Das d'Alembertsche Prinzip

Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Das d'Alembertsche Prinzip basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels der Mechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Mechanik Skript zur Vorlesung

von Prof. Dr. Schoell

Verfasser:

Franz- Josef Schmitt

Kapitel 1

Das d'Alembertsche Prinzip

Zwangsbedingungen und Zwangskräfte

Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch

Holonome (integrable) Zwangsbedingungen

Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung Lambda gilt:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand

Punkte 1,2,3 mit Abständen $l_{i}j$

${{l}_{ij}}$ einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:

${\begin{aligned}&{{f}_{1}}=|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0\\&{{f}_{2}}=|{{\vec {r}}_{2}}-{{\vec {r}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0\\&{{f}_{3}}=|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{3}}|-{{l}_{13}}=0\\\end{aligned}}$

Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt $f=3N-\nu =9-3=6$

Starrer Körper aus N Teilchen

N	Hinzukommende Einschränkungen	Zwangsbedingungen ($\nu$)	Freiheitsgrade $f=3N-\nu$
1	0	0	3
2	1	1	5
3	2	3	6
4	3	6	6
5	3	9	6
...	..	..	..
$N\geq 4$	3	3N-6	6

Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N$ Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.

Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint. Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6. Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle $\lambda =1,...,\nu$ die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also $\operatorname {Rang} \left({\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}}}\right)=\nu$ Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N größer/ gleich drei: Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ . Alle Bahnen ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ müssen nun jedoch die $\nu$ unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen: ${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

Das totale Differenzial ( längs der Bahn ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ ) läßt sich schreiben:

${\frac {d{{f}_{\lambda }}}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential:

$d{{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Nichtholonome Zwangsbedingungen

Nun sind jedoch Nichtholonome Zwangsbedingungen der Art:

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor ${{g}_{\lambda }}$ existiert, so dass

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Gleichbedeutend mit

${\begin{aligned}&{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\\&{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda 0}}={\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also ${{\vec {r}}_{i}}(t)\quad i=1...N$ möglich sind, also ${{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...{{\vec {r}}_{N}}$ beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn ${{\vec {r}}_{i}}(t)\quad i=1...N$ )

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist $d{{\vec {r}}_{i}}(t)$ durch die momentane Radrichtung bestimmt

Es ist weiter zu unterscheiden

Zeitabhängigkeit

• zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom
• zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen skleronom

Zwangsbedingungen als Ungleichungen

z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden

Bewegungsgleichungen

${{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)={{\vec {F}}_{i}}+\sum \limits _{j}{{{\vec {F}}_{ij}}=:{{\vec {X}}_{i}}}\quad i=1...N$

diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der Äußeren Kräfte, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man eingeprägte Kräfte.

Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu$ (holonom)

oder

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$ (anholonom)

zu lösen.

Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.

Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen (Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte ${{\vec {Z}}_{i}}$ erzwungen werden.

Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:

${{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)={{\vec {F}}_{i}}+\sum \limits _{j}{{{\vec {F}}_{ij}}+{{\vec {Z}}_{i}}=:{{\vec {X}}_{i}}+{{\vec {Z}}_{i}}}\quad i=1...N$

Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene.

schiefe Ebene mit der Zwangskraft Z im Bild mit N Bezeichnet und Schwerkraft G=mg

Es gilt:

${\begin{aligned}&{\vec {Z}}=mg\cos \vartheta \cdot \left({\begin{matrix}\sin \vartheta \\\cos \vartheta \\\end{matrix}}\right)\\&{\vec {F}}=-mg\cdot \left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)\\&{\vec {Z}}+{\vec {F}}=mg\sin \vartheta \cdot \left({\begin{matrix}\cos \vartheta \\-\sin \vartheta \\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Virtuelle Verrückungen

Unter einer virtuellen Verrückung $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$ versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit $\left\{\delta t=0\right\}$ die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als $d{{\vec {r}}_{i}}$ im Zeitintervall $dt$ längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

$\delta {{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition $\left\{\delta t=0\right\}$ .

