Störungen integrabler Systeme

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Störungen integrabler Systeme basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 5.Kapitels (Abschnitt 3) der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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ein integrables, quasiperiodisches, autonomes Hamiltonsches System mit der Wirkungsvariablen

$\overline{I}(I_1,...,I_f)$

und der Winkelvariablen

$\overline{\theta }({\theta }_1,...,{\theta }_f)$,

Hamiltonfunktion

$H_0(\overline{I})$

Betrachten wir nun eine kleine Störung der Stärke

$\epsilon$

$H(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )=H_0(\overline{I})+\epsilon H_1(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )$

In diesem Fall ist

$\theta$

nicht mehr zyklisch.

$\overline{I}(I_1,...,I_f)$

ist also keine Bewegungskonstante mehr!

Beispiel:

Himmelsmechanik, beispielsweise restringiertes 3- Körper- Problem

System: Sonne, Erde, Mond

• integrables 2- Körper- Problem mit 2 größeren Massen (annähernd Kreisbahn) und einer kleinen Masse m3 als Störung
• Frage: Ist die quasiperiodische Bewegung über lange Zeiten stabil ? Das heißt: Verändert die Störung die Struktur der Bewegungsmannigfaltigkeit nur wenig ?

Also:

Durch eine dritte Masse m3 ist eine Störung gegeben. Die Bewegung konnte auch vorher (bei irrationalem Verhältnis der Umlaufszeiten oder Frequenzen) schon nur quasiperiodisch sein.

Ist die quasiperiodische Lösung unter Anwesenheit der dritten Masse jedoch noch stabil ?

• Dies ist bis heute ungelöst... Es gibt jedoch Hinweise auf chaotische Bewegungen, beispielsweise chaotische Bewegungen des Planeten Pluto!

Teilantwort liefert die KAM_ Theorie (Kolmogorov, Arnold, Moser, 1954, 1963, 1967)

• Stabilitätsaussagen

Voraussetzung:

Die Frequenzen des integrablen Systems

$H_0(\overline{I})$

sind rational unabhängig, also:

$\sum _{i=1}^f{r}_i{\omega }_i=0r_i\in Z\iff r_1=...=r_f=0$

Dann überdeckt jede Bahn für festes

$I_k={\alpha }_k$

den Torus

$T^f$

dicht ohne sich jedoch zu schließen: Die Bewegung ist ergodisch.

ERGODISCHE Bewegung (nichtresonanter Torus)

KAM- Theorem

Sind in einem integablen Hamiltonschen System Ho die Frequenzen genügend irrational:, das heißt

$\left|\sum _{i=1}^f{r}_i{\omega }_i\right|\ge \gamma {\left|\overline{r}\right|}^{\alpha }\alpha ,\gamma >0$

So hat das gestörte System

$H(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )=H_0(\overline{I})+\epsilon H_1(\overline{\theta },\overline{I},\epsilon )$

für kleine

$\epsilon$

überwiegend ebenfalls quasiperiodische Lösungen und die eisten nichtresonanten Tori von

$H_0$

werden nur wenig deformiert, aber nicht zerstört.

Anwendung:

Das restringierte 3-Körper-Problem ist KAM- Stabil. Aber: keine Aussage über eine Langzeitstabilität unseres Planetensystems!

Praktische Verfahren zur Berechnung der gestörten Lösungen:

• störungstheoretische Entwicklung in

$\epsilon$

• Mittelung über die Störungen