Das Schalenmodell des Kerns

Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann

Der Artikel Das Schalenmodell des Kerns basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 7.Kapitels (Abschnitt 0) der Kern- und Strahlungsphysikvorlesung von Prof. Dr. P. Zimmermann.

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Die Abfrage enthält eine leere Bedingung.

Ausgangspunkt: Das Auftreten besonders stabiler Nukleonenkonfiguration mit charakteristischen Sprüngen in der Separationsenergie bei den sogenannten magischen Zahlen

$N,Z=2,8,20,28,50,82,126$

(N) in großer Ähnlichkeit mit den Edelgaskonfigurationen der Atomhülle. Deshalb als Wiederholung:

Atomhülle

Ry ist wahrscheinlich $R_{\mathrm{\infty }}$

Aufhebung der l-Entartung, d-Elektronen (Übergangsmetalle) und f­-Elektronen (Lanthaniden, Aktiniden) werden "zu spät" eingebaut. Schalenabschlüsse bei den Edelgasen

$z=2,10,18,36,54,86$ als den magischen Zahlen der Atomhülle.

Aufgabe für die Kernphysik: Ein Zentralpotential so zu wählen, dass bei den Schalenabschlüssen die magischen Zahlen erscheinen.

Wegen rechnerischer Einfachheit werden oft das Kastenpotential oder das 0szillatorpotential benutzt.

Kastenpotential

Da es zunächst nur auf die relative Reihenfolge der Energieniveaus ankommt, kann man die Potentiale nach $\mathrm{\infty }$ fortsetzen.

Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential:

Äquidistante Abstände der Energieniveaus mit l-Entartung, die bei dem "abgeschnittenen" Potential aufgehoben wird.

Ergebnis z.B. für das Oszillatorpotential

Ebenso wie hier werden auch beim Kastenpotential und selbst für realistische Potentialformen wie das Wood-Saxon-Potential nur die ersten drei magischen Zahlen als Schalenabschlüsse erreicht.

Lösung: Zusätzliche (starke) Spin-Bahn-Kopplung

Goeppert-Mayer

Haxel , Jensen, Suess

$V=V(r)+V_{SB}(ls)$, $\left|V_{SB}\right|\approx 1-2MeV,V_{SB}<0$ attraktiv

Dublettaufspa1tung: $\begin{array}{rl}\overrightarrow{l}\overrightarrow{s}=& \frac{1}{2}({\overrightarrow{j}}^2-{\overrightarrow{l}}^2-{\overrightarrow{S}}^2)\\ \Rightarrow & \frac{1}{2}(j(j-1)-l(l+1)-\frac{3}{4})\\ =& \frac{1}{2}l\text{fuer}j=l+\frac{1}{2}\\ =& -\frac{1}{2}(l+1)\text{fuer}j=l+\frac{1}{2}\end{array}$

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Die Aufspaltung wächst mit 1, solange $V_{SB}$ keine große Abhängigkeit von l zeigt.

Verbesserungen des reinen Schalenmodells

Hinzunahme der Paarungskraft (bei Weizsäckerformel phänomenolo­gisch als Paarungsterm $\delta \approx 1-2MeV$ eingeführt) als (kurzreich­weitige) Teil der "Restwechselwirkung", die das Bestreben hat, einen möglichst guten Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen zu erzielen. Dies gelingt besonders gut durch "Antiparallelstellung" der Einzeldrehimpulse und bewirkt den verschwindenden Kerndrehim­puls $I=0$ aller (g, g)-Kerne im Grundzustand.

Überlapp der Nukleonenwellenfunktionen

Damit wird für (u, g)- und (g, u)-Kerne der Kerndrehimpuls $I=j$ des letzten ungepaarten Nukleons. Diese Regel stimmt für (fast) alle (u, g)- und (g, u)-Kerne, wobei allerdings zu berücksichtigen ist, daß die Paarungskraft die Reihenfolge innerhalb einer Schale verändern kann, indern sie besonders große Einzeldrehimpulse $j$ möglichst paarweise absättigt, so daß hohe Gesamtdrehimpulse $I$ nicht so häufig vorkommen.

Eine weitere Verbesserung ist für Kerne zwischen den magischen zahlen mit großen Quadrupolmomenten (z.B. im Bereich der Seltenen Erden) die Verwendung eines 'deformierten' Potentials $V=V(r,\theta )$ Nilsson-Modell.

Für das deformierte Potential ist der Bahndrehimpuls $\overrightarrow{l}$ und damit auch $\overrightarrow{j}=\overrightarrow{l}+\overrightarrow{s}$ keine Konstante der Bewegung mehr. Nur die Projektion $m$ auf die Symmetrie­achse bleibt konstant, wobei es zu einer Energieaufspaltung bezüglich der verschiedenen $m$ kommt, je nachdem $j$ die "Bahn" $1$ mehr oder weniger lang $m$ im Bereich des anziehenden Potentials verläuft.

Für angeregte Kernzustände ist die Einteilchenvorstellung eines "Valenznukleons" nur sehr bedingt verwendbar. Am besten geht es noch ganz in der Nähe der magischen Zahlen, z.B. bei

$\underset{209}{\overset{}{82}}Pb\widehat{=}\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup>'<mo>′</mo></msup></mrow>}{}_{82}^{208}Pb\text{<mrow data-mjx-texclass="ORD"><msup>'<mo>′</mo></msup></mrow>}+(2g_{9/2})-$Valenzneutronen mit $\underset{208}{\overset{}{82}}Pb$ doppelmagischer Rumpf

Besonders zwischen den magischen Zahlen treten Anregungsspektren auf, die sehr viel besser durch kollektive Nukleonenbewegungen, z.B. durch Rotations- und Vibrationszustände - ähnlich wie bei Mole­külspektren - beschrieben werden können. Im Gegensatz zu den Mole­külspektren sind die Verhältnisse jedoch weitaus komplizierter, da die Trennung in Einteilchenzustände, Vibrationen und Rotationen keine gute Näherung darstellt, da die Bedingung

$\mathrm{E}\mathrm{(}\mathrm{E}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{)}\mathrm{\gg }\mathrm{E}\mathrm{(}\mathrm{V}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{)}\mathrm{\gg }\mathrm{E}\mathrm{(}\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{)}$ im Kern nur sehr schlecht erfüllt ist.

ANMERKUNG Schubotz: Die starke WW im Kern ist viel größer als die elektromagnetische WW in der Hülle

Ergänzende Informationen

(gehört nicht zum Skript)

Prüfungsfragen

• Schalernnodell (Wood-Saxon-Potential, Spin-Bahn-Kopplung(Goeppert Mayer, vgl. Atomhülle), Magische Zahlen bis 28 aufmalen können)
  • Grenzen des Modells (Valenznukleonen, uu-Kerne werden schlecht beschrieben)
  • Kollektive Anregungen
  • Deformationen des Kerns -> Quadrupoltenne (Energieaufspaltung messbar mit dEldx)
  • Nielssonmodell (Aufhebung der rn-Entartung, ansonsten nichts genaueres)
• Heutige Experimente und Theorien der Kerne (hier wollte sie, glaube ich, die Verbindung zwischen Streuexperimenten und theoretischen Modellentwickhmgen wissen)
• Woher kommt das Geraffel am Anfang der Bindungsenergiekurve E_B/A(A)?->Schalenabschlüsse
• Schalenmodell: erst nur harmonischer Oszillator dann Spinbahnterm zur Erklärung der magischen Zahlen.