Das d'Alembertsche Prinzip

Theorie: Mechanik

Klassische Mechanik im Gegensatz von Relativität, Quantenmechanik und statistischer Mechanik :

beschreibt die Bewegung von Körpern

ist deterministisch ( aus AnfBed berechenbar)

ist kausal ( durch Kräfte verursacht)

Mechanik leistet

einen Überblick über die physikalischen Grundbegriffe

liefert das Paradigma einer physikalischen Theorie ( als mathematisch- geometrische Struktur der Dynamik)

Die Mechanik soll nicht dargestellt sein als Mechanik von mechanischen Systemen aus Massepunkten mit Näherungen und Vernachlässigungen, die zu exakt lösbaren Problemen führen.

Mechanik soll heute den formalen Rahmen betonen

• Symmetrien und Invarianzprinzipien
• geometrische Strukturen
• Nichtlineare Theorie
• Grundlagen für andere Theorien

Die Mechanik soll verallgemeiner, kanonisch formuliert werden

• Lagrangeformalismus: Feldtheorien ( E-Dynamik, Relativität)
• Hamiltonformalismus ( Quantenmechanik und Statistische Mechanik)

Inhalt:

Extremalprinzipien

Differenzialprinzip: dÁlembertsches prinzip

Integralprinzip: Hamiltonsches Prinzip

Hamiltonsche Gleichungen

Mechanik des starren Körpers

Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Grundbegriffe

Kinematik und Dynamik von Systemen von Massepunkten ohne Zwangsbedingungen: Newtonsche Mechanik

Axiome Newtons

• kräftefrei = geradlinig und gleichförmig
• Beschleunigung:

${\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}\propto {\vec {F}}$

• actio = reactio
• lineares Superpositionsprinzip ( lineare Superposition von Kräften)

Bemerkungen

Körper = Massepunkt ( empirisch motiviert)

Kraft = mechanische Auswirkung einer nicht näher zu spezifizierenden Wechselwirkung ( Gravitation, schwach, elektromagnetisch, stark)

Theorie der Kraft ist Feldtheorie und damit nicht Gegenstand der Mechanik

Erledigt: Edynamik. Ziel: GUT

Die Definition von geradlinig und gleichförmig ist operativ. Geradlinig bestimmt den starren Maßstab und gleichförmig die absolute zeit.( Uhr).

Dadurch werden Struktur von Raum und Zeit bestimmt.

Experimentell zeigte sich:

Der Raum ist homogen und isotrop ( 3dimensioal und euklidisch)

Zeit ist universell ( unendlich schnelle Signalgeschwindigkeit)

Ereignis:

Dynamische Variable: ${\vec {r}}(t)$ ist Bahnkurve, ${\vec {v}}(t):={\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(t)={\dot {\vec {r}}}$ ist Tangentialvektor

1. Newtonsches Axiom:

Es existiert ein Inertialsystem ( operativ durch kräftefreie Bewegung definiert).

Galilei- Transformation leistet die generelle Trafo zwischen 2 Inertialsystemen

Bewege sich ein gestrichenes System mit vo nach rechts und lagen die Ursprünge zur Zeit t aufeinander, so gilt für die allgemeine Trafo zwischen 2 Inertialsystemen: $\{K,t\}\to \{K{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\}$

${\begin{aligned}&{\vec {r}}(t)={\vec {r}}{\acute {\ }}(t)+{{\vec {v}}_{o}}(t)\cdot t+{{\vec {s}}_{o}}\\&t{\acute {\ }}=t\\\end{aligned}}$

Dabei bezeichnet ${{\vec {s}}_{o}}$ den Koordinatenursprung des ungestrichenen Systems.

Sind die Koordinatensysteme gleichzeitig noch gegeneinander verdreht, so gilt:

${\begin{aligned}&{\vec {r}}(t)={\overline {\overline {R}}}{\vec {r}}{\acute {\ }}(t)+{{\vec {v}}_{o}}(t)\cdot t+{{\vec {s}}_{o}}\\&t{\acute {\ }}=t\\\end{aligned}}$

wobei ${\overline {\overline {R}}}$ die Drehmatrix bezeichnet.

Gegen diese Form der Transformation ist die Newtonsche Mechanik forminvariant: Galilei- Invarianz

1. Newtonsches Axiom

${\vec {a}}={\frac {d}{dt}}{\vec {v}}\propto {\vec {F}}$ , dabei existiert ein skalarer Faktor m, die träge Masse

man gewinnt die Bewegungsgleichung:

${\vec {F}}({\vec {r}},{\frac {d}{dt}}{\vec {r}})=m{\frac {{d}^{2}}{{(dt)}^{2}}}{\vec {r}}$

Dies ergibt 3 gekoppelte, nichtlineare Differenzialgleichungen

Es existiert jedoch eine eindeutige Lösung zu den Anfangsbedintgungen $({{t}_{o}},{{\vec {r}}_{o}}):{\vec {r}}(t;{{\vec {r}}_{o}},{{t}_{o}})$

Diese Lösung heißt Bahn oder auch Trajektorie oder Orbit.

1. Newtonsches AXiom

${{\vec {F}}^{(12)}}+{{\vec {F}}^{(21)}}=0$

Beispiel

Man betrachte 2 Massepunkte in einem Inertialsystem ( ohne äußere Kräfte)

Aus Actio = Reactio folgt sofort die Impulserhaltung: ( die erste Kraft wird von 2 auf 1 ausgeübt!)

${\begin{aligned}&{{\vec {F}}^{(12)}}={{m}^{(1)}}{\frac {d}{{(dt)}^{}}}{{\vec {v}}^{(1)}}={{m}^{(1)}}{{\vec {a}}^{(1)}}\\&{{\vec {F}}^{(21)}}={{m}^{(2)}}{\frac {d}{{(dt)}^{}}}{{\vec {v}}^{(2)}}={{m}^{(2)}}{{\vec {a}}^{(2)}}\\&\to {\frac {d}{dt}}\left({{m}^{(1)}}{{\vec {v}}^{(1)}}+{{m}^{(2)}}{{\vec {v}}^{(2)}}\right)=0\\&\to {\frac {d}{dt}}\left({{\vec {p}}^{(1)}}+{{\vec {p}}^{(2)}}\right)=0\\&\to {{\vec {p}}^{(1)}}+{{\vec {p}}^{(2)}}=const\\\end{aligned}}$

1. Newtonsches Axiom

Kräfte haben Vektorcharakter. Damit sind sie superpositionierbar.

Kräfte entsprechen Feldern. Die entstehenden Theorien sind damit dann lineare Feldtheorien.

Jedoch ist die Bewegungsgleichung

${\vec {F}}({\vec {r}},{\frac {d}{dt}}{\vec {r}})=m{\frac {{d}^{2}}{{(dt)}^{2}}}{\vec {r}}$

im Allgemeinen nichtlinear ( im Ort, in der Bahnkurve r)

Die einzige Ausnahme bildet der harmonische Oszi

${\vec {F}}({\vec {r}},{\frac {d}{dt}}{\vec {r}})\propto {\vec {r}}$

Das Newtonsche Gravitationsgesetz ( empirisch)

${{\vec {F}}^{(12)}}=-\gamma {{m}_{s}}^{(1)}{{m}_{s}}^{(2)}{\frac {{{\vec {r}}^{(1)}}-{{\vec {r}}^{(2)}}}{{\left|{{\vec {r}}^{(1)}}-{{\vec {r}}^{(2)}}\right|}^{3}}}$

Dabei ist die schwere Masse stets größer Null und gleich der trägen Masse ( alle Körper fallen gleich schnell).

