Bornsche Näherung: Unterschied zwischen den Versionen
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Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien | Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien | ||
<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math> | :<math>\frac{{{\hbar }^{2}}{{{\bar{k}}}^{2}}}{2m}>>V(\bar{r})</math> | ||
In diesem Fall kann <math>{{H}^{(1)}}(\bar{r})</math> | In diesem Fall kann <math>{{H}^{(1)}}(\bar{r})</math> als kleine Störung betrachtet werden | ||
als kleine Störung betrachtet werden | |||
Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an: | Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an: | ||
<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math> | :<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt ! | Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt ! | ||
{{Def|Man nennt den Schritt | |||
:<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math> | |||
<math>\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +{{G}_{+}}{{\hat{H}}^{(1)}}\left| \Phi \right\rangle </math> | :auch Erste Bornsche Näherung|Erste Bornsche Näherung}} | ||
auch | |||
In Ortsdarstellung schreibt sichs dann: | In Ortsdarstellung schreibt sichs dann: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{\Psi }_{e}}(\bar{r})+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }_{e}}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | & {{\Psi }^{(+)}}(\bar{r})={{\Psi }_{e}}(\bar{r})+\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}{{G}_{+}}(\bar{r}-\bar{r}\acute{\ })V(\bar{r}\acute{\ }){{\Psi }_{e}}(\bar{r}\acute{\ }) \\ | ||
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Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung | Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung | ||
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& f({{{\bar{e}}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}} \\ | & f({{{\bar{e}}}_{r}})=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}} \\ | ||
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Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math> | Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials <math>V(\bar{r})</math>. | ||
Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r) | |||
durch <math>\vartheta ,\phi </math> | Dann kann wieder <math>{{\bar{e}}_{r}}</math> durch <math>\vartheta ,\phi </math> parametrisiert werden ! | ||
:<math>K=\left| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math> | |||
<math>K=\left| \bar{k}-\bar{k}{{{\bar{e}}}_{r}} \right|=\sqrt{{{k}^{2}}+{{k}^{2}}-2{{k}^{2}}\cos \vartheta }=2k\sin {}^{\vartheta }\!\!\diagup\!\!{}_{2}\;</math> | |||
Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math> | Die Integration <math>\int_{{}}^{{}}{{{d}^{3}}r\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ }){{e}^{i\bar{K}\bar{r}\acute{\ }}}</math> | ||
erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math> | erfolgt in Kugelkoordinaten um die <math>\bar{K}</math>- Achse: | ||
:<math>\bar{K}\bar{r}\acute{\ }=Kr\acute{\ }\cos \vartheta </math> | |||
Aus Symmetriegründen hängt <math>f({{\bar{e}}_{r}})</math> nicht von <math>\phi </math> ab: | |||
:<math>\begin{align} | |||
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& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \acute{\ }} \\ | & f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{4\pi }\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\int_{-1}^{1}{d(\cos \vartheta \acute{\ })}{{e}^{iKr\acute{\ }\cos \vartheta \acute{\ }}}\int_{0}^{2\pi }{d\phi \acute{\ }} \\ | ||
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Somit: | Somit: | ||
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& f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\frac{\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }}=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \\ | & f(\vartheta )=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\int_{0}^{\infty }{r{{\acute{\ }}^{2}}dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\frac{\sin Kr\acute{\ }}{Kr\acute{\ }}=-\frac{2m}{{{\hbar }^{2}}}\frac{1}{K}\int_{0}^{\infty }{r\acute{\ }dr\acute{\ }}V(\bar{r}\acute{\ })\sin Kr\acute{\ } \\ | ||
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Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden: | Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden: | ||
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& \frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}} \\ | & \frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left| f(\vartheta ) \right|}^{2}} \\ | ||
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Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung. | Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung. | ||
Dies ist die Streuung eines | Dies ist die Streuung eines Z<sub>1</sub>- fach geladenen Teilchens an einem Z<sub>2</sub>- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß | ||