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Dabei ist ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

${\begin{aligned}&f({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot ({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N\\&df({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot (d{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {v}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}\\\end{aligned}}$

also gilt im Allgemeinen:

${\vec {a}}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}={\vec {a}}\cdot {{\vec {v}}_{o}}(t)dt\neq 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

aber:

$\delta f={\vec {a}}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ . Es gilt: $\delta {{\vec {r}}_{i}}\bot {\vec {a}}$

D´Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}={{\vec {Z}}_{i}}\quad i=1...N\\&\to \sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}\right)\delta {{\vec {r}}_{i}}=}\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}\\\end{aligned}}$

Dabei versteht man

$\sum \limits _{i}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$

als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$ als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte

Beispiel: Bewegung auf einer Fläche

$f({{\vec {r}}_{i}},t)=0$

das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:

${\begin{aligned}&{{\vec {Z}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\\&{{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.{\vec {a}}\ f{\ddot {u}}r\ Ebene\\\end{aligned}}$

Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:

${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f$

Begründung:

${{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:

${{\nabla }_{ri}}f$ ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche

$f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ein Differenzial parallel zur Fläche

Also folgt:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=0$

Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}d{{\vec {r}}_{i}}}\neq 0$

Beispiel: Starrer Körper

${{f}_{\lambda }}=\left|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}\right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0$

Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung ${{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}$

${{\vec {Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}$

Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:

Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.

Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.

Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:

${{\vec {Z}}_{ij}}=-{{\vec {Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{}}}}={{\lambda }_{ji}}$

Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:

${{\vec {Z}}_{i}}=\sum \limits _{j\neq i}{{Z}_{ij}}=\sum \limits _{j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}$

${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}\neq 0$ im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.

Jedoch gilt:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{}}{{({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}})}_{}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{\lambda }_{ij}}{{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$

Beweis:

$\delta |r|=\delta {{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}{{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{-{\frac {1}{2}}}}2{\vec {r}}\delta {\vec {r}}={\frac {{\vec {r}}\delta {\vec {r}}}{r}}$

und

${{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$

Allgemein kann man fordern:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=0$ für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als dÁlembertsches Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

Beispiel für ein Variationsprinzip:

Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$ .

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:

${\begin{aligned}&{\vec {r}}\to {{r}_{j}}(j=1...3)\\&{\vec {X}}\to {{X}_{j}}\\&{\vec {a}}\to {{b}_{j}}^{n}\\\end{aligned}}$

Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:

$\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{}}{{r}_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{3N}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}\right)\delta {{r}_{i}}=0}$

Nebenbedingung:

$\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }$

Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten ${{r}_{i}}$ frei variierbar wären, also $\delta {{r}_{i}}$ beliebig, so müsste gelten:

${{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0$

Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren ${{\lambda }_{n}}$

Wir erhalten:

$\sum \limits _{j=1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$

Nun sind $\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}$

aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.

Die verbleibenden $\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}$ sind nun frei variierbar.

Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:

Es lassen sich ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ derart bestimmen, dass

${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu$

Das heißt, wir suchen die ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die ${{\lambda }_{n}}(t)$ als Funktion der ${{\ddot {r}}_{j}}(t)$ . Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.

$\sum \limits _{j=\nu +1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$

Da hier jedoch die $\delta {{r}_{j}}$ frei variierbar sind, gilt:

${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0$

Die Lagrange- Gleichung der 1. Art

$\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}$ kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

Beispiel Atwoodsche Fallmaschine

Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.

Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

so folgt:

$({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0$

Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:

${\begin{aligned}&{{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const.\\&\delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}}\\&{{\ddot {h}}_{1}}=-{{\ddot {h}}_{2}}\\\end{aligned}}$

Also folgt:

$({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0$

${{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0$

${{\ddot {h}}_{1}}={\frac {({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}g$

Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

Generalisierte Koordinaten

Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

$\left\{{{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t)\right\}$ nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:

$\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$

Anschließend können Bewegungsgleichungen für die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ sind FREI variierbar ! Wegen

${{\vec {r}}_{i}}={{\vec {r}}_{i}}\left({{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right)\quad f=1,2,...3N-\nu$ sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem ${\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}},{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

${\bar {r}}={{\bar {r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}}+{{q}_{2}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

$\left\{{{q}_{1}},{{q}_{2}}\right\}$ , f=2

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:

