Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Bornsche Näherung basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 3) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Die Bornsche Näherung ist eine störungstheoretische Näherung für große Einfallsenergien
In diesem Fall kann als kleine Störung betrachtet werden
Für die erste Ordnung Störungsrechnung der Lippmann- Schwinger - Gleichung setzt man an:
Das heißt, man nimmt an, dass das Streupotenzial auf die freie einlaufende Lösung wirkt!
Man nennt den Schritt
- auch Erste Bornsche Näherung
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In Ortsdarstellung schreibt sichs dann:
Es folgt für die Streuamplitude in erster Bornscher Näherung
Das heißt, in erster Bornscher Näherung ist die Streuamplitude proportional zur Fouriertransformierten des Potenzials .
Das Problem kann für Kugelsymmetrische Potenzial wieder gut durch den Übergang in Kueglkoordinaten gelöst werden: :V=V(r)
Dann kann wieder durch parametrisiert werden!
Die Integration
erfolgt in Kugelkoordinaten um die - Achse:
Aus Symmetriegründen hängt nicht von ab:
Somit:
Somit können die Wirkungsquerschnitte angegeben werden:
Anwendungsbeispiel ist die Rutherford- Streuung.
Dies ist die Streuung eines Z1- fach geladenen Teilchens an einem Z2- fach geladenen. Das Potenzial schreibt sich also gemäß
Mit diesem Potenzial bekommt man allerdings Konvergenz- Schwierigkeiten.
Einzige Lösung ist das Yukawa-Potenzial
Als ergibt sich dann die entsprechende Formel aus der klassischen Mechanik.
Rutherford hatte hier Glück, dass sich durch die klassische Rechnung in diesem Potenzial zwei Fehler gegen die Quantenmechanik gegenseitig annulieren. Somit erhält man die quantenmechanisch korrekte Lösung schon aus der Ersten Bpornschen Näherung!!
Nebenbemerkung:
Für divergiert wegen der unendlichen Reichweite von V(r). Auch divergiert in diesem Fall.
Systematische Störungsentwicklung
Man kann eine Bornsche Reihe Bilden. Dies ist die Iteration der Lippmann-Schwinger-Gleichung:
Es ergibt sich:
- (Erste Bornsche Näherung)
- (Zweite Bornsche Näherung).
.. usw.......
- (Bornsche Reihe)
Die Bornsche Reihe konvergiert für kleine V.