Die schwere Masse ist Maß für die Kopplungsstärke der gravitativen Wechselwirkung. Die Träge Masse ist Maß für die Fähigkeit eines Körpers, sich dem Einfluss einer Kraft zu widersetzen, also maß für die Kopplungsstärke der Bewegung mit der wirkenden Kraft. Dass schwere und träge Masse gleich sind ist nur experimentelle Erfahrung

Wählt man schwere und träge Masse gleich

${{m}_{t}}^{(1)}={{m}_{s}}^{(1)}\to \gamma =6,67\cdot {{10}^{-11}}{\frac {{m}^{3}}{kg\cdot {{s}^{2}}}}$

Das dÁlembertsche Prinzip

Zwangsbedingungen und Zwangskräfte

Ein System von N Massepunkten hat 3N Freiheitsgrade, wenn keine Zwangsbedingungen vorliegen. Die Zahl der Freiheitsgrade wird verringert durch

Holonome (integrable) Zwangsbedingungen

Die Aufstellung der Zwangsbedingungen erfolgt derart, dass für eine Zwangsbedingung Lambda gilt:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Betrachten wir als Beispiel einen Starren Körper aus 3 Teilchen, die jeweils den festen Abstand

${{l}_{ij}}$ einhalten, so erhalten wir 3 Zwangsbedingungen:

${\begin{aligned}&{{f}_{1}}=|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{2}}|-{{l}_{12}}=0\\&{{f}_{2}}=|{{\vec {r}}_{2}}-{{\vec {r}}_{3}}|-{{l}_{23}}=0\\&{{f}_{3}}=|{{\vec {r}}_{1}}-{{\vec {r}}_{3}}|-{{l}_{13}}=0\\\end{aligned}}$

Die Zahl der Freiheitsgrade beträgt $f=3N-\nu =9-3=6$

Allgemein könnte man nun für einen beliebigen starren Körper aus N Teilchen annehmen:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}|-{{l}_{ij}}=0\quad i,j=1,2,...,N$

Jedoch sind diese Bedingungen nicht unabhängig. So gibt es für N=4 noch wie zu erwarten drei zusätzliche neue Einschränkungen. i,j kann von 1-4 laufen, 2 aus 4 sind gerade 6 Möglichkeiten und es gibt für N=4 auch genau 6 Zwangsbedingungen.

Für N=5 kommen jedoch nicht 4 neue Zwangsbedingungen hinzu, sondern lediglich drei. Hier greift die Abhängigkeit einer Zwangsbedingung mit den anderen und man kann eine Zwangsbedingung der 2 aus 5 Kombinationen weglassen. Wäre dies nicht der Fall, so würde sich die Zahl der Freiheitsgrade des starren Körpers ja auch gerade wieder reduzieren, was unsinnig scheint.

Es zeigt sich, dass für jeden Massepunkt ab N=4 genau drei neue Einschränkungen hinzukommen. Die Zahl der Freiheitsgrade bleibt ab N=3 konstant, nämlich 6.

Unabhängigkeit bedeutet, dass für alle $\lambda =1,...,\nu$ die Zwangsbedingungen ein linear unabhängiges Gleichungssystem bilden, also

$Rang\left({\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial {{r}_{i}}}}\right)=\nu$

Somit gibt es genau 3N-6 Freiheitsgrade für N größer/ gleich drei:

N neue Einschränkungen Zwangsbed ( $\nu$ ) Freiheitsgrade f=3N- $\nu$

1 0 0 3 2 1 1 5 3 2 3 6 4 3 6 6 5 3 9 6 ... 3 N>3 3 3N-6 6

Nun sucht man eine Lösung für die Bewegungsgleichung. Ohne Zwangsbedingung findet man für das i-te Teilchen eine Bahnkurve ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ . Alle Bahnen ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ müssen nun jedoch die $\nu$ unabhängigen Zwangsbedingungen erfüllen:

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

Nichtholonome Zwangsbedingungen

Das totale Differenzial ( längs der Bahn ${{\vec {r}}_{i}}(t)$ ) läßt sich schreiben:

${\frac {d{{f}_{\lambda }}}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

In differenzieller Schreibweise gewinnen wir das vollständige Differential:

$d{{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Nun sind jedoch Nichtholonome Zwangsbedingungen der Art:

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)dt=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Dies ist eine Pfaffsche Differenzialform. Diese ist nicht integrabel, was gleichbedeutend ist damit, dass kein integrierender Faktor ${{g}_{\lambda }}$ existiert, so dass

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot d{{\vec {r}}_{i}}+{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)dt=}d{{f}_{\lambda }}\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Gleichbedeutend mit

${\begin{aligned}&{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda i}}={{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\\&{{g}_{\lambda }}{{\vec {a}}_{\lambda 0}}={\frac {\partial {{f}_{\lambda }}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Dies kann man wieder so interpretieren, dass beliebige Positionen der Teilchen, also ${{\vec {r}}_{i}}(t)\quad i=1...N$ möglich sind, also ${{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...{{\vec {r}}_{N}}$ beliebig, jedoch ist die momentane Bewegungsrichtung eingeschränkt. Man sagt auch, die lokalen Bewegungen sind eingeschränkt ( längs der Bahn ${{\vec {r}}_{i}}(t)\quad i=1...N$ )

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Beispiel ist das Rangieren eines Autos auf einer freien Fläche. Jeder Punkt ist erreichbar, jedoch ist $d{{\vec {r}}_{i}}(t)$ durch die momentane Radrichtung bestimmt

Es ist weiter zu unterscheiden

Zeitabhängigkeit

• zeitabhängige Zwangsbedingungen heißen rheonom
• zeitunabhängige ( nicht explizit zeitabhängige) , starre, ZB heißen skleronom

Zwangsbedingungen als Ungleichungen

z.B. bei einem Gas in einem Behälter mit Wänden

Bewegungsgleichungen

${{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)={{\vec {F}}_{i}}+\sum \limits _{j}{{{\vec {F}}_{ij}}=:{{\vec {X}}_{i}}}\quad i=1...N$

diese Art ist bekannt. Auf der rechten Seite findet sich die Summe der Äußeren Kräfte, eine äußere Kraft auf das i-te Teilchen und die Summe über die inneren Kräfte durch Wechselwirkung mit den weiteren j Teilchen, die anwesend sind. Die Summe aller Kräfte nennt man "eingeprägte Kräfte".

Diese Bewegungsgleichungen sind nun jedoch unter den Nebenbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},{{\vec {r}}_{3}},...{{\vec {r}}_{N}})=0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

( holonom)

oder

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot {{\vec {v}}_{i}}+{{\vec {a}}_{\lambda 0}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

(anholonom)

zu lösen.

Dazu soll die Beschreibung gewechselt werden.

Wir nehmen an, dass die Nebenbedingungen ( Zwangsbedingungen) durch Zwangskräfte ${{\vec {Z}}_{i}}$ erzwungen werden.

Damit folgt für unsere Bewegungsgleichung:

${{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)={{\vec {F}}_{i}}+\sum \limits _{j}{{{\vec {F}}_{ij}}+{{\vec {Z}}_{i}}=:{{\vec {X}}_{i}}+{{\vec {Z}}_{i}}}\quad i=1...N$

Beim Beispiel der schiefen Ebene wirkt die Zwangskraft gerade der Normalkraft entgegen und verhindert somit das Fallen des Körpers durch die schiefe Ebene.

Es gilt:

${\begin{aligned}&{\vec {Z}}=mg\cos \vartheta \cdot \left({\begin{matrix}\sin \vartheta \\\cos \vartheta \\\end{matrix}}\right)\\&{\vec {F}}=-mg\cdot \left({\begin{matrix}0\\1\\\end{matrix}}\right)\\&{\vec {Z}}+{\vec {F}}=mg\sin \vartheta \cdot \left({\begin{matrix}\cos \vartheta \\-\sin \vartheta \\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Virtuelle Verrückungen

Unter einer virtuellen Verrückung $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$ versteht man die infinitesimale Änderung der Koordinaten, di zu fester Zeit $\left\{\delta t=0\right\}$ die holonomen, bzw. nicht holonomen Zwangsbedingungen erfüllen.

Damit ist der Unterschied zu einer reellen Verrückung klar, die als $d{{\vec {r}}_{i}}$ im Zeitintervall $dt$ längs der Bahn geschieht.

Die Zwangsbedingungen lassen sich jedoch nicht virtuell verrücken.

Es gilt folglich

$\delta {{f}_{\lambda }}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{ri}}{{f}_{\lambda }}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

$\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\vec {a}}_{\lambda i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}},t)\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=}0\quad \quad \lambda =1,...\nu$

Die zeitabhängigen Anteile fallen raus, da ja nach Definition $\left\{\delta t=0\right\}$ .

Als Beispiel betrachten wir die Bewegung eines Massepunktes in einer Ebene:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Dabei ist ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ der Startpunkt des Teilchens, also ein fester Punkt in der Ebene und nicht notwendigerweise zeitunabhängig. a charakterisiert den Normalenvektor auf der Ebene Schließlich kann sich die Ebene bewegen, beispielsweise hoch und runter.

Formuliert man nun holonome Zwangsbedingungen für N Massepunkte, so gilt:

${\begin{aligned}&f({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot ({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0\quad i=1,2,...,N\\&df({{\vec {r}}_{i}})={\vec {a}}\cdot (d{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {v}}_{o}}(t)dt)=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}\\\end{aligned}}$

also gilt im Allgemeinen:

${\vec {a}}\cdot d{{\vec {r}}_{i}}={\vec {a}}\cdot {{\vec {v}}_{o}}(t)dt\neq 0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

aber:

$\delta f={\vec {a}}\cdot \delta {{\vec {r}}_{i}}=0\quad i=1,2,...,N\quad {{\vec {v}}_{o}}(t)={\frac {d{{\vec {r}}_{o}}(t)}{dt}}$

Das heißt, die virtuellen Verrückungen geschehen alle bei festgehaltenem ${{\vec {r}}_{o}}(t)$ . Es gilt: $\delta {{\vec {r}}_{i}}\bot {\vec {a}}$

1.3 D´Alembertsches Prinzip der virtuellen Arbeit

Gegeben sei ein System von N Massepunkten mit beliebigen ( holonomen oder nicht holonomen) Zwangsbed.

