Zeitliche Translationsinvarianz

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Zeitliche Translationsinvarianz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Zeit spielt in der klassischen Mechanik im Ggstz zur relativistischen Mechanik gegenüber dem Ort eine Sonderrolle.

Deshalb ist eine direkte Anwendung des Noether- Theorems nicht moeglich.

Zeitliche Translationsinvarianz ist erfüllt, falls:

1. die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten:

$\begin{array}{rl}& {\overline{r}}_i={\overline{r}}_i(q_1,...,q_f)\\ & \frac{\partial }{\partial t}{\overline{r}}_i=0\Rightarrow {\dot{\overline{r}}}_i=\sum _j^{}\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i{{\dot{q}}_j}_{}\\ \end{array}$

Dabei ist

$\frac{\partial }{\partial q_j}{\overline{r}}_i$

Funktion von q1...qf

$\frac{\partial }{\partial t}L=0$

1. Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt NICHT automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten.

Wenn die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten, so ist die Energie nicht enthalten.

${\overline{r}}_i={\overline{r}}_i(q_1,...,q_f,t)$

Kinetische Energie:

$T=\frac{1}{2}\sum _i^{}{m}_i{{\dot{\overline{r}}}_i}^2=\frac{1}{2}\sum _{j,k}^{}{T}_{jk}{\dot{q}}_j{\dot{q}}_k$ Mit $T_{jk}=\sum _{i=1}^N{m}_i\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_j}\right)\left(\frac{\partial {\overline{r}}_i}{\partial q_k}\right)$

ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde.

T ist eine homogene quadratische Funktion der

${\dot{q}}_1...{\dot{q}}_f$ Also $T(\lambda {\dot{q}}_1,...,\lambda {\dot{q}}_f)={\lambda }^{2}T({\dot{q}}_1,...,{\dot{q}}_f)$ Nach $\lambda$

wird partiell abgelitten, dann wird

$\lambda =1$

gesetzt.

$\begin{array}{rl}& \sum _{k=1}^N\left(\frac{\partial T}{\partial \left(\lambda {\dot{q}}_k\right)}\right)\left(\frac{\partial \left(\lambda {\dot{q}}_k\right)}{\partial \lambda }\right)|{\lambda =1}_{}=2\lambda T|{\lambda =1}_{}\iff \sum _{k=1}^N\left(\frac{\partial T}{\partial \left({\dot{q}}_k\right)}\right){\dot{q}}_k=2T\\ & \left(\frac{\partial \left(\lambda {\dot{q}}_k\right)}{\partial \lambda }\right)={\dot{q}}_k\\ \end{array}$

Obere Äquivalenz ist der sogenannte Eulersche Satz

Da V unabhängig von

${\dot{q}}_1...{\dot{q}}_f$

gilt auch:

$\sum _{k=1}^N\left(\frac{\partial L}{\partial \left({\dot{q}}_k\right)}\right){\dot{q}}_k=2T$

Zur totalen Zeitableitung von L:

$\begin{array}{rl}& \frac{dL}{dt}=\sum _k^{}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}{\ddot{q}}_k+\frac{\partial L}{\partial q_k}{\dot{q}}_k)+\frac{\partial L}{\partial t}\\ & \frac{\partial L}{\partial q_k}=\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}und\frac{\partial L}{\partial t}=0wegen2.(oben)\\ \end{array}$

Somit:

$\frac{dL}{dt}=\sum _k^{}(\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}{\ddot{q}}_k+\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}{\dot{q}}_k)=\frac{d}{dt}\sum _k^{}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}{\dot{q}}_k=2\frac{dT}{dt}$ wegen $\sum _{k=1}^N\left(\frac{\partial L}{\partial \left({\dot{q}}_k\right)}\right){\dot{q}}_k=2T$

Somit:

$0=\frac{d}{dt}(2T-L)=\frac{d}{dt}(T+V)\Rightarrow T+V=konst$

Zeitranslationsinvarianz bedingt also Energieerhaltung!

Oder: Skleronome Zwangsbedingungen:

$\frac{\partial L}{\partial t}=0$

bedingen: E=T+V=constant

Nebenbemerkung

Die Aussage folgt auch aus dem Noether-Theorem, wenn man noch den folgenden Trick anwendet: (Scheck, Aufgabe 2.17)

Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung:

$q_k=q_k(\tau ),t=t(\tau )$

Als Lagrangefunktion muss man sich definieren:

$\overline{L}(q_k,t,\frac{d{q}_k}{d\tau },\frac{d{t}_{}}{d\tau }):=L(q_k,\frac{1}{\left({}^{dt}╱{}_{d\tau }\right)}\frac{d{q}_k}{d\tau },t,\frac{dt}{d\tau })$

soll invariant unter Zeittranslationen sein:

$h^s(\overline{q},t)=(\overline{q},t+s)$

Dann gilt:

1. Hamiltonsches Prinzip auf

$\overline{L}$

angewandt:

$0=\delta \underset{\tau 1}{\overset{\tau 2}{\int }}\overline{L}d\tau =\delta \underset{t1}{\overset{t2}{\int }}Ldt\iff \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0$

2. Noethersches Theorem für

$\overline{L}$

Integral der Bewegung I:

$\begin{array}{rl}& I=\sum _{i=1}^{f+1}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}{(\frac{d}{ds}{h}^s(q_1,...,q_{f+1}))}_{s=0}=\frac{\partial \overline{L}}{\partial {\dot{q}}_{f+1}}\\ & mit(\frac{d}{ds}{h}^s(q_1,...,q_{f+1}))=(0,...,0,1)fNullen,1anStellef+1mit{q}_{f+1}=t\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& I=\frac{\partial \overline{L}}{\partial {\dot{q}}_{f+1}}=\frac{\partial \overline{L}}{\partial \left(\frac{dt}{d\tau }\right)}=L+\sum _{k=1}^f\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}(-\frac{1}{{\left(\frac{dt}{d\tau }\right)}^2})\frac{d{q}_k}{d\tau }\frac{dt}{d\tau }\\ & =L-\sum _{k=1}^f\left(\frac{\partial L}{\partial \left({\dot{q}}_k\right)}\right){\dot{q}}_k=T-V-2T=-(T-V)\\ \end{array}$

Also Erhaltung der Energie durch zeitliche Translationsinvarianz