<math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math> | <math>V(r)=-\frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}r}</math> | ||
Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten. | Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten. | ||
Einzige Lösung ist das | Einzige Lösung ist das {{FB|Yukawa-Potenzial}} | ||
<math>V(r)=\begin{matrix} | <math>V(r)=\begin{matrix} | ||
\lim \\ | \lim \\ | ||
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\end{matrix}\frac{a}{r}{{e}^{-\kappa r}}</math> | \end{matrix}\frac{a}{r}{{e}^{-\kappa r}}</math> | ||
Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> | Als <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }={{\left( \frac{{{Z}_{1}}{{Z}_{2}}{{e}^{2}}}{8\pi {{\varepsilon }_{0}}m{{v}^{2}}} \right)}^{2}}\frac{1}{{{\sin }^{4}}\left( \frac{\vartheta }{2} \right)}</math> ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik. | ||
Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung !! | |||
<u>Nebenbemerkung:</u> | |||
Für <math>\vartheta \to 0</math> divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch <math>\sigma </math> divergiert in diesem Fall. | |||
Für <math>\vartheta \to 0</math> | |||
divergiert <math>\frac{d\sigma }{d\Omega }</math> | |||
wegen der unendlichen Reichweite von V( r) | |||
Auch <math>\sigma </math> | |||
divergiert in diesem Fall. | |||
====Systematische Störungsentwicklung==== | ====Systematische Störungsentwicklung==== | ||
Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann - Schwinger Gleichung: | Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der {{FB|Lippmann-Schwinger-Gleichung}}: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\ | & \left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(+)}} \right\rangle \\ | ||
& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\ | & \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\ | ||
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Es ergibt sich: | Es ergibt sich: | ||
<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
& \left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle \\ | & \left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| \Phi \right\rangle =\left( 1+\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle \\ | ||
& \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\ | & \hat{R}:={{{\hat{G}}}_{+}}{{{\hat{H}}}^{1}} \\ | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
Erste Bornsche Näherung | Erste Bornsche Näherung | ||
<math>\left| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle </math> | :<math>\left| {{\Psi }^{(2)}} \right\rangle =\left| \Phi \right\rangle +\hat{R}\left| {{\Psi }^{(1)}} \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+\hat{R}\hat{R} \right)\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
Zweite Bornsche Näherung | Zweite Bornsche Näherung | ||
... usw.... ... | ... usw.... ... | ||
<math>\left| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left| \Phi \right\rangle </math> | :<math>\left| \Psi \right\rangle =\left( 1+\hat{R}+{{{\hat{R}}}^{2}}+{{{\hat{R}}}^{3}}+...... \right)\left| \Phi \right\rangle </math> | ||
Bornsche Reihe | Bornsche Reihe | ||
Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V | Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V. |
Version vom 10. September 2010, 15:10 Uhr
Der Artikel Bornsche Näherung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD. |
Bornsche Näherung | Streutheorie | |
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Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien
In diesem Fall kann als kleine Störung betrachtet werden
Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:
Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt !
Man nennt den Schritt
|
In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:
Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung
Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials .
Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)
Dann kann wieder durch parametrisiert werden !
Die Integration
erfolgt in Kugelkoordinaten um die - Achse:
Aus Symmetriegründen hängt nicht von ab:
Somit:
Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:
Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung. Dies ist die Streuung eines Z1- fach geladenen Teilchens an einem Z2- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten. Einzige Lösung ist das Yukawa-Potenzial
Als ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik. Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung !!
Nebenbemerkung:
Für divergiert wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch divergiert in diesem Fall.
Systematische Störungsentwicklung
Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann-Schwinger-Gleichung:
Es ergibt sich:
Erste Bornsche Näherung
Zweite Bornsche Näherung ... usw.... ...
Bornsche Reihe Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.