Schreiben wir die Bewegungsgleichungen mit den Zwangskräften Zi als:

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}={{\vec {Z}}_{i}}\quad i=1...N\\&\to \sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}(t)-{{\vec {X}}_{i}}\right)\delta {{\vec {r}}_{i}}=}\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}\\\end{aligned}}$

Dabei versteht man

$\sum \limits _{i}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$

als virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und 

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}$ als virtuelle Arbeit der Zwangskräfte

Beispiel: Bewegung auf einer Fläche

$f({{\vec {r}}_{i}},t)=0$

das ist auf der Ebene gerade durch die Normale auszudrücken:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Annahme: Alle Zwangskräfte stehen senkrecht auf die Fläche:

${\begin{aligned}&{{\vec {Z}}_{i}}={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\\&{{\nabla }_{ri}}f\quad z.B.{\vec {a}}\ f{\ddot {u}}r\ Ebene\\\end{aligned}}$

Die Virtuelle Arbeit der Zwangskräfte verschwindet nun:

${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0={{\lambda }_{i}}({{\vec {r}}_{1}},{{\vec {r}}_{2}},...,{{\vec {r}}_{N}}){{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}={{\lambda }_{i}}\delta f$

Begründung:

${{\nabla }_{ri}}f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ist als Variation der Zwangsbedingung zu verstehen:

${{\nabla }_{ri}}f$ ist ein Differenzial senkrecht auf die Fläche

$f\delta {{\vec {r}}_{i}}$ ein Differenzial parallel zur Fläche

Also folgt:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=0$

Die reale Arbeit der Zwangskräfte verschwindet dagegen im Allgemeinen nicht:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}d{{\vec {r}}_{i}}}\neq 0$

Beispiel: Starrer Körper

${{f}_{\lambda }}=\left|{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}\right|-{{l}_{ij}}:={{r}_{ij}}-{{l}_{ij}}=0$

Annahme: Die Zwangskräfte wirken in Richtung ${{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}$

${{\vec {Z}}_{ij}}={{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}$

Das Vorgehen läßt sich also folgendermaßen schematisieren:

Bestimme die Richtung der Zwangskraft und multipliziere einen beliebigen skalaren Faktor mit dieser Richtung.

Falls die Richtungen für verschiedene Zwangskräfte verschieden sind, so muss man diese indizieren ( mit einem Index kenntlich machen). Die Zwangskräfte erhalten dann ebenso indizierte skalare Faktoren.

Mit Hilfe des 3. Newtonschen Axioms können wir weiter einschränken:

${{\vec {Z}}_{ij}}=-{{\vec {Z}}_{ji}}\Rightarrow {{\lambda }_{i{{j}_{}}}}={{\lambda }_{ji}}$

Auf das Teilchen i wirkt also insgesamt die Zwangskraft:

${{\vec {Z}}_{i}}=\sum \limits _{j\neq i}{{Z}_{ij}}=\sum \limits _{j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}$

${{\vec {Z}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}\neq 0$ im Allgemeinen. Es verschwindet also nicht die virtuelle Arbeit für jede Masse einzeln.

Jedoch gilt:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{{\lambda }_{ij}}{\frac {{{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}}{{\delta }_{}}{{({{\vec {r}}_{i}}-{{\vec {r}}_{j}})}_{}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j}{{\lambda }_{ij}}{{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$

Beweis:

$\delta |r|=\delta {{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}{{({\vec {r}}\cdot {\vec {r}})}^{-{\frac {1}{2}}}}2{\vec {r}}\delta {\vec {r}}={\frac {{\vec {r}}\delta {\vec {r}}}{r}}$

und

${{\delta }_{}}{{r}_{ij}}=0$

Allgemein kann man fordern:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=0$ für alle betrachteten Zwangskräfte.

Das bedeutet: Gleitreibungskräfte längs einer Fläche sind als Zwangskräfte ausgeschlossen.

Somit folgt als dÁlembertsches Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

Das d´Alembertsche Prinzip gilt gleichermaßen für holonome und anholonome Zwangsbedingungen

Beispiel für ein Variationsprinzip:

Differentialprinzip: ( für infinitesimal kleine Variationen):

Der wirklich angenommene Zustand eines Systems ist in Extremalzustand in dem Sinn, dass die gesamte virtuelle Arbeit Null ist. Dieser Zustand ist stabil gegen kleine Verrückungen der Bahn $\left\{\delta {{\vec {r}}_{i}}\right\}$ .

Variationsprinzip mit Nebenbedingungen

Wir numerieren nun die Vektorkoordinaten um:

${\begin{aligned}&{\vec {r}}\to {{r}_{j}}(j=1...3)\\&{\vec {X}}\to {{X}_{j}}\\&{\vec {a}}\to {{b}_{j}}^{n}\\\end{aligned}}$

Aus dem d´Alembertschen Prinzip gewinnen wir:

$\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{Z}_{i}}{{\delta }_{}}{{r}_{i}}}=\sum \limits _{i=1}^{3N}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}\right)\delta {{r}_{i}}=0}$

Nebenbedingung:

$\sum \limits _{i=1}^{3N}{{{b}_{i}}^{n}\delta {{r}_{i}}=0\quad n=1,...,\nu }$

Nü charakterisiert auch hier die Zahl der Nebenbedingungen, der Index n steht für die n-te Nebenbedingung

Dies ist lösbar mit der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Denn: Wenn die Vektorkomponenten ${{r}_{i}}$ frei variierbar wären, also $\delta {{r}_{i}}$ beliebig, so müsste gelten:

${{m}_{i}}{{\ddot {r}}_{i}}-{{X}_{i}}=0$

Also wäre es sinnvoll, das lineare Gleichungssystem so umzuschreiben, dass ein Satz von Faktoren frei variierbar ist:

Zuerst addieren wir die Nebenbedingungen mit noch beliebigen Lagrangemultiplikatoren ${{\lambda }_{n}}$

Wir erhalten:

$\sum \limits _{j=1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$

Nun sind $\delta {{r}_{1}},\delta {{r}_{2}},...,\delta {{r}_{\nu }}$

aus den Nebenbedingungen zu eliminieren.

Die verbleibenden $\delta {{r}_{\nu +1}},...,\delta {{r}_{3N}}$ sind nun frei variierbar.

Nun kann das Summenzeichen weggelassen werden, da die verbleibenden Vektorkomponenten frei variiert werden können und dementsprechend jeder Summand für sich Null sein muss:

Es lassen sich ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ derart bestimmen, dass

${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0\quad j=1,...,\nu$

Das heißt, wir suchen die ${{\lambda }_{1,}}...,{{\lambda }_{\nu }}$ aus diesem gegebenen linearen Gleichungssystem für die ${{\lambda }_{n}}(t)$ als Funktion der ${{\ddot {r}}_{j}}(t)$ . Im stationären Fall ist dies direkt auflösbar.

$\sum \limits _{j=\nu +1}^{3N}{\left({{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}\right)\delta {{r}_{j}}=0}$

Da hier jedoch die $\delta {{r}_{j}}$ frei variierbar sind, gilt:

${{m}_{j}}{{\ddot {r}}_{j}}-{{X}_{j}}-\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}=0$

Die Lagrange- Gleichung der 1. Art

$\sum \limits _{n=1}^{\nu }{{{\lambda }_{n}}{{b}_{j}}^{n}}$ kann als Zwangskraft interpretiert werden und taucht in der Statik als Lagrange- Parameter auf.

Beispiel Atwoodsche Fallmaschine

Aus der Schule bekannt ist die Kraft, die an m1 angreift, nämlich -m1g und die Kraft , die an m2 angreift, nämlich -m2g.

