Drehimpuls- Eigenzustände
Der Artikel Drehimpuls- Eigenzustände basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 1) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
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Vertauschungs- Relationen:
Schreibt man dies mit dem Epsilon- Tensor, so gilt einfacher:
also kann es keine gemeinsamen Eigenvektoren zu je zwei Drehimpulskomponenten geben.
für k = 1,2,3
Beweis: Übung
Es gibt also gemeinsame Eigenvektoren zu EINEM Lk, konventionshalber
Definition von Leiteroperatoren (vergl. harmonischer Oszi):
nicht hermitesch
L+- Form und adjungierte Form.
Auch dies kann verallgemeinert werden:
Beweis: Durch vollständige Induktion:
Für n = 1 gezeigt. Sei es nun richtig für ein n größer/gleich 1
Warum ?
Nun:
Wir suchen einen vollständigen Satz von vertauschbaren. Observablen (nötig für Quantisierung → Quantisierungsbedingung entspricht Kommutatoren, wir brauchen aber möglichst viele Größen, deren Kommutator verschwindet.). Ziel: Maximalmessung ermöglichen!
bekommt man dagegen dann einen Ersatz für ,
der mit
vertauscht. Man hat also wieder einen vollständigen Satz von Observablen)(hinsichtlich des Drehimpulsproblems) (3 Stück, entsprechend der drei nötigen Angaben für die drei Komponenten des Drehimpulsvektors! im Dreidimensionalen. Diesmal vertauscht jedoch alles!
keine Observablen, sondern die Erzeugenden für höhere Drehimpulszustände.
Die möglichen Observablen sind
wobei die Komponente selbst willkürlich ist. Hier wählen wir die dritte aus.
Wir können das System also über zwei Quantenzahlen charakterisieren!
Eigenwerte und Eigenzustände
Die gemeinsamen normierten Eigenvektoren
gehorchen den Eigenwertgleichungen
Prinzipiell: Für alle Observablen müssen wir Quantenzahlen einführen. Zum formalen Vorgehen schreibt man diese Quantenzahlen einfach in einen Zustandsvektor. Diese Quantenzahlen sind Eigenwerte der Observablen, also mögliche Messwerte. Unser formaler Zustand aus Quantenzahlen ist per Definition ein Eigenvektor zu diesen Quantenzahlen.
Dann muss man nur noch Bedingungen finden, die aus der Eigenwertgleichung Information liefern, die herangezogen werden kann, um die Quantenzahlen einzuschränken bzw. zu bestimmen.
Bei uns gilt:
erhöhen/ erniedrigen den Eigenwert von
→ wir bekommen hier Informationen, indem wir Produkte aus Operatoren auf unsere formalen Eigenzustände wirken lassen. Dieses Vorgehen ist sehr typisch, kann man sich mal merken!
Die n- bzw. m- malige Anwendung bei festem
ist nach oben und nach unten beschränkt:
Also existiert ein größter Eigenwert
m=-l → gehört zu bmin
m=+l → gehört zu b max
Es können keine weiteren Eigenwerte von
zwischen diesen Werten liegen, weil man sonst durch wiederholte Anwendung von
verletzen könnte.
Werte von m:
Dies entspricht der energetisch gleichen
- fachen Richtungsentartung von
welche von außen, z.B. durch Magnetfelder, aufgehoben werden kann.
den Drehimpulseigenzustand jeweils exakt um
erhöhen bzw. erniedrigen, ist also eine Konsequenz aus dem Kommutator ,
besser, wegen dem zyklischen Anspruch an j,k,l:
.
Der wurde nämlich oben mit eingesetzt um die Eigenwertprobleme zu bestimmen. (siehe oben).
die Drehimpulsquantisierung.
Tabelle:
Quanten- zahlen Eigenwert von Richtungsquantenzahl m l m 0 0 0
Diracsches Vektormodell:
Darstellung der Richtungsquantisierung:
m=1/2 → Der Drehimpuls steht parallel zur x3- Achse
m=-1/2 → der Drehimpuls steht antiparallel zur x3- Achse
soll berechnet werden
Nebenbemerkung: Die Drehimpulsquantisierung ist eine Folge der Nichtvertauschbarkeit der einzelnen Komponenten des Drehimpulses!