Das Hamiltonsche Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip

Variationsprinzipien

Die bisher betrachteten Variationen waren differenziell. Derart wurden sie beim d´Alembertschen Prinzip angewendet.

Differenzielle Variation: $\delta {{\vec {r}}_{i}}$

Beim Hamiltonschen Prinzip dagegen wird die gesamte Bahn variiert:

${{\vec {r}}_{i}}(t)$

Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige , gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.

Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten t1 und t2 werden festgehalten.

Skizze

Grundidee des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte Größe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn , extremal macht.

Fermatsches Prinzip

Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt.

In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r )

Vorsicht ! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann ( Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten).

Sei der Brechungsindex $n({\vec {r}})={\frac {c}{{c}_{0}}}$

So gilt:

$\delta \int \limits _{1}^{2}{ds}n({\vec {r}})=0$

als Bedingung an den tatsächlich zwischen 1 und 2 angenommenen Weg.

Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise.

Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig ( die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.

Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung

Sei I : C² - > R ein Funktional

Beispiel: $q(t)\to I[q]:=\int \limits _{t1}^{t2}{dt}F(q(t),{\dot {q}}(t),t)$

Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. ( Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).

Die Aufgabe lautet nun:

Suche ein q(t) derart, dass $\delta I[q]=0$

Das Funktional sollte also in q(t) extremal werden. Sprich, Maximum, Minimum oder Sattelpunkt aufweisen.

Die Variierten Bahnen

Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 ( eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.

Dabei gilt:

1. $q{\acute {\ }}(t)\in {{C}^{2}}$ Die variierten Punkte stammen auch aus quadratintegrablen komplexen Funktionen

2. $\delta q(t):=q{\acute {\ }}(t)-q(t)$ differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert.

3. $\delta t=0$

4. ${\begin{aligned}&q{\acute {\ }}({{t}_{1}})=q({{t}_{1}})\\&q{\acute {\ }}({{t}_{2}})=q({{t}_{2}})\\\end{aligned}}$

Anfangs- und Endpunkt sind fest

5. $\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0$

Da die Variation der Integrationsgrenzen verschwindet kann Integration und Variation vertauscht werden:

$0=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtF(q,{\dot {q}},t)}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\delta F(q,{\dot {q}},t)=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right]}}$

Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss ( Zeit wird nicht variiert).

Für die variierte Geschwindigkeit gilt:

$\delta {\dot {q}}(t):={\dot {q}}{\acute {\ }}(t)-{\dot {q}}(t)={\frac {d}{dt}}(q{\acute {\ }}(t)-q(t))={\frac {d}{dt}}\delta q$

Also folgt mit Hilfe partieller Integration

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right]}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {d}{dt}}\delta q\right]}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta q{{\left.{}\right|}_{{t}_{1}}}^{{t}_{2}}$

Da jedoch die Variation an den Grenzen t1 und t2 verschwindet gilt:

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\right]\delta q}=0$

Da q jedoch völlig frei variierbar ist:

${\frac {\partial F}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}=0$

Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung

Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip

$\delta I[q]=0$

Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: $\alpha$

$q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)$

Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter $\alpha$ bei festem $\eta (t)$ parametrisiert.

Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung)

Exkurs zur Variationsrechnung

1. Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen

$\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\delta x=0$ für beliebige Variationen

$\delta x\neq 0$

${\frac {d}{dx}}f(x)=0$ an x=x0 ( Nullstelle)

1. Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen

$\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum \limits _{i=1}^{N}{}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0$ für beliebige $\delta {{x}_{i}}\neq 0$

${\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}=0$ i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion)

entsprechend:

3. Extremum eines Funktionals

f[x]=f[x(t)]

${\begin{aligned}&{{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t)\\&\delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t)\\&\delta f=\sum \limits _{i=1}^{N}{{\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {\delta f}{\delta x(t)}}\delta x(t)}\\\end{aligned}}$

Mit ${\frac {\delta f}{\delta x(t)}}$ als Funktionalableitung

Beispiel : Integral als Funktional

Sei $f[x]:=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtF(x(t))}$

$\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t))\right\}}$

$=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {dF(x)}{dx}}\delta x(t)}\quad \to {\frac {dF(x)}{dx}}={\frac {\delta f}{\delta x(t)}}$

wegen

$\delta f=\sum \limits _{i=1}^{N}{{\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {\delta f}{\delta x(t)}}\delta x(t)}$

$\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {dF(x)}{dx}}\delta x(t)}\quad =0\ f{\ddot {u}}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)$

Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:

${\frac {dF(x)}{dx}}={\frac {\delta f}{\delta x(t)}}=0$ als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)

Bei Abhängigkeit von $x,{\dot {x}}$

$f[x,{\dot {x}}]=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtF(x(t),{\dot {x}}(t))}$

$\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\delta F(x,{\dot {x}})}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{{\frac {\partial F}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}\right\}=}\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\right\}\delta x(t)}$

Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen $\delta x(t)$ .

Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}=0$

Das Hamiltonsche Wirkungsprinzip

Voraussetzung:

• holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)
• konservative Kräfte -> Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion

$L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=T-V$

Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:

$F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=T-V$

Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:

Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art

Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip

Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&W:=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}F=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}T-V\\\end{aligned}}$

Bei Berechnung der Variation erhalten wir:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}F=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}\delta {{q}_{k}}(t)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{\frac {d}{dt}}\delta {{q}_{k}}(t)\right\}\\&\delta W=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right\}\delta {{q}_{k}}(t)=0\\\end{aligned}}$

Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann ( gilt für beliebige $\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f$ )

gilt als Lagrangegleichung 2. Art:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Beispiel: eindimensionaler Oszi

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\\&\delta W=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\delta \left\{{\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\right\}}\\\end{aligned}}$

Mit Hilfe:

$\delta {{q}^{2}}=2q\delta q$

ergibt sich:

$\delta W=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{-{\frac {d}{dt}}m{\dot {q}}-m{{\omega }^{2}}q\right\}}\delta q=0$

${\begin{aligned}&m{\ddot {q}}-m{{\omega }^{2}}q=0\\&{\ddot {q}}+{{\omega }^{2}}q=0\\\end{aligned}}$

Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn ( gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen ).

Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.

Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.

Wirkung = Energie X Zeit

Wirkung = Impuls X Ort

Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum !

Die Wirkung ist also quantisiert . Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.

Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig ( nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:

Seien die eingeprägten Kräfte ( nicht konservativer Art) von der Form:

${{\bar {X}}_{i}}$

So gilt mit $\delta A=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}$

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left(\delta T+\delta A\right)=0$

Eichtransformationen der Lagrangefunktion

Die Lgarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:

$\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=\left({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\right)$

e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:

$m{\frac {{{d}^{2}}^{}}{d{{t}^{2}}}}\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=m{\ddot {\bar {q}}}=e{\bar {E}}({\bar {q}},t)+e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}({\bar {q}},t)$

Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {q}},t)=-\nabla \Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)\\&{\bar {B}}({\bar {q}},t)=\nabla \times {\bar {A}}({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Dabei ist Phi skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

Ziel: Suche eine Lagrangefunktion $L(q,{\dot {q}},t)=T-V$

in der Art, dass

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Die Bewegungsgleichung $m{\frac {{{d}^{2}}^{}}{d{{t}^{2}}}}\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=m{\ddot {\bar {q}}}=e{\bar {E}}({\bar {q}},t)+e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}({\bar {q}},t)$ ergeben.

Ansatz:

$L(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)-\Phi ({\bar {q}},t)\right)$

Probe:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}$

Weiter:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=e\left[{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right]$

Somit:

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)-e\left[{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right]\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right)+e\left[-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right]\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[e{\dot {\bar {q}}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]}_{k}}\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}\right]}_{k}}\\\end{aligned}}$

Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

Eichtransformationen

Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion $\chi$

${\begin{aligned}&{\bar {A}}({\bar {q}},t)\to {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)={\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\\&\Phi ({\bar {q}},t)\to \Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\chi ({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Durch Eisnetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=-\nabla \left(\Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\chi ({\bar {q}},t)\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\right)={\bar {E}}({\bar {q}},t)\\&{\bar {B}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\nabla \times \left({\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\right)={\bar {B}}({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:

${\begin{aligned}&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)-\Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \chi -\Phi ({\bar {q}},t)+{\dot {\chi }}\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+e\left({\dot {\chi }}+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \chi \right){\acute {\ }}=L+{\frac {d}{dt}}\left(e\chi ({\bar {q}},t)\right)\\\end{aligned}}$

Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

Die Eichtransformation

$L(q,{\dot {q}},t)\to L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)$

Mit einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

Allgemein gilt:

Sei $M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ beliebig

und ${\begin{aligned}&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+\left({\dot {M}}+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla M\right)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\\\end{aligned}}$

dann erfüllen die

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$

das hamiltonsche Prinzip

Also:

$\delta \int {L{\acute {\ }}dt=0\Leftrightarrow \delta \int {Ldt=0}}$

Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art

$L(q,{\dot {q}},t)\to L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)$

mit $M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ beliebig.

Beweis:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)\\&={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {dM}{dt}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

mit

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)={\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}$

Einzige Nebenbedingung:

$M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ darf nicht explizit von ${{\dot {q}}_{k}}$ abhängen.

Beispiel: eindimensionaler Oszi

$L=T-V={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}$

Beispielhafte Eichfunktion:

$M(q):={\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\Rightarrow {\frac {dM}{dt}}=m{{\omega }^{2}}q{\dot {q}}$

$L{\acute {\ }}={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}\left({{q}^{2}}-2q{\dot {q}}\right)$

Die Lagrangegleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{\dot {q}}_{}}}}=m{\ddot {q}}+m{{\omega }^{2}}{\dot {q}}\\&{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{q}_{k}}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}{\dot {q}}\\\end{aligned}}$

Es folgt als Bewegungsgleichung

${\ddot {q}}+{{\omega }^{2}}q=0$

Forminvarianz der Lagrangegleichung

Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=0$

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei $F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$ ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

$F,{{F}^{-1}}$ beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

$\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$ Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

${\tilde {L}}({{Q}_{k}},{{\dot {Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}},t)$

mit

${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$ sind Lösung der Lagrangegleichungen zu $L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)$

Beweis:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)}$ wegen

${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Nun:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

und auf der anderen Seite:

${\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)}$

Somit:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

Dabei bildet

${\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$ die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also $\det {\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\neq 0$

Daher die Bedingung, dass

Sei $F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$ ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

$F,{{F}^{-1}}$ beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist $\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$ Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

${\begin{aligned}&{{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t)\\&{{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det {\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}\neq 0\\\end{aligned}}$

Man sagt, die Variationsableitung

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$ ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.