Beginnen wir mit dem d´Alembertschen Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

so folgt:

$({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{X}_{1}})\delta {{h}_{1}}+({{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{2}}-{{X}_{2}})\delta {{h}_{2}}=0$

Da der Aufbau nur ein Rädchen besitzt gilt ganz einfach:

${\begin{aligned}&{{h}_{1}}+{{h}_{2}}=const.\\&\delta {{h}_{1}}=-\delta {{h}_{2}}\\&{{\ddot {h}}_{1}}=-{{\ddot {h}}_{2}}\\\end{aligned}}$

Also folgt:

$({{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g)\delta {{h}_{1}}-(-{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{2}}g)\delta {{h}_{1}}=0$

${{m}_{1}}{{\ddot {h}}_{1}}+{{m}_{1}}g+{{m}_{2}}{{\ddot {h}}_{1}}-{{m}_{2}}g=0$

${{\ddot {h}}_{1}}={\frac {({{m}_{2}}-{{m}_{1}})}{{{m}_{1}}+{{m}_{2}}}}g$

Also: Am bedeutendsten ist das d´Alembertsche Prinzip, welches sagt, dass die Summe über alle virtuellen Arbeiten der Zwangskräfte Null ist:

$\sum \limits _{i}{{{\vec {Z}}_{i}}{{\delta }_{}}{{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}{\left({{m}_{i}}{{\ddot {\vec {r}}}_{i}}-{{\vec {X}}_{i}}\right)}\delta {{\vec {r}}_{i}}=0$

Generalisierte Koordinaten

Problematischerweise liegen bei holonomen Zwangsbedingungen

${{f}_{\lambda }}({{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t),t)=0\quad \quad \lambda =1,...\nu \quad f{\ddot {u}}r\ alle\ t$

gekoppelte Koordinaten vor ( die Koordinaten sind in den Zwangsbedingungen gekoppelt).

Somit können die Punktkoordinaten

$\left\{{{\vec {r}}_{1}}(t),{{\vec {r}}_{2}}(t),{{\vec {r}}_{3}}(t),...{{\vec {r}}_{N}}(t)\right\}$ nicht unabhängig voneinander variiert werden.

Ziel:

Suche einen Satz von f unabhängigen generalisierten Koordinaten. Diese sind optimal angepasst, wenn so viele unabhängige Koordinaten wie Freiheitsgrade existieren:

$\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$

Anschließend können Bewegungsgleichungen für die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ aus einfachen Extremalprinzipien ermittelt werden.

Wesentlich: Die $\left\{{{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right\}\quad f=1,2,...3N-\nu$ sind FREI variierbar ! Wegen

${{\vec {r}}_{i}}={{\vec {r}}_{i}}\left({{q}_{1}}(t),{{q}_{2}}(t),...{{q}_{f}}(t)\right)\quad f=1,2,...3N-\nu$ sind die Zwangsbedingungen identisch erfüllt.

Beispiel: Der Massenpunkt auf der bewegten Ebene:

${\vec {a}}\cdot ({\vec {r}}-{{\vec {r}}_{o}}(t))=0$

Betrachten wir ein mitbewegtes Koordinatensystem ${\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}},{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$

Für den Radiusvektor existiert dann eine Verallgemeinerung:

${\bar {r}}={{\bar {r}}_{o}}(t)+{{q}_{1}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{1}}+{{q}_{2}}{\bar {e}}{{\acute {\ }}_{2}}$

Somit existiert eine injektive Abbildung der Koordinaten und wir können als generalisierte Koordinaten bestimmen:

$\left\{{{q}_{1}},{{q}_{2}}\right\}$ , f=2

Beispiel: Massepunkt auf Kreis mit Radius R:

${\begin{aligned}&{\bar {r}}=R(\cos \phi {{\bar {e}}_{1}}+\sin \phi {{\bar {e}}_{2}})\\&q=\phi \\&f=1\\\end{aligned}}$

Virtuelle Verrückungen

müssen nun auch in den generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden, also:

$\delta {{\bar {r}}_{i}}$ wird ausgedrückt durch $\delta {{q}_{1}},...,\delta qf$

Betrachten wir eine reale Verrückung ( in der Zeit), so gilt:

${{\vec {v}}_{i}}={\frac {d}{dt}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}$

Daraus ergibt sich jedoch die Gleichung:

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

Mit diesen Gleichung kann die Virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte gewonnen werden:

$\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\vec {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{\left\{\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}\right\}\delta q_{j}^{}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{Q}_{j}}\delta }q_{j}^{}$

Somit kann man als Ausdruck für die verallgemeinerte Kraft angeben:

${{Q}_{j}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}$

Sind die eingeprägten Kräfte konservativ:

${{\vec {X}}_{i}}=-{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})$

So folgt:

$-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}=-\sum \limits _{i}^{}{{{\nabla }_{{\vec {r}}i}}V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}}){\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}}={{Q}_{j}}$

Somit besitzen auch die verallgemeinerten Kräfte ein Potenzial, natürlich das physikalisch gleiche wie die eingeprägten Kräfte !

1.5 Lagrangegleichungen 2. Art

Betrachten wir wieder das d Álembertsche Prinzip:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}$

Linke Seite:

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\left(\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}}\right)\delta {{q}_{j}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\dot {\vec {r}}}_{i}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}$

Mit

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\left[\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{\dot {q}}_{j}}\right)}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right]}_{}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

und

${{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}$

Beweis für die letzte Deduktion:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\&{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left\{\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\right\}=\sum \limits _{k=1}^{}{\left({\frac {{{\partial }^{2}}{{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{q}_{j}}\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}\\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich für die linke Seite

$\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{j}{}\sum \limits _{i}^{}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}_{}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}\delta {{q}_{j}}_{}}$

Ziel ist es, diese Seite durch die gesamte KINETISCHE ENERGIE auszudrücken:

$T=\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}$

${\begin{aligned}&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\&{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}\left({\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}\right)\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

$\left\{{\frac {d}{dt}}\left({{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)-{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}_{}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\vec {v}}_{i}}\right)\right\}=\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)\right\}$

${\begin{aligned}&\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\ddot {\bar {r}}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}=\sum \limits _{i}^{}{{{\vec {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}=\sum \limits _{j}{{Q}_{j}}}\delta {{q}_{j}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{j}{\left\{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}\right\}\delta {{q}_{j}}=0}\\\end{aligned}}$

Der T-abhängige Ausdruck ist jedoch in qj völlig frei variierbar. Somit ist keine lineare Abhängigkeit der Variationen über verschiedene j gegeben.

Jedes qj ist für sich frei variierbar, so dass der Ausdruck auf der linken Seite für sich Null wird:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}T\right)-{{Q}_{j}}=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}T\right){{-}_{}}\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}T\right)={{Q}_{k\quad \quad k=1,....,f}}\\\end{aligned}}$

Lagrange- Gleichungen 2. Art:

Die Lagrangegleichungen der zweiten Art können aus dem d ´Alembertschen Prinzip nur für HOLONOME Zwangsbedingungen gewonnen werden ( im Gegensatz zur Lagrangegleichung erster Art).

Dies liegt daran, dass nur für HOLONOME Zwangsbedingungen generalisierte Koordinaten definiert werden können:

Spezialfall konservative Kräfte:

${\begin{aligned}&-{\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}={{Q}_{j}}\\&V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)=V({{\vec {r}}_{1}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t),...,{{\vec {r}}_{N}}({{q}_{1,}}...,{{q}_{f}},t))\\\end{aligned}}$

Dies bedingt jedoch:

${\frac {\partial V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Wir können uns die Lagrangefunktion derart definieren, dass:

$L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=T-V$

Es folgt:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0$

Die sagenumwobene Lagrangegleichung 2. Art für konservative Kräfte !

Anmerkung:

• die genannte Lagrangegleichung L ist nicht eindeutig festgelegt
• L=T-V ist nur EINE mögliche Form

${\begin{aligned}&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial t}}}\right)}^{2}}}\\&T({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)=a+\sum \limits _{k=1}^{f}{{{b}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}}+\sum \limits _{k,l=1}^{f}{{{c}_{kl}}{{\dot {q}}_{k}}{{\dot {q}}_{l}}}\\\end{aligned}}$

• Dabei ist die kinetische Energie nur für skleronome Zwangsbedingungen eine HOMOGENE Bilinearform in

${{\dot {q}}_{k\quad }}(a={{b}_{k}}=0)$

Anwendungsschema für Lagrangegleichungen zweiter Art:

Die Atwoodsche Fallmaschine

Generalisierte Koordinate: q

${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}({{m}_{{1}_{}}}+{{m}_{2}}){{\dot {q}}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)={{m}_{1}}gq+{{m}_{2}}(l-q)g\\&{\frac {\partial L}{\partial q}}={{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g\\&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\dot {q}}\\&({{m}_{1}}+{{m}_{2}}){\ddot {q}}+{{m}_{1}}g-{{m}_{2}}g=0\\&\\\end{aligned}}$

Beispiel 2:

Eine Masse m rotiert mit Winkelgeschwindigkeit w an einem Faden der Länge Ro, welcher mit Geschwindigkeit c durch ein Loch gezogen wird (rheonome Zwangsbedingung).

