Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Allgemeine Eigenschaften der stationären Zustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 6) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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$[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }+V(\overline{r})]\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})$

die zeitunabhängige Schrödingergleichung mit dem skalaren Potenzial V

Annahme: $V(\overline{r})\to 0$für$\left|\overline{r}\right|\to \mathrm{\infty }$

außerdem soll das Potenzial stückweise stetig sein und nach unten beschränkt.

Dann gilt:

1. E<0

Prinzipiell sind nur diskrete Eigenwerte E>Vmin möglich.

Dies ist ein klarer Widerspruch zur klassischen Mechanik, nach der alle Zustände mit $E\ge V_{\min }$möglich sind.

Die Anzahl der Eigenwerte und ihr Abstand hängt jedoch von der Form von V ab.

Wenn $\begin{array}{c}\lim \\ r\to \mathrm{\infty }\\ \end{array}|V(\overline{r})|\stackrel{~}{}\frac{1}{r^{2+\delta }}$mit $\delta >0$. Das Potenzial muss also nur für r gegen unendlich dieses Verhalten zeigen. Dann existieren nur ENDLICH viele diskrete Werte.

Also: es gibt genau dann endlich viele Zustände im Potenzial, wenn das Potenzial schneller verschwindet als 1/r².

Typische Beispiele sind kurzreichweitige Potenziale wie die Dipol- Dipol- Wechselwirkung $|V(\overline{r})|\stackrel{~}{}\frac{1}{r^6}$oder der rechteckige Potenzialtopf.

Bei sehr flachen Potenzialen (sehr flaches Vmin) existiert möglicherweise gar kein Zustand im Potenzialtopf (gar kein Eigenwert existiert).

In eindimensionalen Potenzialen allerdings existiert stets ein Eigenwert E<0.

Langreichweitige, langsam abfallende Potenziale können unendlich viele E<0 mit einem Häufungspunkt bei E=0 haben (Wasserstoffatom). Dies trifft vor allem für das 1/r- Potenzial zu!

Eigenzustände zu E<0

Sind in jedem Fall Normierbar: $\underset{R^3}{\overset{}{\int }}{d}^{3}r{|\varphi (\overline{r})|}^2=1$

$\begin{array}{c}\lim \\ \overline{r}->\mathrm{\infty }\\ \end{array}\varphi (\overline{r})\to 0$ hinreichend rasch!. Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ist damit im Endlichen lokalisiert. Das bedeutet: Die Zustände sind gebunden.

Es existieren also gebundene Zustände im Bereich E<0 (vergleiche: elliptische Bahnen bei 1/r- Potenzialen für E<0)

Im Gegensatz zur klassischen Mechanik ist jedoch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit auch in Bereichen mit E<V(r) von Null verschieden: Klassisch: $\frac{p^2}{2m}+V(\overline{r})=E$ Grund dafür ist die Unschärferelation: $\mathrm{\Delta }p\mathrm{\Delta }x\ge \frac{\hslash }{2}$ Für ebene Wellen als Lösung der Schrödingergleichung der Form $e^{ikx}$ gilt dann wegen $k\stackrel{~}{}\sqrt{E-V}\in \mathrm{\Im }$, falls E < V somit $e^{ikx}=e^{-\mathrm{\Re }}$ → exponentiell gedämpftes Eindringen in die Barriere!

E>0

Hier ist das Energiespektrum grundsätzlich kontinuierlich. Die Eigenfunktionen sind dabei nicht normierbar:

$\begin{array}{c}\lim \\ \overline{r}->\mathrm{\infty }\\ \end{array}\varphi (\overline{r})\to const$oder oszilliert.

Beispiel: Ebene Welle $\varphi (\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}$ist Lösung von

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }\varphi (\overline{r})=E\varphi (\overline{r})$mit $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}>0$

$k\in R\Rightarrow e^{ikr}$ ist oszillierend!

