Klein Gordon und Relativität

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

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LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

Einstein (SRT):

• gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
• Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left|r\right|=ct$zurück.

$r^2-c^2{t}^2=0$ (in S)

{{{3}}}

Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $({{\underset{\_}{r}}^{\prime }}^{\prime },{t^{\prime }}^{\prime })$ in S‘, für die gilt

${{r^{\prime }}^{\prime }}^2-{\underset{={c^{\prime }}^{\prime }}{\underbrace{c}}}^2{{t^{\prime }}^{\prime }}^2=0$ (in S‘) (1.10)

{{{3}}}

Die Transformation der Koordinaten erfolgt nach der Lorentz-TransformationLorentz-Transformation

$\left(\begin{array}{rl}& {x^{\prime }}^{\prime }\\ & c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)=\gamma \left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)$

(1.11)

mit

$\beta =\frac{v}{c}\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}$

Daraus folgt (mit v  -v) (CHECK)

$\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)=\gamma \left(\begin{array}{cc}1& \beta \\ \beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& {x^{\prime }}^{\prime }\\ & c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

$\begin{array}{rl}& \underset{\_}{{{x^{\prime }}^{\prime }}^2-c^2{{t^{\prime }}^{\prime }}^2}=\left(\begin{array}{cc}{x^{\prime }}^{\prime }& c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& {x^{\prime }}^{\prime }\\ & c{t^{\prime }}^{\prime }\\ \end{array}\right)={\gamma }^2\left(\begin{array}{cc}x& ct\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -\beta \\ -\beta & 1\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)\\ & ={\gamma }^2\left(\begin{array}{cc}x& ct\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1-{\beta }^2& 0\\ 0& -1+{\beta }^2\\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{rl}& x\\ & ct\\ \end{array}\right)=\underset{\_}{x^2-c^2{t}^2}\end{array}$

• Unter Lorentz-Transformation bleibt
• $r^2-c^2{t}^2$
• invariant.
  • Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges$\underset{\_}{r}$.
  • Insbesondere bleiben die LichtabständeLichtabstände
  • $r^2-c^2{t}^2=0$
  • invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

WellengleichungWellengleichung:skalares klassisches Feld für skalares klassisches Feld $\phi (\underset{\_}{x},t)$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \text{in S: }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0\quad \quad \text{ in {S}': }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0}

(1.13)

mit ${\mathrm{\nabla }}^2=\underset{x_1}{\overset{{}^2}{\partial }}+\underset{x_2}{\overset{{}^2}{\partial }}+...{{{\mathrm{\nabla }}^{\prime }}^{\prime }}^2=\underset{{{x^{\prime }}^{\prime }}_1}{\overset{{}^2}{\partial }}+\underset{{{x^{\prime }}^{\prime }}_2}{\overset{{}^2}{\partial }}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $◻$in $◻\text{'}$übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

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Hierzu

$\begin{array}{rl}& {\partial }_x={\partial }_x\left({x^{\prime }}^{\prime }\right){\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}+{\partial }_x\left({t^{\prime }}^{\prime }\right){\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}=\gamma {\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}-\frac{\gamma \beta }{c}{\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}\\ & \underset{x}{\overset{2}{\partial }}={\partial }_x{\partial }_x=\{\gamma {\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}-\frac{\gamma \beta }{c}{\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}\}\{\gamma {\partial }_{{x^{\prime }}^{\prime }}-\frac{\gamma \beta }{c}{\partial }_{{t^{\prime }}^{\prime }}\}\\ & \underset{t}{\overset{2}{\partial }}\text{analog}\\ \end{array}$

AUFGABE

• d’Alembert-Operator $◻=c^{-2}\underset{t}{\overset{2}{\partial }}-\mathrm{\Delta }$ist invariant unter LT
• Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellenebene Wellen:SRT (und deren Überlagerungen):

$\mathrm{\Psi }(\underset{\_}{x},t)=e^{\mp \frac{\mathfrak{i}}{\hslash }\sqrt{m^2{c}^4+p^2{c}^2}t+i\underset{\_}{p}.\underset{\_}{x}}$

(1.14)

mit

$\begin{array}{rl}& -:\text{ negative Energie +}\sqrt{}\\ & +:\text{ postivive Energie -}\sqrt{}\\ \end{array}$