Generalisierte Koordinate q ist der Winkel $\phi$

${\begin{aligned}&T({{q}_{}},{{\dot {q}}_{}},t)={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&V(q,{\dot {q}},t)=0\\&L={\frac {1}{2}}m{{c}^{2}}+{\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\\end{aligned}}$

Dahin kommt man im Übrigen aus:

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}})\\&x=({{R}_{o}}-ct)\cos \phi \\&{\dot {x}}=-c\cos \phi -({{R}_{o}}-ct){\dot {\phi }}\sin \phi =-c\cos q-({{R}_{o}}-ct){\dot {q}}\sin q\\&y=({{R}_{o}}-ct)\sin \phi \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\ddot {q}}{{({{R}_{o}}^{}-ct)}^{2}}-2cm{\dot {q}}({{R}_{o}}^{}-ct)\\&\Rightarrow {\ddot {q}}({{R}_{o}}-ct)=2c{{\dot {q}}^{}}\\\end{aligned}}$

Somit haben wir eine Bewegungsgleichung für die Winkelgeschwindigkeit gefunden:

${\begin{aligned}&{\frac {\dot {\omega }}{\omega }}={\frac {2c}{{{R}_{o}}-ct}}\\&\int {{\frac {d\omega }{\omega }}=2c\int {\frac {dt}{{{R}_{o}}-ct}}}\\&\ln \omega =-2\ln({{R}_{o}}-ct)+const\\&\ln \omega =\ln {\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\&\omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Bestimmung der Konstanten aus den Anfangsbedingungen liefert:

Drehimpuls:

${\begin{aligned}&{\vec {L}}=m{\vec {v}}\times {\vec {r}}\\&{{\vec {L}}_{o}}=m{{\omega }_{o}}^{}{{R}_{o}}^{2}\quad {{v}_{o}}={{\omega }_{o}}{{R}_{o}}\quad {{r}_{o}}={{R}_{o}}\\&andererseits:\\&{{\omega }_{o}}={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}})}^{2}}}\\&\Rightarrow \omega ={\frac {con{\tilde {s}}}{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}\Rightarrow con{\tilde {s}}={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m}}\\&\omega ={\frac {{\vec {L}}_{o}}{m{{({{R}_{o}}-ct)}^{2}}}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}$

Durch Integration gewinnt man:

$q={{q}_{o}}+{\frac {{\vec {L}}_{o}}{cm({{R}_{o}}-ct)}}$

Das heißt, wie zu erwarten war, die Masse dreht sich immer schneller, je kürzer der Faden wird ( Drehimpulserhaltung !)

Normalschwingungen

Anwendung: Kleine Schwingungen eines Systems von Massepunkten ${{m}_{i}}$

Die Zwangsbedingungen seien holonom und skleronom.

Außerdem sei das Potenzial beliebig

$V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}},...,{{\bar {r}}_{N}})$

es existiere lediglich eine stabile Ruhelage.

Dazu wähle man generalisierte Koordinaten ( f Stück) mit der Ruhelage 0

Man kann an dieses Problem herangehen, indem die potenzielle Energie um die Ruhelage entwickelt wird:

$V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=V(0,....,0)+\sum \limits _{j}{{{\left({\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}+...}}$

Der erste Term kann gleich Null gesetzt werden ( Skalenverschiebung bei Potenzialen). Dies entspricht einer Skalenverschiebung der Energie.

Im Zweiten Term tauchen jedoch die verallgemeinerten Kräfte ( von außen) auf. Wenn diese nicht existieren, so ist dieser Term ebenfalls Null:

${\begin{aligned}&V(0,....,0)=0\\&\sum \limits _{j}{{{\left({\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}}=0\quad \left({\frac {\partial V}{\partial {{q}_{j}}}}\right)=-{{Q}_{j}}=0\\&{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{j}}\partial {{q}_{k}}}}\right)}_{0}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}}\\\end{aligned}}$

Für kleine Schwingungen hinreichend genau erhalten wir also in niedrigster Näherung grundsätzlich harmonische Schwingungen in einem q²- Potenzial :

Das Potenzial ergibt eine positiv definite quadratische Form ( positiv definit, da Ruhelage stabil !)

$V({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\approx {\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\geq 0}\quad \quad {{V}_{jk}}={{V}_{kj}}$

Ansatz für die kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\vec {v}}_{i}}^{2}}\geq 0$

${\begin{aligned}&{{\vec {v}}_{i}}=\sum \limits _{j}{}\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right){{\dot {q}}_{j}}\\&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{m}_{i}}\left(\sum \limits _{j,k}{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\right)\geq 0\\&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\\&{{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}}\\\end{aligned}}$

Die Auswertung der Ableitungen des Radiusvektor an der Ruhelage (0) gilt dann als niedrigste ( quadratische) Näherung für kleine Schwingungen.

Auch die kinetische Energie ist in unserem Fall nun eine positiv definite quadratische Form.

Die Lagrangegleichung 2. Art ist somit vollständig bestimmt:

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}-\sum \limits _{j,k}{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\right)\\&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}\left({{\delta }_{jl}}{{\dot {q}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{\dot {q}}_{j}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{\dot {q}}_{j}}=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}}\\&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\ddot {q}}_{k}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}=-\sum \limits _{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}}\\\end{aligned}}$

Einschub: Transformation auf Kugelkoordinaten:

${\begin{aligned}&\left(r,\vartheta ,\phi \right)=\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)\\&x=r\cos \phi \sin \vartheta \\&y=r\sin \phi \sin \vartheta \\&z=r\cos \vartheta \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{\vec {v}}_{}}=\sum \limits _{j}{}\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right){{\dot {q}}_{j}}\\&\\\end{aligned}}$

In Komponenten ergibt sich somit:

${\begin{aligned}&{{v}_{x}}={\frac {dx}{dt}}={\frac {\partial x}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial x}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial x}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\sin \vartheta \cos \phi {\dot {r}}+r\cos \vartheta \cos \phi {\dot {\vartheta }}-r\sin \vartheta \sin \phi {\dot {\phi }}\\&{{v}_{y}}={\frac {dy}{dt}}={\frac {\partial y}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial y}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial y}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\sin \vartheta \sin \phi {\dot {r}}+r\cos \vartheta \sin \phi {\dot {\vartheta }}+r\sin \vartheta \cos \phi {\dot {\phi }}\\&{{v}_{z}}={\frac {dz}{dt}}={\frac {\partial z}{\partial r}}{\dot {r}}+{\frac {\partial z}{\partial \vartheta }}{\dot {\vartheta }}+{\frac {\partial z}{\partial \phi }}{\dot {\phi }}=\cos \vartheta {\dot {r}}-r\sin \vartheta {\dot {\vartheta }}\\&\\\end{aligned}}$

Es läßt sich eine Funktionalmatrix zusammenstellen:

$\left({\begin{matrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \vartheta }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \vartheta }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial z}{\partial r}}&{\frac {\partial z}{\partial \vartheta }}&{\frac {\partial z}{\partial \phi }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\sin \vartheta \cos \phi &r\cos \vartheta \cos \phi &-r\sin \vartheta \sin \phi \\in\vartheta \sin \phi &r\cos \vartheta \sin \phi &r\sin \vartheta \cos \phi \\\cos \vartheta &-r\sin \vartheta &0\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\\&{{T}_{jk}}={{T}_{kj}}\approx \sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}{{\left({\frac {\partial {{\vec {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)}_{0}}}\\&{{T}_{jk}}=m\left[\left({\frac {\partial x}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial x}{\partial {{q}_{k}}}}\right)+\left({\frac {\partial y}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial y}{\partial {{q}_{k}}}}\right)+\left({\frac {\partial z}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial z}{\partial {{q}_{k}}}}\right)\right]\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{T}_{11}}=m\left({{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta \right)=m\\&{{T}_{22}}=m{{r}^{2}}\left({{\cos }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi +{{\cos }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta \right)=m{{r}^{2}}\\&{{T}_{33}}=m{{r}^{2}}({{\sin }^{2}}\vartheta {{\sin }^{2}}\phi +{{\sin }^{2}}\vartheta {{\cos }^{2}}\phi )=m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \\\end{aligned}}$

Diese Wert hängen dabei von den gewählten Koordinaten, also den qj ab.

Aus diesem Grund ( um dies zu erreichen) wurden ja gerade die qj so eingeführt.