$\varphi (\overline{r})=e^{i\overline{k}\overline{r}}$ ist also Lösung der Schrödingergleichung mit V=0

Es gibt keine Einschränkungen an $E=\frac{{\hslash }^2{k}^2}{2m}>0$. Die Energie ist gleich der kinetischen Energie! Falls V=0 Das Teilchen ist ganz klar nicht im Endlichen lokalisiert. Man spricht auch von einem stationären Streuzustand. Beispiel: Elektronen in Metallen → Elektronengas! Nebenbemerkung: Wellenpakete und damit auch Photonen sind KEINE stationären Zustände (= Energie- Eigenzustände). Die unendliche Delokalisation stellt sich also als Problem hier noch gar nicht an Photonen oder Wellenpakete im Allgemeinen. (für " Energieeigenzustände") Bemerkungen

1. Die Klassifizierung E<0 und E>0 gilt auch dann noch, wenn $V(\overline{r})$Punktsingularitäten hat, also auch beim $V(\overline{r})\stackrel{~}{}\frac{1}{r}$bei r=0 oder beim Delta- Potenzial
2. In Bereichen mit $V(\overline{r})\to \mathrm{\infty }$gilt grundsätzlich $\varphi =0$. Auch quantenmechanisch kann hier das Teilchen nicht eindringen. Insbesondere folgt als Randbedingung an einer unendlich hohen Potenzialschwelle:

$\varphi {|}_{Rand}=0$

1. Qualitativ verschieden ist das Verhalten bei periodischen Potenzialen $V(\overline{r})$.Dies beobachtet man beispielsweise bei Elektronen in Kristallen. So entstehen beispielsweise Energiebänder.

Eindimensionale stationäre Zustände

In Spezialfällen lassen sich Probleme separieren/reduzieren:

$V(\overline{r})=V_1(x_1)+V_2(x_2)+V_3(x_3)$

Separation in kartesischen Koordinaten:

$\varphi (\overline{r})={\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2){\varphi }_3(x_3)$

Die Schrödingergleichung lautet:

$\begin{array}{rl}& \sum _{i=1}^3[-\frac{{\hslash }^2}{2m}\frac{{\partial }^2}{\partial {x_i}^2}+V_i(x_i)]{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2){\varphi }_3(x_3)=E{\varphi }_1(x_1){\varphi }_2(x_2){\varphi }_3(x_3)\\ & \Rightarrow \frac{\frac{{\hslash }^2}{2m}{\varphi }_i\stackrel{´}{}\stackrel{´}{}(x_i)+V_i(x_i){\varphi }_i(x_i)}{{\varphi }_i(x_i)}=E^{(i)}\\ \end{array}$

mit $E=E^{(1)}+E^{(2)}+E^{(3)}$ Insbesondere (Beispiel): $V_2+V_3=0$→ freie Bewegung in x2 und x3- Richtung

$\varphi (\overline{r})={\varphi }_1(x_1)e^{i{k}_2{x}_2}{e}^{i{k}_3{x}_3}$

$E=E^{(1)}+\frac{{k_2}^2{\hslash }^2}{2m}+\frac{{k_3}^2{\hslash }^2}{2m}$

Beispiel: Quantentopf in Halbleitern (Quantum Well) Halbleiterschichtstruktur:

Durch die Variation des Legierungsverhältnis x und durch die Schichtdicke läßt sich Vo und a maßgeschneidert produzieren und somit auch die Lage und Zahl der Energieniveaus im Halbleiter. Das effektive Potenzial der Leitungselektronen ist der Quantentopf wie im rechten Diagramm dargestellt. Beispiel: Für GaAs/ AlGaAs der Form:

$GaAs/A{l}_{0,3}G{a}_{0,7}As$ erhält man Vo = 250 meV. Bei einer Schichtdicke des GaAs von 10 nm ergeben sich 3 gebundene Zustände im Quantentopf.

Durch die gebundenen Zustände im Quantentopf und die freie Beweglichkeit in x2- und x3- Richtung mit der effektiven Masse $m*$ ergibt sich ein zweidimensionaler Leiter, wenn die Spannung in x2- oder x3- Richtung angelegt wird. Legt man einen Strang durch das Material, so gewinnt man einen eindimensionalen Leiter. Beispiel: Kugelsymmetrisches Potenzial Sei $V(r)$kugelsymmetrisch, so bietet sich Separation in Kugelkoordinaten an: $r,\vartheta ,\varphi$:

$\mathrm{\Phi }(\overline{r})=R(r)+Y(\vartheta ,\varphi )$

Beispiel: H- Atom mit Coulombpotenzial $V=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$