightarrow \underset{1}{\overset{2}{\int }}-m_{0}c{u}^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{m}_{0}cd{u}^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{m}_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}\left(\delta x_{\mu }\right)ds\\ \end{array}$

Weiter:

$\underset{1}{\overset{2}{\int }}-{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)=-{\left[{\varphi }^{\mu }\delta x_{\mu }\right]}_1^2+\underset{1}{\overset{2}{\int }}d{\varphi }^{\mu }\left(\delta x_{\mu }\right)$

Mit

$\begin{array}{rl}& d{\varphi }^{\mu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }d{x}_{\nu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }{u}_{\nu }ds\\ & \delta {\varphi }^{\mu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }\delta x_{\nu }\\ & \delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }={\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu }\delta x_{\nu }d{x}_{\mu }=i<->k={\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }\delta x_{\mu }d{x}_{\nu }={\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }{u}_{\nu }\delta x_{\mu }ds\\ \end{array}$

Einsetzen in

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}c{u}^{\mu }\left(d\delta x_{\mu }\right)-\delta {\varphi }^{\mu }d{x}_{\mu }-{\varphi }^{\mu }d\left(\delta x_{\mu }\right)\}$

liefert:

$\delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}-({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })u_{\nu }\}\delta x_{\mu }$

Wegen

$\begin{array}{rl}& \delta W=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\{m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}-({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })u_{\nu }\}\delta x_{\mu }=0\\ & m_{0}c\frac{d{u}^{\mu }}{ds}=({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })u_{\nu }:=f^{\mu \nu }{u}_{\nu }\\ & f^{\mu \nu }=({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })\\ \end{array}$

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

$\begin{array}{rl}& p^{\mu }=m_{0}c{u}^{\mu }\\ & f^{\mu \nu }=\frac{q}{c}{F}^{\mu \nu }=({\partial }^{\mu }{\varphi }^{\nu }-{\partial }^{\nu }{\varphi }^{\mu })\\ & {\varphi }^{\mu }=\frac{q}{c}{\mathrm{\Phi }}^{\mu }\\ & \frac{d}{ds}{p}^{\mu }=\frac{q}{c}{F}^{\mu \nu }{u}_{\nu }\iff \delta W=\delta \underset{1}{\overset{2}{\int }}\{-m_{0}cds-\frac{q}{c}{\mathrm{\Phi }}^{\mu }d{x}_{\mu }\}=0\\ \end{array}$

Man bestimmt die Ortskomponenten $\alpha =1,2,3$ über

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}\overline{p}=q(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})\\ & \\ \end{array}$

überein, denn mit

$\begin{array}{rl}& u^0=\gamma \\ & u^{\alpha }=\frac{\gamma }{c}{v}^{\alpha }=-u_{\alpha }\\ \end{array}$

folgt dann:

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{dt}{p}^1=q(E^1+v^2{B}^3-v^3{B}^2)\\ & =q(F^{10}+F^{21}\frac{1}{c}{v}^2-F^{13}\frac{1}{c}{v}^3)\\ & =\frac{q}{\gamma }(F^{10}\gamma +F^{21}\frac{\gamma }{c}{v}^2-F^{13}\frac{\gamma }{c}{v}^3)=\frac{q}{\gamma }{F}^{1\mu }{u}_{\mu }\\ \end{array}$

mit

$ds=\frac{c}{\gamma }dt$

$\frac{d}{ds}{p}^1=\frac{q}{c}{F}^{1\mu }{u}_{\mu }$

Die zeitartige Komponente $\mu =0$ gibt wegen $p^0=\frac{E}{c}$

$\begin{array}{rl}& \frac{d}{ds}\frac{E}{c}=\frac{\gamma }{c^2}\frac{dE}{dt}=\frac{q}{c}(F^{01}{u}_1+F^{02}{u}_2+F^{03}{u}_3)=\\ & =\frac{q\gamma }{c^2}(-E^1{v}_1-E^2{v}_2-E^3{v}_3)=\frac{q\gamma }{c^2}(E^1{v}^1+E^2{v}^2+E^3{v}^3)\\ & \frac{dE}{dt}=q\overline{E}\cdot \overline{v}\\ \end{array}$

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit

Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Wirkungsintegral:

$W=-m_{0}c\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds-\frac{q}{c}\underset{1}{\overset{2}{\int }}d{x}_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }$

Dabei:

$m_{0}c\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds=W_t$ ( Teilchen)

$-\frac{q}{c}\underset{1}{\overset{2}{\int }}d{x}_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{\mu }=W_{tf}$ ( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte $m\left(x^{\mu }\right)$

Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!

$\begin{array}{rl}& W_t=-c\underset{}{\overset{}{\int }}{d}^{3}rm\underset{1}{\overset{2}{\int }}ds=-\underset{\mathrm{\Omega }}{\overset{}{\int }}d\mathrm{\Omega }m\frac{ds}{dt}\\ & d\mathrm{\Omega }:=d^{3}rcdt=d{x}^{0}d{x}^{1}d{x}^{2}d{x}^3\\ \end{array}$

dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!

Bemerkungen:

2. $d\mathrm{\Omega }$
3. ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

${U^{\mu }}_{\nu }$ erhalten bleibt.

2) Aus $d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}{d}^{3}rcdt;d^{3}rcdt=d\mathrm{\Omega }\Rightarrow d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}d\mathrm{\Omega }$

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m= $d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}{d}^{3}rcdt;d^{3}rcdt=d\mathrm{\Omega }\Rightarrow d{m}_{0}d{x}^{\mu }=\frac{\mu }{c}\frac{d{x}^{\mu }}{dt}d\mathrm{\Omega }$

$m_0\frac{d{x}^{\mu }}{dt}\equiv g^{\mu }$

ein Vier- Vektor ist, da $d{m}_0,d\mathrm{\Omega }$ Lorentz- Skalare sind und natürlich $d{x}^{\mu }$ selbst auch ein Vierervektor

2. ${\mu }^2\frac{d{x}^{\mu }d{x}_{\mu }}{{\left(dt\right)}^2}=g^{\mu }{g}_{\mu }={\left(\mu \frac{ds}{dt}\right)}^2$
3. ist Lorentz - Invariant.

Also $g^{\mu }{g}_{\mu }$ ist Lorentz- Invariant. Also auch $\left(\mu \frac{ds}{dt}\right)$ .

Somit ist $W_t$ insgesamt Lorentz- Invariant !