${\begin{aligned}&{{T}_{12}}={{T}_{21}}=mr\left(\sin \vartheta \cos \phi \cos \vartheta \cos \phi +\sin \vartheta \sin \phi \cos \vartheta \sin \phi -\sin \vartheta \cos \vartheta \right)=0\\&{{T}_{13}}={{T}_{31}}=0\\&{{T}_{23}}={{T}_{32}}=0\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{T}_{jk}}=\left({\begin{matrix}m&0&0\\0&m{{r}^{2}}&0\\0&0&m{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta \\\end{matrix}}\right)\\&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\vartheta }}^{2}}+{{r}^{2}}{{\sin }^{2}}\vartheta {{\dot {\phi }}^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Zurück:

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}-\sum \limits _{j,k}{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\right)\\&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}\left({{\delta }_{jl}}{{\dot {q}}_{k}}+{{\delta }_{kl}}{{\dot {q}}_{j}}\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}+{{T}_{lj}}{{\dot {q}}_{j}}=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\dot {q}}_{k}}\quad mit\ {{T}_{jl}}={{T}_{lj}}\\&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)=\sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\ddot {q}}_{k}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}=-\sum \limits _{k}{{{V}_{lk}}{{q}_{k}}}\\&\Rightarrow \sum \limits _{k}{{T}_{lk}}{{\ddot {q}}_{k}}+{{V}_{lk}}{{q}_{k}}=0\quad \quad l=1,...,f\\\end{aligned}}$

Somit haben wir ein System von f linearen Differenzialgleichungen gegeben.

Bekanntlich eignet sich als Ansatz für die Lösung:

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C\\&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\\\end{aligned}}$

Dies ist eine Eigenwertgleichung für w²

Bei gegebenen w² liegt ein lineares Gleichungssystem für die Ak vor:

Eine nichttriviale Lösung existiert aber genau dann, wenn

$\det \left({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}\right)=0$

Dies ist die charakteristische Gleichung für w², die sogenannte Säkulargleichung, ein Polynom f-ten Grades.

${{V}_{lk}},{{T}_{lk}}positiv\ definit\Rightarrow {{\omega }^{2}}>0$ für alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Beweis:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\left|\cdot \sum \limits _{l}{{{A}_{l}}^{*}}\right.\\&\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}-}{{\omega }^{2}}\sum \limits _{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}=0\\&{{\omega }^{2}}={\frac {\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}{\sum \limits _{l,k}{{{T}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}}}\\&\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}{{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{kl}}{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}=}{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}\left({{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}+{{A}_{k}}^{*}{{A}_{l}}\right)=}{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l,k}{{{V}_{lk}}2\cdot \operatorname {Re} \left({{A}_{l}}^{*}{{A}_{k}}\right)}\\\end{aligned}}$ Also handelt es sich hierbei um eine reelle quadratische Form. Nun sind Vlk und Tlk positiv definite Matrizen.

Zähler und Nenner sind aber reelle quadratische Formen.

Was zur Folge hat, dass w²>0

Die Lösungen des Gleichungssystems

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}\quad {{A}_{k}}\in C\\&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}=0}\\\end{aligned}}$

sind die Eigenfrequenzen ${{\omega }^{2}}_{a}\quad a=1,...,f$

und die Eigenvektoren ${{A}_{k}}^{(a)}\quad a=1,...,f$

Wobei die Eigenvektoren nur bis auf einen Normierungsfaktor bestimmt sind und reell gewählt werden können.

Die allgemeine Lösung für die verallgemeinerten Kooridnaten lautet:

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)=\operatorname {Re} \left\{\sum \limits _{a=1}^{f}{{C}_{a}}{{A}_{k}}^{(a)}{{e}^{i{{w}_{a}}t}}\right\}\\&\\\end{aligned}}$

Die ${{C}_{a}}$ werden durch die Anfangsbedingungen ${{q}_{k}}(0),{{\dot {q}}_{k}}(0)$ bestimmt

Normalkoordinaten

Ziel:

Transformiere auf neue generalisierte Koordinaten, so dass die Bewegungsgleichungen für die Koordinaten entkoppeln.

Seien diese neuen Koordinaten ${{Q}_{j}}$ so soll gelten:

${{\ddot {Q}}_{j}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{j}}=0\quad j=1,...,f$

Dies wird bekanntlich erreicht durch eine Hauptachsentransformation der symmetrischen Matrizen Vlk und Tlk

Die Transformation ist das Diagonalisierungsverfahren. Dazu werden reell gewählte Eigenvektoren

${{A}_{k}}^{(a)}$

eingesetzt. In diesen müssen sich dann die generalisierten Koordinaten mit den Normalkoordinaten als Entwicklungskoeffizienten darstellen lassen:

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}(t)=\sum \limits _{a=1}^{f}{}{{A}_{k}}^{(a)}{{Q}_{a}}\\&\\\end{aligned}}$

Die diagonalisierte Matrix kann die Koordinatentransformation als Abbildung vollständig darstellen:

Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\lower“): {\displaystyle \begin{align} & \vec{q}=\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {\overset{\lower0.5em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\rightharpoonup}$}} {A}}\vec{Q}\quad mit\ \vec{q},\vec{Q}\in {{R}^{f}} \\ & \\ \end{align}}

Bleibt zu zeigen, dass Vlk und Tlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert werden:

Es gelten die Eigenwertgleichungen:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left|\cdot \sum \limits _{l}{{{A}_{l}}^{b}}\right.\\&\sum \limits _{l}{({{V}_{kl}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{l}}^{b}=0\left|\cdot \sum \limits _{k}{{{A}_{k}}^{b}}\right.}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k,l}{{{A}_{l}}^{b}({{V}_{lk}}-{{V}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}-{{A}_{l}}^{b}({{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}-{{\omega }_{b}}^{2}{{T}_{kl}}){{A}_{k}}^{a}}=0\\&{{V}_{lk}}={{V}_{kl}}\\&\sum \limits _{k,l}{({{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}){{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}}=0\\\end{aligned}}$

Die Annahme lautet nun noch:

${{\omega }_{a}}^{2}-{{\omega }_{b}}^{2}\neq 0$ Die Eigenwerte sind nicht entartet, natürlich für verschiedene a/b

Somit folgt jedoch

$\sum \limits _{k,l}{}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{kl}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}$

Im wesentlichen ist dieser Ausruck ( die transformierte kinetische Energie)Null für verschiedene a und b. Bei geeigneter Normierung kann er für a=b gleich 1 gesetzt werden.

Die Trafo ist also eine verallgemeinerte orthogonale Trafo.

Es folgt wegen

$\sum \limits _{k}{({{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\left|\cdot \sum \limits _{l}{{{A}_{l}}^{b}}\right.$

dass

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}-{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}){{A}_{k}}^{a}=0}\\&\sum \limits _{k,l}{({{A}_{l}}^{b}{{V}_{lk}}{{A}_{k}}^{a})=\sum \limits _{k,l}{{{\omega }_{a}}^{2}{{A}_{l}}^{b}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}}}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}\\\end{aligned}}$

Also werden Tlk und Vlk durch das gleiche System von Eigenvektoren diagonalisiert.

Lagrangefunktion:

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{j,k}{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}-\sum \limits _{j,k}{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\right)\\&L={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{a,b}{\left(\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{\dot {Q}}_{a}}{{\dot {Q}}_{b}}-\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}{{Q}_{a}}{{Q}_{b}}}}\right)}\right)\\&\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{T}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\delta }_{ab}}}\\&\sum \limits _{j,k}{{{A}_{j}}^{b}{{V}_{jk}}{{A}_{k}}^{a}={{\omega }_{a}}^{2}{{\delta }_{ab}}}\\&L={\frac {1}{2}}\left(\sum \limits _{a}{\left({{\dot {Q}}_{a}}^{2}-{{\omega }_{a}}^{2}{{Q}_{a}}^{2}\right)}\right)\\\end{aligned}}$

In der tat entkoppeln nun die Bewegungsgleichungen:

${{\ddot {Q}}_{a}}+{{\omega }_{j}}^{2}{{Q}_{a}}=0\quad a=1,...,f$

Beispiel: Pendel

Leicht kann man sich an einer Skizze klar machen:

$z=l(1-\cos \phi )$

Als verallgemeinerte Koordinate kann man die Bogenlänge wählen:

$q=s=\phi l$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m{{\dot {q}}^{2}}\\&V=mgz=mgl(1-\cos \phi )\approx {\frac {1}{2}}mgl{{\phi }^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}^{2}}\\\end{aligned}}$

Die Entwicklung des Potenzials kann auführlich gezeigt werden.