${\begin{aligned}&{\bar {r}}=R(\cos \phi {{\bar {e}}_{1}}+\sin \phi {{\bar {e}}_{2}})\\&q=\phi \\&f=1\\\end{aligned}}$

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

$\delta {{\bar {r}}_{i}}$ wird ausgedrückt durch $\delta {{q}_{1}},...,\delta qf$

Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:

${{\vec {v}}_{i}}={\frac {d}{dt}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}$

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

$\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{\left\{\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}\right\}\delta q_{j}^{}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{}$

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

${{Q}_{j}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}$

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

${{\vec {X}}_{i}}=-{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})$

So folgt:

$-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}=-\sum \limits _{i}^{}{{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}}){\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}={{Q}_{j}}$

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !

Lagrangegleichungen 2. Art

Betrachten wir wieder das d Álembertsche Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}$

Linke Seite:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\left(\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}}\right)\delta {{q}_{j}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}$

Mit

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

und

${{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}$

Beweis für die letzte Deduktion:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\&{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left\{\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right\}=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}_{}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:

$T=\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}$

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

$\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}_{}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}=\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)\right\}$

${\begin{aligned}&\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}\right\}\delta {{q}_{j}}=0}\\\end{aligned}}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}}\\\end{aligned}}$

Lagrange- Gleichungen 2. Art:

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte:

${\begin{aligned}&-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}\\&V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{\vec {r}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{\vec {r}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t))\\\end{aligned}}$

Dies bedingt jedoch:

${\frac {\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=T-V$

Es folgt:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

• die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
• L=T-V ist nur EINE mögliche Form

${\begin{aligned}&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial t}}}\right)}^{2}}}\\&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=a+\sum \limits _{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}}+\sum \limits _{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{\dot {q}}_{k}}{{\dot {q}}_{l}}}\\\end{aligned}}$

• Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in

${{\dot {q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q

${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}({{m}_{{1}_{}}}+{{m}_{2}}){{\dot {q}}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g\\&{\frac {\partial L}{\partial q}}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\dot {q}}\\&({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\ddot {q}}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0\\&\\\end{aligned}}$

Beispiel 2:

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel $\phi$

${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)=0\\&L={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\\end{aligned}}$

Dahin kommt man im Übrigen aus:

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}})\\&x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\&{\dot {x}}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct){\dot {\phi }}\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct){\dot {q}}\sin q\\&y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\ddot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}-2cm{\dot {q}}({{R}_{o}}^{}-ct)\\&\Rightarrow {\ddot {q}}({{R}_{o}}-ct)=2c{{\dot {q}}^{}}\\\end{aligned}}$

Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:

${\begin{aligned}&{\frac {\dot {\omega }}{\omega }}={\frac {2c}{{{R}_{o}}-ct}}\\&\int {{\frac {d\omega }{\omega }}=2c\int {\frac {dt}{{{R}_{o}}-ct}}}\\&\ln \omega =-2\ln({{R}_{o}}-ct)+const\\&\ln \omega =\ln {\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\&\omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:

${\begin{aligned}&{\vec {L}}=m{\vec {v}}\times {\vec {r}}\\&{{\vec {L}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}}\\&andererseits:\\&{{\omega }_{o}}={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}})}^{2}}}\\&\Rightarrow \omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con{\tilde {s}}={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m}}\\&\omega ={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}$

Durch Integration gewinnt man:

$q={{q}_{o}}+{\frac {{\vec {L}}_{o}}{cm({{R}_{o}}-ct)}}$

Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)

Normalschwingungen

Anwendung: Kleine Schwingungen eines Systems von Massepunkten ${{m}_{i}}$

Die Zwangsbedingungen seien holonom und skleronom.

Außerdem sei das Potenzial beliebig

$V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})$

es existiere lediglich eine stabile Ruhelage.

Dazu wähle man generalisierte Koordinaten ( f Stück) mit der Ruhelage 0

Man kann an dieses Problem herangehen, indem die potenzielle Energie um die Ruhelage entwickelt wird:

$V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=V(0,....,0)+\sum \limits _{j}{{{\left({\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}+...}}$

Der erste Term kann gleich Null gesetzt werden ( Skalenverschiebung bei Potenzialen). Dies entspricht einer Skalenverschiebung der Energie.

