Kurzer historischer Überblick

(Rückwärtsüberblick über die Vorlesung)

A Avangado (1776-1856)

hat als einer der erste so etwas we die idealea Gasgleichung aufgeschrieben $pV=nkT$

J Losschmidt (1821-1879)

Anschätzung zur Zahl Moleküle in typischem makroskopischem Volumen von 10²³ Teilchen

J.C. Maywell (1831-1879)

berechnet erstmalig die Geschwidgkeitsverteilung des Teilchen in ein em idealn Gas

$\underset{\begin{array}{rl}& \text{Wahrscheinlichkeit beim }\\ & \text{Reingreifen in ein}\\ & \text{Gas ein Teilchen mit}\\ & \left|\underset{\_}{v}\right|\text{=}v\text{ zu finden }\\ \end{array}}{\underbrace{w\left(v\right)}}=4\pi {\left(\frac{m}{2\pi k_{B}T}\right)}^{3/2}{v}^2\underset{\begin{array}{c}\text{legt einen Abschneideparameter}\\ \text{kT}\triangleq \text{thermischen Energie fest}\end{array}}{\underbrace{\exp (-\frac{m{v}^2}{2k_{B}T})}}$

siehe auch [1]

J.W. Gibbs (1839-1903) u.a.

führen unabhängig von Gas Wahscheinlichkeitsverteilungen recht allgemein ein. $\left\{|{\mathrm{\Psi }}_i⟩\right\}$ Systemezustände mit Energie \epsilon_i treten mit Wahrscheinlichkeit $w_i\stackrel{~}{}\exp (-\frac{{\epsilon }_i}{kT})$ auf.

L. Bolzmann (1844-1906) u.a.

verbinden die Entrobie S mit den w_i 's undn führen die Temperaturdefinition über S ein:

$S=S(N,E,V)=-k_{\text{B}}\sum _i{p}_i\ln w_i\rightleftharpoons T^{-1}={\partial }_{E}S$ (E=Energie)

man verbindet die mikroskopiscen Größen ${ϵ}_i$ mit T, einer makroskopischen Größe.

(siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Entropie_(Thermodynamik)#Statistische_Physik)

Quantenstatistik

neben der klassischen Statistik von Maxwell gibt es die Quantenstatistik

• E. Fermi (1901-1954) --> Fermionen (halbzahliger Spin)
• N. Bose (1894-1955) --> Bose (ganzzahliger Spin)

Was ist die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Zustand ${\mathrm{\Psi }}_i$ mit Energie ${ϵ}_i$ zu finden? $f_{{\epsilon }_i}^{F/B}=\frac{1}{\exp \left(\beta ({\epsilon }_i\pm 1)\right)}$ mit

• $F+1,B:-1$
• $\beta =\frac{1}{kT}$ Abkürzung für inverse thermische Energie
• $\mu$ Chemisches Potential

So wie Temeperatur Wäremeaustauisch zwischen System und Umgebung charakterisiert, so charakterisert $\mu$ den Teilchenaustausch.

Verfeinerungen jenseits $e^{-{\epsilon }_i\beta }$ sind Quanteneffekte.

klassisch $pV=NkT\stackrel{T\to 0}{\to }0,p=0$ qantenmechanisch $pV\stackrel{T\to 0}{\to }\ne 0$ Fermigas

Druck von quantemechanischen Fermionen verschwindet bei T=0 nicht aufgrund von Unschärfe/Pauliprinzip "Fermidruck"

Schwarzkörperstrahlung

es gibt Bosonen ohne Masse \mu=0 z.B. Photonen sind masselose Bosonen M.Planck (1858-1947) leitet 1900 die spektrale Energiedichte eines Strahlers ab

$u\left(\omega \right)=\frac{16\pi \hslash }{c^2}\frac{\omega }{\exp \left(\frac{\hslash \omega }{kT}\right)-1}$

P.Debey (1884-1966)

wichtige Beiträge durch P.Debey [2] zur Materialphysik Theorie der Flüssigkeiten un der spezifischen Wärme von Festkörpern spezifisce Wäremkapazität

klassisch $C_V\left(T\right)=3kN\mathrm{\forall }T$ qantenmechanisch $C_V(T\to 0)=V\frac{2{\pi }^2}{5{\left(\hslash c_s\right)}^3}{T}^3$

L.D. Landau [3] (1908-1966) arbeitet auf dem Gebiet der Transporttheorie/ Ferromagnetismus

Ratengleichung

Beschreibung von Stößen zwischen Teilchen bisher nicht diskutiert, einfacher Ansatz sind Ratengleichungen

${\dot{\dot{f}}}_k=-\sum _l\underset{\text{Ausstreurate}}{\underbrace{{\mathrm{\Gamma }}_{k\to l}}}{f}_k+\sum _l\underset{\text{Einstreurate}}{\underbrace{{\mathrm{\Gamma }}_{l\to k}}}{f}_l$

Bezetzungszahl (wie viele Teilchen sind im Mittel im Zustand k) beschreibt die Dynamik aus einem Nichtgleichgewicht in ein Gleichgewichtszustand

L. von Neumann (1903-1957)

allgemeinster Zugang zur Statistik erfolgt über die von neumann Gleichung ds Statischen Operator $\rho$

$i\hslash \dot{\rho }=[H,\rho ]$ Dynamik eines Quantensystems in Umgebung ersetzt die Schrödingergleichung.

$\dot{\rho }$ ist der Wahrscheinlichkeitsoperator

((Vorlesung nimmt den Weg rückwärts))