Nun seien zwei Pendel über eine Feder der Federkonstante k gekoppelt:

Zwei gekoppelte Pendel

Hier nehmen wir für beide Pendel generalisierte Koordinaten:

${\begin{aligned}&{{q}_{1}}={{s}_{1}}={{\phi }_{1}}l\\&{{q}_{2}}={{s}_{2}}={{\phi }_{1}}l\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {q}}_{1}}^{2}+{{\dot {q}}_{2}}^{2})\\&V=mg{{z}_{1}}+mg{{z}_{2}}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=mgl(1-\cos {\frac {{q}_{1}}{l}})+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}+mgl(1-\cos {\frac {{q}_{2}}{l}})\\&V\approx {\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}\\\end{aligned}}$

Nun kann gefordert werden:

$V\approx {\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}=\sum \limits _{j,k=1}^{2}{{{V}_{jk}}{{q}_{j}}{{q}_{k}}\quad Forderung!}$

Dies läßt sich direkt über die mehrdimensionale Taylorreihe zeigen, Mit Hilfe der Multiindizes:

${\begin{aligned}&{{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}^{2}}}\right)}_{0}}={{\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{2}}^{2}}}\right)}_{0}}=m{\frac {g}{l}}+k\\&\left({\frac {{{\partial }^{2}}V}{\partial {{q}_{1}}\partial {{q}_{2}}}}\right)=mg{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}(\sin {\frac {{q}_{2}}{l}})-k{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=-k\\\end{aligned}}$

Somit läßt sich die kinetische Energie angeben:

Somit lassen sich kinetische Energie und Potenzial als Matrizen angeben:

${\begin{aligned}&{{T}_{lk}}=\left({\begin{matrix}m&0\\0&m\\\end{matrix}}\right)\\&{{V}_{lk}}=\left({\begin{matrix}m{\frac {g}{l}}+k&-k\\-k&m{\frac {g}{l}}+k\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m({{\dot {q}}_{1}}^{2}+{{\dot {q}}_{2}}^{2})\\&V\approx {\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}mgl{{\phi }_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}={\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}+{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}+{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}\\&L=T-V={\frac {1}{2}}m({{\dot {q}}_{1}}^{2}+{{\dot {q}}_{2}}^{2})-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}^{2}-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}^{2}-{\frac {1}{2}}k{{({{q}_{1}}-{{q}_{2}})}^{2}}\\\end{aligned}}$

Die Bewegungsgleichungen ergeben sich als:

${\begin{aligned}&m{{\ddot {q}}_{1}}+{\frac {g}{l}}m{{q}_{1}}+k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0\\&m{{\ddot {q}}_{2}}+{\frac {g}{l}}m{{q}_{2}}-k({{q}_{1}}-{{q}_{2}})=0\\\end{aligned}}$

Auch hier haben wir ein System gekoppelter Differenzialgleichungen.

Als Loesungsansatz wählen wir:

${{q}_{k}}={{A}_{k}}{{e}^{iwt}}$

Die resultierende Eigenwertgleichung lautet:

$\left({\begin{matrix}m{\frac {g}{l}}+k-m{{\omega }^{2}}&-k\\-k&m{\frac {g}{l}}+k-m{{\omega }^{2}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{A}_{1}}\\{{A}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=0$

Aus der charakteristischen Gleichung gewinnen wir das charakteristische Polynom

${\begin{aligned}&0=\det({{V}_{lk}}-{{\omega }^{2}}{{T}_{lk}})={{m}^{2}}\left|{\begin{matrix}{\frac {g}{l}}+{\frac {k}{m}}-{{\omega }^{2}}&-{\frac {k}{m}}\\{\frac {-k}{m}}&{\frac {g}{l}}+{\frac {k}{m}}-{{\omega }^{2}}\\\end{matrix}}\right|=0\\&0={{\omega }^{4}}-2\left({\frac {k}{m}}+{\frac {g}{l}}\right){{\omega }^{2}}+{\frac {{g}^{2}}{{l}^{2}}}+2{\frac {gk}{lm}}={{\omega }^{4}}-2\left({\frac {k}{m}}+{\frac {g}{l}}\right){{\omega }^{2}}+{{\left({\frac {g}{l}}+{\frac {k}{m}}\right)}^{2}}-{{\left({\frac {k}{m}}\right)}^{2}}\\\end{aligned}}$

${{\omega }_{1,2}}^{2}=\left({\frac {k}{m}}+{\frac {g}{l}}\right)\pm {{\left({\frac {k}{m}}\right)}^{}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {g}{l}}\\{\frac {g}{l}}+2\left({\frac {k}{m}}\right)\\\end{matrix}}\right.$

Somit kennt das System die folgenden Eigenfrequenzen:

${{\omega }_{1}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}:={{\omega }_{0}}$

ungestörte Pendelfrequenz

${{\omega }_{2}}={\sqrt {{\frac {g}{l}}+2{\frac {k}{m}}}}:={{\sqrt {{{\omega }_{0}}^{2}+2{{\tilde {\omega }}^{2}}}}_{}}$

Die zugehörigen Eigenvektoren lauten:

$\left(m{\frac {g}{l}}+k-m{{\omega }_{a}}^{2}\right){{A}_{1}}^{a}-k{{A}_{2}}^{a}=0$

Somit ergibt sich mit der ungestörten Pendelfrequenz w1:

$k{{A}_{1}}^{1}-k{{A}_{2}}^{1}=0\Rightarrow \left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{1}\\{{A}_{2}}^{1}\\\end{matrix}}\right)\propto \left({\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}}\right)$

Aus der Eigenfrequenz w2 ergibt sich:

In Normalkoordinaten gilt für die Lösung des Ortes:

${{q}_{k}}(t)={{A}_{k}}^{1}{{Q}_{1}}+{{A}_{k}}^{2}{{Q}_{2}}$

Bis auf einen konstanten Faktor.

Die Umkehrung lautet:

$\left({\begin{matrix}{{Q}_{1}}\\{{Q}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{1}&{{A}_{2}}^{1}\\{{A}_{1}}^{2}&{{A}_{2}}^{2}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\{{q}_{2}}\\\end{matrix}}\right)$

Mit der zu oben transponierten Matrix ( Umkehrung)

Die Eigenvektoren sind so zu normieren, dass:

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k,l}{{{A}_{l}}^{a}{{T}_{lk}}{{A}_{k}}^{a}=m\sum \limits _{k}{{\left|{{A}_{k}}^{a}\right|}^{2}}=1}\\&\Rightarrow \left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{1}\\{{A}_{2}}^{1}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2m}}}\left({\begin{matrix}1\\1\\\end{matrix}}\right)\\&\left({\begin{matrix}{{A}_{1}}^{2}\\{{A}_{2}}^{2}\\\end{matrix}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2m}}}\left({\begin{matrix}1\\-1\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Es folgt für die Normalkoordinaten:

${\begin{aligned}&{{Q}_{1}}={\frac {1}{\sqrt {2m}}}({{q}_{1}}+{{q}_{2}})\quad SChwerpunktskoordinaten\\&{{Q}_{2}}={\frac {1}{\sqrt {2m}}}({{q}_{1}}-{{q}_{2}})\quad \operatorname {Re} lativkoordinaten\\\end{aligned}}$

An Normalschwingungen existiert somit:

${\begin{aligned}&{{\omega }_{1}}={\sqrt {\frac {g}{l}}}\\&{{\omega }_{2}}={\sqrt {{\frac {g}{l}}+2{\frac {k}{m}}}}\\\end{aligned}}$

Dabei stellt ersteres die gleichphasige Schwerpunktsschwingung dar, letzteres repräsentiert die gegenphasige Relativschwingung.

In Realität haben wir es mit einer beliebigen Überlagerung von Schwerpunktsschwingung und Relativschwingung zu tun.

Dabei treten Überlagerungszustände als Schwebung auf.

In Realität erhält man eine reine Schwerpunktschwingung, wenn die Anfangsbedingungen reine Lösung der Schwerpunktsskoordinaten sind.

Eine Relativschwingung ergibt sich, wenn die Anfangsbedingung exakt eine Lösung der Relativkoordinaten repräsentieren.

Das Hamiltonsche Prinzip

Variationsprinzipien

Die bisher betrachteten Variationen waren differenziell. Derart wurden sie beim d´Alembertschen Prinzip angewendet.

Differenzielle Variation: $\delta {{\vec {r}}_{i}}$

Beim Hamiltonschen Prinzip dagegen wird die gesamte Bahn variiert:

${{\vec {r}}_{i}}(t)$

Hat man also eine Bahn gefunden, so variiert man diese, indem eine beliebige , gänzlich von der ersten Bahn verschiedene Bahn betrachtet wird.

Lediglich Anfangs- und Endpunkt zu den Messzeiten t1 und t2 werden festgehalten.

Skizze

Grundidee des Hamiltonschen Prinzips ist, dass die wirklich angenommene Bahn eine bestimmte Größe, nämlich die sogenannte Wirkung der Bahn , extremal macht.