Im Zweiten Term tauchen jedoch die verallgemeinerten Kräfte ( von außen) auf. Wenn diese nicht existieren, so ist dieser Term ebenfalls Null:

${\begin{aligned}&V(0,....,0)=0\\&\sum \limits _{j}{{{\left({\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}}=0\quad \left({\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=-{{Q}_{j}}=0\\&{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}}\\\end{aligned}}$

Für kleine Schwingungen hinreichend genau erhalten wir also in niedrigster Näherung grundsätzlich harmonische Schwingungen in einem q²- Potenzial :

Das Potenzial ergibt eine positiv definite quadratische Form ( positiv definit, da Ruhelage stabil !)

$V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\approx {\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\geq 0}\quad \quad {{V}_{jk}}={{V}_{kj}}$

Ansatz für die kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}\geq 0$

${\begin{aligned}&{{\vec {v}}_{i}}=\sum \limits _{j}{}\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right){{\dot {q}}_{j}}\\&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{m}_{i}}\left(\sum \limits _{j,k}{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\right)\geq 0\\&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\\&{{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}}\\\end{aligned}}$

Die Auswertung der Ableitungen des Radiusvektor an der Ruhelage (0) gilt dann als niedrigste ( quadratische) Näherung für kleine Schwingungen.

Auch die kinetische Energie ist in unserem Fall nun eine positiv definite quadratische Form.

Die Lagrangegleichung 2. Art ist somit vollständig bestimmt:

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}-\sum \limits _{j,k}{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\right)\\&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}\left({{\delta }_{jl}}{{\dot {q}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{\dot {q}}_{j}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{\dot {q}}_{j}}=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}}\\&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\ddot {q}}_{k}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}=-\sum \limits _{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}}\\\end{aligned}}$

Einschub: Transformation auf Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}&\left(r,\vartheta ,\phi \right)=\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)\\&x=r\cos \phi \sin \vartheta \\&y=r\sin \phi \sin \vartheta \\&z=r\cos \vartheta \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{\vec {v}}_{}}=\sum \limits _{j}{}\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right){{\dot {q}}_{j}}\\&\\\end{aligned}}$

In Komponenten ergibt sich somit:

${\begin{aligned}&{{v}_{x}}={\frac {dx}{dt}}={\frac {\partial x}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial x}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial x}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\sin \vartheta \cos \phi {\dot {r}}+r\cos \vartheta \cos \phi {\dot {\vartheta }}-r\sin \vartheta \sin \phi {\dot {\phi }}\\&{{v}_{y}}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\partial y}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial y}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial y}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\sin \vartheta \sin \phi {\dot {r}}+r\cos \vartheta \sin \phi {\dot {\vartheta }}+r\sin \vartheta \cos \phi {\dot {\phi }}\\&{{v}_{z}}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\partial z}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial z}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial z}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\cos \vartheta {\dot {r}}-r\sin \vartheta {\dot {\vartheta }}\\&\\\end{aligned}}$

Es läßt sich eine Funktionalmatrix zusammenstellen:

$\left({\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \vartheta }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \vartheta }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \vartheta }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\sin \vartheta \cos \phi &r\cos \vartheta \cos \phi &-r\sin \vartheta \sin \phi \\in\vartheta \sin \phi &r\cos \vartheta \sin \phi &r\sin \vartheta \cos \phi \\\cos \vartheta &-r\sin \vartheta &0\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\\&{{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}}\\&{{T}_{jk}}=m\left[\left({\frac {\partial x}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial x}{\partial {{q}_{k}}}}\right)+\left({\frac {\partial y}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial {{q}_{k}}}}\right)+\left({\frac {\partial z}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial {{q}_{k}}}}\right)\right]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{T}_{11}}=m\left({{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta \right)=m\\&{{T}_{22}}=m{{r}^{2}}\left({{\cos }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta \right)=m{{r}^{2}}\\&{{T}_{33}}=m{{r}^{2}}({{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi )=m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \\\end{aligned}}$

Diese Wert hängen dabei von den gewählten Koordinaten, also den qj ab.

Aus diesem Grund ( um dies zu erreichen) wurden ja gerade die qj so eingeführt.

