Energiebilanz

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Kein GFDL

Der Artikel Energiebilanz basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 3.Kapitels (Abschnitt 4) der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Die Maxwell- Gleichungen enthalten die Kontinuitätsgleichung für die elektrische Ladung

$\begin{array}{rl}& \dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0\\ & \dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=\mathrm{\nabla }\cdot (\dot{\overline{D}}+\overline{j})=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})=0\\ \end{array}$

Frage:

Enthalten die Maxwell- Gleichungen weitere Erhaltungssätze für extensive physikalische Observablen, wie Energie, Impuls, Drehimpuls. ( Extensiv: Additiv bei Systemzusammensetzung)

Energietransport durch das elektromagnetische Feld:

$\begin{array}{rl}& {\mathrm{\nabla }}_r\times \overline{E}+\dot{\overline{B}}=0|\cdot \overline{H}\\ & \mathrm{\nabla }\times \overline{H}-\dot{\overline{D}}=\overline{j}|\cdot \overline{E}\\ & \Rightarrow \overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})+\overline{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{B}+\overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{D}=-\overline{j}\cdot \overline{E}\\ & \overline{H}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{E})-\overline{E}\cdot (\mathrm{\nabla }\times \overline{H})=\mathrm{\nabla }\cdot (\overline{E}\times \overline{H})\\ & \overline{H}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=\frac{1}{{\mu }_0}\overline{B}\frac{\partial }{\partial t}\overline{B}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2\right)\\ & \overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{D}={\epsilon }_0\overline{E}\cdot \frac{\partial }{\partial t}\overline{E}=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2\right)\\ \end{array}$

Also:

$\frac{\partial }{\partial t}w+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{S}=-\overline{j}\cdot \overline{E}$

Als Kontinuitätsgleichung ( Bilanzgleichung) für den Energietransport

mit

$w:=\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{1}{2{\mu }_0}{\overline{B}}^2\right)+\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{{\epsilon }_0}{2}{\overline{E}}^2\right)=\frac{1}{2}(\overline{E}\cdot \overline{D}+\overline{B}\cdot \overline{H})$

Als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes Remember:

Elektrostatik:

$\frac{1}{2}\overline{E}\cdot \overline{D}$

Magnetostatik:

$\frac{1}{2}\overline{B}\cdot \overline{H}$

$\overline{S}:=\overline{E}\times \overline{H}$ als Energiestromdichte des elektromagnetischen Feldes ( Poynting- Vektor)

$\sigma =-\overline{j}\cdot \overline{E}$ als Quelldichte der Feldenergie ( Leistungsdichte)

$\overline{j}\cdot \overline{E}>0$ bedingt die Abnahme der Feldenergie bei $(\overline{r},t)$

$\overline{j}\cdot \overline{E}<0$ bedingt die Zunahme der Feldenergie bei $(\overline{r},t)$

Beispiel: Beschleunigung von Teilchen durch die Felder $\overline{E},\overline{B}$

Kraft auf die Ladung q: $\overline{F}=q(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})$

Kraftdichte: $\overline{f}=\rho (\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})$

Als Leistungsdichte der Felder auf die Ladungsdichte $\rho$ folgt:

$\begin{array}{rl}& \overline{f}\overline{v}=\rho \overline{v}(\overline{E}+\overline{v}\times \overline{B})=\rho \overline{v}\overline{E}+\rho \overline{v}(\overline{v}\times \overline{B})\\ & \rho \overline{v}(\overline{v}\times \overline{B})=0\\ & \Rightarrow \overline{f}\overline{v}=\rho \overline{v}\overline{E}=\overline{j}\overline{E}\\ \end{array}$

Das Magnetfeld leistet keine Arbeit, da die Kraft senkrecht auf die Geschwindigkeit steht

Es verbleibt die Kraftdichte, die vom Feld auf Ladungen übertragen wird ( sogenannte Verlustdichte der Feldenergie)

Also ist die Feldenergie keine Erhaltungsgröße !!

Beispiel: Ohmsches Gesetz:

$\sigma \cdot \overline{E}=\overline{j}$ mit der konstanten LEITFÄHIGKEIT $\sigma >0$ ( nicht wie oben Oberflächenladungsdichte)

Das Ohmsche Gesetz ist ein phänomenologisches MATERIALGESETZ. Es gilt in Metallen und Halbleitern für hinreichend kleine Felder $\overline{E}$

Die Energiebilanz lautet:

$\frac{\partial }{\partial t}w+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{S}=-\sigma \cdot {\overline{E}}^2<0$

Das heißt: Es gibt stets den VERLUST von Feldenergie ! Eine Konsequenz des 2. Hauptsatz der Thermodynamik Im Gegensatz zur Elektrodynamik ist das Ohmsche Gesetz also nicht zeitumkehrinvariant !

Das bedeutet:

$\begin{array}{rl}& t\to -t\\ & \overline{j}\to -\overline{j}\\ & aber\\ & \overline{E}\to \overline{E}\\ \end{array}$

$\sigma \cdot {\overline{E}}^2>0$ wird dann als Joulsche Wärme im Leiter dissipiert

2. Beispiel:

Antennenstrahlung ( offenes System)

$\overline{j}$ in der metallischen Antenne ist dem Wechselfeld $\overline{E}$ außerhalb entgegengesetzt.

$\Rightarrow \overline{j}\overline{E}<0$

$\Rightarrow$ Energiegewinn des Feldes