Nakajima-Zwanzig-Gleichung

Die Nakajima-Zwangzig Gleichung ist eine Integrodifferentialgleichung die die Zeitentwicklung des relevanten Anteils eine quantenmechanischen Systems beschreibt. Sie wird im Dichteopertorformalismus formuliert und kann als Verallgemeinerung der Mastergleichung angesehen werden.

Herleitung

Beginnend mit der Liouville von Neumann Gleichung

$d_t\chi =L\chi$

wobei der Dichteoperator durch den Projektionsoperator $\mathcal{𝒫}$ in zwei Anteile $\chi =(\mathcal{𝒫}+\mathcal{𝒬})\chi$ zerlegt wird. Wobei Q folglich durch $\mathcal{𝒬}\equiv 1-\mathcal{𝒫}$ definiert ist.

Die Liouville von Neumann Gleichung kann also durch

$d_t\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi =\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi +\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒬}\\ \mathcal{𝒫}\\ \end{array}\right)\chi$

dargestellt werden.

Die zweite Zeile wird formal durch

$\mathcal{𝒬}\chi =e^{\mathcal{𝒬}Lt}Q\chi (t=0)+\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt{e}^{\mathcal{𝒬}L{t}^{\prime }}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })|$ gelöst.

Eingesetzt in die erste Gleichung erhält man die Nakajima-Zwanzig-Gleichung:

${\text{d}}_t\mathcal{𝒫}\chi =\mathcal{𝒫}L\mathcal{𝒫}\chi +\underset{=0}{\underbrace{\mathcal{𝒫}L{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}Q\chi (t=0)}}+\mathcal{𝒫}L\underset{0}{\overset{t}{\int }}dt{e}^{\mathcal{𝒬}L{t}^{\prime }}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })|$

Unter der Annahme, dass der inhomogene Term verschwindet, (dies kann man machen wenn man annimmt der irrelevante Anteil der Dichtematrix zum Startzeitpunkt als 0 Definiert wird.) und der Abkürzung

$\mathcal{𝒦}\left(t\right)=\mathcal{𝒫}L{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}$

sowie der Ausnutzung von ${\mathcal{𝒫}}^2=\mathcal{𝒫}$ erhält man die endgültige Form

${\text{d}}_t\mathcal{𝒫}\chi =\mathcal{𝒫}L\mathcal{𝒫}\chi +\underset{=0}{\underbrace{\mathcal{𝒫}L{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}Q\chi (t=0)}}+\underset{0}{\overset{t}{\int }}d{t}^{\prime }\mathcal{𝒦}({t^{\prime }}^{\prime })\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })|$

$\begin{array}{rl}& d_t\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi =\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)\chi +\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒫}\\ \mathcal{𝒬}\\ \end{array}\right)L\left(\begin{array}{c}\mathcal{𝒬}\\ \mathcal{𝒫}\\ \end{array}\right)\chi \\ & \Rightarrow \mathcal{𝒬}\chi =e^{\mathcal{𝒬}Lt}Q{\chi }_0+{\int }^{\prime }{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })\\ & \Rightarrow {\text{d}}_t\mathcal{𝒫}\chi =\mathcal{𝒫}L\mathcal{𝒫}\chi +\underset{=0}{\underbrace{\mathcal{𝒫}{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}Q{\chi }_0}}+\mathcal{𝒫}L{\int }^{\prime }{e}^{\mathcal{𝒬}Lt}\mathcal{𝒬}L\mathcal{𝒫}\chi (t-{t^{\prime }}^{\prime })\\ \end{array}$