${\begin{aligned}&{{T}_{12}}={{T}_{21}}=mr\left(\sin \vartheta \cos \phi \cos \vartheta \cos \phi +\sin \vartheta \sin \phi \cos \vartheta \sin \phi -\sin \vartheta \cos \vartheta \right)=0\\&{{T}_{13}}={{T}_{31}}=0\\&{{T}_{23}}={{T}_{32}}=0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{T}_{jk}}=\left({\begin{matrix}m&0&0\\0&m{{r}^{2}}&0\\0&0&m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \\\end{matrix}}\right)\\&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\vartheta }}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{\dot {\phi }}^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Zurück:

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}-\sum \limits _{j,k}{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\right)\\&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}\left({{\delta }_{jl}}{{\dot {q}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{\dot {q}}_{j}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{\dot {q}}_{j}}=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}}\\&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\ddot {q}}_{k}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}=-\sum \limits _{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\ddot {q}}_{k}}+{{V}_{lk}}{{q}_{k}}=0\quad \quad l=1,...,f\\\end{aligned}}$

Somit haben wir ein System von f linearen Differenzialgleichungen gegeben.

Bekanntlich eignet sich als Ansatz für die Lösung:

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C\\&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\\\end{aligned}}$

Dies ist eine Eigenwertgleichung für w²

Bei gegebenen w² liegt ein lineares Gleichungssystem für die Ak vor:

Eine nichttriviale Lösung existiert aber genau dann, wenn

$\det \left({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}\right)=0$

Dies ist die charakteristische Gleichung für w², die sogenannte Säkulargleichung, ein Polynom f-ten Grades.

${{V}_{lk}},{{T}_{lk}}positiv\ definit\Rightarrow {{\omega }^{2}}>0$ für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Beweis:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left|\cdot \sum \limits _{l}{{{A}_{l}}^{*}}\right.\\&\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum \limits _{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0\\&{{\omega }^{2}}={\frac {\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}{\sum \limits _{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}}\\&\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{kl}}{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}=}{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}\left({{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}+{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}\right)=}{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}2\cdot \operatorname {Re} \left({{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}\right)}\\\end{aligned}}$ Also handelt es sich hierbei um eine reelle quadratische Form. Nun sind Vlk und Tlk positiv definite Matrizen.

Zähler und Nenner sind aber reelle quadratische Formen.

Was zur Folge hat, dass w²>0

Die Lösungen des Gleichungssystems

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C\\&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\\\end{aligned}}$

sind die Eigenfrequenzen ${{\omega }^{2}}_{a}\quad a=1,...,f$

und die Eigenvektoren ${{A}_{k}}^{(a)}\quad a=1,...,f$

Wobei die Eigenvektoren nur bis auf einen Normierungsfaktor bestimmt sind und reell gewählt werden können.

Die allgemeine Lösung für die verallgemeinerten Kooridnaten lautet:

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)=\operatorname {Re} \left\{\sum \limits _{a=1}^{f}{{C}_{a}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}}\right\}\\&\\\end{aligned}}$

Die ${{C}_{a}}$ werden durch die Anfangsbedingungen ${{q}_{k}}(0),{{\dot {q}}_{k}}(0)$ bestimmt

Normalkoordinaten

Ziel:

Transformiere auf neue generalisierte Koordinaten, so dass die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten entkoppeln.

Seien diese neuen Koordinaten ${{Q}_{j}}$ so soll gelten:

${{\ddot {Q}}_{j}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{j}}=0\quad j=1,...,f$

Dies wird bekanntlich erreicht durch eine Hauptachsentransformation der symmetrischen Matrizen Vlk und Tlk

Die Transformation ist das Diagonalisierungsverfahren. Dazu werden reell gewählte Eigenvektoren

${{A}_{k}}^{(a)}$

eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den Normalkoordinaten als Entwicklungskoeffizienten darstellen lassen:

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)=\sum \limits _{a=1}^{f}{}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}}\\&\\\end{aligned}}$

Die diagonalisierte Matrix kann die Koordinatentransformation als Abbildung vollständig darstellen:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & \vec{q}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {A}}\vec{Q}\quad mit\ \vec{q},\vec{Q}\in {{R}^{f}} \\ & \\ \end{align}}

Bleibt zu zeigen, dass Vlk und Tlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert werden:

Es gelten die Eigenwertgleichungen:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left|\cdot \sum \limits _{l}{{{A}_{l}}^{b}}\right.\\&\sum \limits _{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left|\cdot \sum \limits _{k}{{{A}_{k}}^{b}}\right.}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0\\&{{V}_{lk}}={{V}_{kl}}\\&\sum \limits _{k,l}{({{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}){{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}}=0\\\end{aligned}}$

Die Annahme lautet nun noch:

${{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}\neq 0$ Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b

Somit folgt jedoch

$\sum \limits _{k,l}{}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}$

Im wesentlichen ist dieser Ausruck ( die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden.

Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo.

Es folgt wegen

$\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left|\cdot \sum \limits _{l}{{{A}_{l}}^{b}}\right.$

dass

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\\&\sum \limits _{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum \limits _{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}\\\end{aligned}}$

Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert.

Lagrangefunktion:

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}-\sum \limits _{j,k}{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\right)\\&L={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{a,b}{\left(\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{\dot {Q}}_{a}}{{\dot {Q}}_{b}}-\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}}\right)}\right)\\&\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}}\\&\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}}\\&L={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{a}{\left({{\dot {Q}}_{a}}^{2}-{{\omega }_{a}}^{2}{{Q}_{a}}^{2}\right)}\right)\\\end{aligned}}$

In der tat entkoppeln nun die Bewegungsgleichungen:

${{\ddot {Q}}_{a}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{a}}=0\quad a=1,...,f$

Beispiel: Pendel

Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen:

$z=l(1-\cos \phi )$

Als verallgemeinerte Koordinate kann man die Bogenlänge wählen:

$q=s=\phi l$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}\\&V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx {\frac {1}{2}}mgl{{\phi }^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}^{2}}\\\end{aligned}}$

Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden.

Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt:

Zwei gekoppelte Pendel

Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten:

${\begin{aligned}&{{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l\\&{{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {q}}_{1}}^{2}+{{\dot {q}}_{2}}^{2})\\&V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos {\frac {{q}_{1}}{l}})+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos {\frac {{q}_{2}}{l}})\\&V\approx {\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}\\\end{aligned}}$

Nun kann gefordert werden:

$V\approx {\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\sum \limits _{j,k=1}^{2}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\quad Forderung!}$

Dies läßt sich direkt über die mehrdimensionale Taylorreihe zeigen, Mit Hilfe der Multiindizes:

${\begin{aligned}&{{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}}}\right)}_{0}}={{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}}}\right)}_{0}}=m{\frac {g}{l}}+k\\&\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}}}\right)=mg{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}(\sin {\frac {{q}_{2}}{l}})-k{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k\\\end{aligned}}$

Somit läßt sich die kinetische Energie angeben:

Somit lassen sich kinetische Energie und Potenzial als Matrizen angeben:

${\begin{aligned}&{{T}_{lk}}=\left({\begin{matrix}m&0\\0&m\\\end{matrix}}\right)\\&{{V}_{lk}}=\left({\begin{matrix}m{\frac {g}{l}}+k&-k\\-k&m{\frac {g}{l}}+k\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {q}}_{1}}^{2}+{{\dot {q}}_{2}}^{2})\\&V\approx {\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}\\&L=T-V={\frac {1}{2}}m({{\dot {q}}_{1}}^{2}+{{\dot {q}}_{2}}^{2})-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}\\\end{aligned}}$

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als:

${\begin{aligned}&m{{\ddot {q}}_{1}}+{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0\\&m{{\ddot {q}}_{2}}+{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0\\\end{aligned}}$

Auch hier haben wir ein System gekoppelter Differenzialgleichungen.

Als Loesungsansatz wählen wir:

${{q}_{k}}={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}$

Die resultierende Eigenwertgleichung lautet:

$\left({\begin{matrix}m{\frac {g}{l}}+k-m{{\omega }^{2}}&-k\\-k&m{\frac {g}{l}}+k-m{{\omega }^{2}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{A}_{1}}\\{{A}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=0$

Aus der charakteristischen Gleichung gewinnen wir das charakteristische Polynom

${\begin{aligned}&0=\det({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left|{\begin{matrix}{\frac {g}{l}}+{\frac {k}{m}}-{{\omega }^{2}}&-{\frac {k}{m}}\\{\frac {-k}{m}}&{\frac {g}{l}}+{\frac {k}{m}}-{{\omega }^{2}}\\\end{matrix}}\right|=0\\&0={{\omega }^{4}}-2\left({\frac {k}{m}}+{\frac {g}{l}}\right){{\omega }^{2}}+{\frac {{g}^{2}}{{l}^{2}}}+2{\frac {gk}{lm}}={{\omega }^{4}}-2\left({\frac {k}{m}}+{\frac {g}{l}}\right){{\omega }^{2}}+{{\left({\frac {g}{l}}+{\frac {k}{m}}\right)}^{2}}-{{\left({\frac {k}{m}}\right)}^{2}}\\\end{aligned}}$

${{\omega }_{1,2}}^{2}=\left({\frac {k}{m}}+{\frac {g}{l}}\right)\pm {{\left({\frac {k}{m}}\right)}^{}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {g}{l}}\\{\frac {g}{l}}+2\left({\frac {k}{m}}\right)\\\end{matrix}}\right.$

Somit kennt das System die folgenden Eigenfrequenzen:

${{\omega }_{1}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}:={{\omega }_{0}}$

ungestörte Pendelfrequenz

${{\omega }_{2}}={\sqrt {{\frac {g}{l}}+2{\frac {k}{m}}}}:={{\sqrt {{{\omega }_{0}}^{2}+2{{\tilde {\omega }}^{2}}}}_{}}$

Die zugehörigen Eigenvektoren lauten:

$\left(m{\frac {g}{l}}+k-m{{\omega }_{a}}^{2}\right){{A}_{1}}^{a}-k{{A}_{2}}^{a}=0$

Somit ergibt sich mit der ungestörten Pendelfrequenz w1:

$k{{A}_{1}}^{1}-k{{A}_{2}}^{1}=0\Rightarrow \left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{1}\\{{A}_{2}}^{1}\\\end{matrix}}\right)\propto \left({\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}}\right)$

Aus der Eigenfrequenz w2 ergibt sich:

In Normalkoordinaten gilt für die Lösung des Ortes:

${{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}^{1}{{Q}_{1}}+{{A}_{k}}^{2}{{Q}_{2}}$

Bis auf einen konstanten Faktor.

Die Umkehrung lautet:

$\left({\begin{matrix}{{Q}_{1}}\\{{Q}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{1}&{{A}_{2}}^{1}\\{{A}_{1}}^{2}&{{A}_{2}}^{2}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\{{q}_{2}}\\\end{matrix}}\right)$

Mit der zu oben transponierten Matrix ( Umkehrung)

Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum \limits _{k}{{\left|{{A}_{k}}^{a}\right|}^{2}}=1}\\&\Rightarrow \left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{1}\\{{A}_{2}}^{1}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2m}}}\left({\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}}\right)\\&\left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{2}\\{{A}_{2}}^{2}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2m}}}\left({\begin{matrix}1\\-1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Es folgt für die Normalkoordinaten:

${\begin{aligned}&{{Q}_{1}}={\frac {1}{\sqrt {2m}}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad SChwerpunktskoordinaten\\&{{Q}_{2}}={\frac {1}{\sqrt {2m}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad \operatorname {Re} lativkoordinaten\\\end{aligned}}$

An Normalschwingungen existiert somit:

${\begin{aligned}&{{\omega }_{1}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}\\&{{\omega }_{2}}={\sqrt {{\frac {g}{l}}+2{\frac {k}{m}}}}\\\end{aligned}}$

Dabei stellt ersteres die gleichphasige Schwerpunktsschwingung dar, letzteres repräsentiert die gegenphasige Relativschwingung.

In Realität haben wir es mit einer beliebigen Überlagerung von Schwerpunktsschwingung und Relativschwingung zu tun.

Dabei treten Überlagerungszustände als Schwebung auf.

In Realität erhält man eine reine Schwerpunktschwingung, wenn die Anfangsbedingungen reine Lösung der Schwerpunktsskoordinaten sind.

Eine Relativschwingung ergibt sich, wenn die Anfangsbedingung exakt eine Lösung der Relativkoordinaten repräsentieren.