Fermatsches Prinzip

Dieses Phänomen ist bei der Lichtausbreitung als Fermatsches Prinzip bekannt.

In der geometrischen Optik gibt es die Moeglichkeit, einen Lichtweg zu finden, indem das Fermatsche Prinzip berücksichtigt wird. Demnach sucht sich Licht immer den kürzesten W4eg in einer Anordnung von Spiegeln und brechenden Gläsern mit Brechungsindex n(r )

Vorsicht ! Das Licht sucht sich demnach den kürzesten Optischen Weg, also den Weg, der in der kürzesten Dauer zurückgelegt werden kann ( Das Licht bewegt sich entlang der lichtartigen Geodäten).

Sei der Brechungsindex $n({\vec {r}})={\frac {c}{{c}_{0}}}$

So gilt:

$\delta \int \limits _{1}^{2}{ds}n({\vec {r}})=0$

als Bedingung an den tatsächlich zwischen 1 und 2 angenommenen Weg.

Betrachten wir ein Teilchen im kräftefreien Fall, so gilt, dass die Bewegung auf Geodäten stattfindet. Dies sind die kürzesten Verbindungen zwischen zwei Punkten, bei Kugeln beispielsweise die Großkreise.

Gemäß der allgemeinen Relativitätstheorie verzerren Masseansammlungen den Raum derartig ( die Metrik des Raumes), dass alle Teilchenbahnen Geodäten werden. Unabhängig davon, ob Kräfte vorliegen oder nicht.

Allgemeine Aufgabe der Variationsrechnung

Sei I : C² - > R ein Funktional

Beispiel: $q(t)\to I[q]:=\int \limits _{t1}^{t2}{dt}F(q(t),{\dot {q}}(t),t)$

Die Funktion q(t) sollte zweimal stetig differenzierbar und reell sein. ( Bahnkurve mit existierender Geschwindigkeit und Beschleunigung).

Die Aufgabe lautet nun:

Suche ein q(t) derart, dass $\delta I[q]=0$

Das Funktional sollte also in q(t) extremal werden. Sprich, Maximum, Minimum oder Sattelpunkt aufweisen.

Die Variierten Bahnen

Eine Variierte Bahn ist dann eine Bahn, die zu jeder Zeit t mit t1<t<t2 ( eigentlich kleiner gleich) dem Punkt q(t) auf der reellen Bahn einen variierten Bezugspunkt q´(t) auf der variierten Bahn zuordnet.

Dabei gilt:

1. $q{\acute {\ }}(t)\in {{C}^{2}}$ Die variierten Punkte stammen auch aus quadratintegrablen komplexen Funktionen

2. $\delta q(t):=q{\acute {\ }}(t)-q(t)$ differenzielle Variation. Die Zeit wird nicht variiert.

3. $\delta t=0$

4. ${\begin{aligned}&q{\acute {\ }}({{t}_{1}})=q({{t}_{1}})\\&q{\acute {\ }}({{t}_{2}})=q({{t}_{2}})\\\end{aligned}}$

Anfangs- und Endpunkt sind fest

5. $\delta q({{t}_{1}})=\delta q({{t}_{2}})=0$

Da die Variation der Integrationsgrenzen verschwindet kann Integration und Variation vertauscht werden:

$0=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtF(q,{\dot {q}},t)}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\delta F(q,{\dot {q}},t)=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right]}}$

Die letzte Identität gilt, da die Variation nicht auf die Zeit bezogen werden muss ( Zeit wird nicht variiert).

Für die variierte Geschwindigkeit gilt:

$\delta {\dot {q}}(t):={\dot {q}}{\acute {\ }}(t)-{\dot {q}}(t)={\frac {d}{dt}}(q{\acute {\ }}(t)-q(t))={\frac {d}{dt}}\delta q$

Also folgt mit Hilfe partieller Integration

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right]}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {d}{dt}}\delta q\right]}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}\delta q-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]}+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\delta q{{\left.{}\right|}_{{t}_{1}}}^{{t}_{2}}$

Da jedoch die Variation an den Grenzen t1 und t2 verschwindet gilt:

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left[{\frac {\partial F}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}\right]\delta q}=0$

Da q jedoch völlig frei variierbar ist:

${\frac {\partial F}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {q}}}}=0$

Dies ist die verallgemeinerte Euler-Lagrange- Gleichung der Variationsrechnung

Diese Differenzialgleichung ist äquivalent zum Integralprinzip

$\delta I[q]=0$

Neben der Einführung einer bijektiven Abbildung zwischen Bahnpunkten bund variierten Punkten ergibt sich auch die leichte Möglichkeit der Ableitung durch Einführung eines Variationsparameters: $\alpha$

$q(t,\alpha )=q(t)+\alpha \eta (t)$

Die konkurrierende Funktion wird durch den Parameter $\alpha$ bei festem $\eta (t)$ parametrisiert.

Weitere Möglichkeiten sind zu finden unter „direkte Methoden der Variationsrechnung)

Exkurs zur Variationsrechnung

1. Das Extremum einer Funktion f(x) bei einer Variablen

$\delta f(x)=f(x+\delta x)-f(x)={\frac {d}{dx}}f(x)\delta x=0$ für beliebige Variationen

$\delta x\neq 0$

${\frac {d}{dx}}f(x)=0$ an x=x0 ( Nullstelle)

1. Extremum einer Funktion f(x1,x2,...,xN) mehrerer Variablen

$\delta f=f(x1+\delta x1,...)-f(x1,...)=\sum \limits _{i=1}^{N}{}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}f(x)\delta {{x}_{i}}=0$ für beliebige $\delta {{x}_{i}}\neq 0$

${\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}=0$ i=1...,N bei xi =xi0 ( Nullstellen der Funktion)

entsprechend:

3. Extremum eines Funktionals

f[x]=f[x(t)]

${\begin{aligned}&{{x}_{1}},...,{{x}_{N}}->x(t)\\&\delta {{x}_{1}},...,\delta {{x}_{N}}->\delta x(t)\\&\delta f=\sum \limits _{i=1}^{N}{{\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {\delta f}{\delta x(t)}}\delta x(t)}\\\end{aligned}}$

Mit ${\frac {\delta f}{\delta x(t)}}$ als Funktionalableitung

Beispiel : Integral als Funktional

Sei $f[x]:=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtF(x(t))}$

$\delta f=f[x(t)+\delta x(t)]-f[x(t)]=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{F(x(t)+\delta x(t))-F(x(t))\right\}}$

$=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {dF(x)}{dx}}\delta x(t)}\quad \to {\frac {dF(x)}{dx}}={\frac {\delta f}{\delta x(t)}}$

wegen 

$\delta f=\sum \limits _{i=1}^{N}{{\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}\delta {{x}_{i}}->}\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {\delta f}{\delta x(t)}}\delta x(t)}$

$\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{\frac {dF(x)}{dx}}\delta x(t)}\quad =0\ f{\ddot {u}}r\ beliebige\ \delta x(t)\ (Extremum)$

Somit folgt jedoch wegen der Beliebigkeit der variierten x:

${\frac {dF(x)}{dx}}={\frac {\delta f}{\delta x(t)}}=0$ als Funktionalgleichung zur Berechnung von x(t)

Bei Abhängigkeit von $x,{\dot {x}}$

$f[x,{\dot {x}}]=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtF(x(t),{\dot {x}}(t))}$

$\delta f=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\delta F(x,{\dot {x}})}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{{\frac {\partial F}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\delta {\dot {x}}\right\}=}\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}\right\}\delta x(t)}$

Im Extremum gilt dies wieder für beliebige Variationen $\delta x(t)$ .

Somit gewinnt man die Euler-Lagrange- Gleichung zur Berechnung von x(t):

${\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial F}{\partial {\dot {x}}}}=0$

Das Hamiltonsche Wirkungsprinzip

Voraussetzung:

• holonome ( integrable) Zwangsbed. -> Bedingung fuer Existenz generalisierter Koordinaten ( q1,..., qf)
• konservative Kräfte -> Bedingung für Existenz der Lagrangegleichung / Lagrangefunktion

$L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=T-V$

Nehmen wir nun die Lgrangegleichung als Funktional:

$F=L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=T-V$

Nun ist auch das Variationsprinzip auf mehrere Variablen zu verallgemeinern:

Die entstehende Euler- Lagrange- Gleichung entspricht einer Lagrangegleichung 2. Art

Integralprinzip entspricht dem Hamiltonschen Wirkungsprinzip

Somit erhalten wir bei Integration über die Zeit ein Wirkungsfunktional:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&W:=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}F=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L({{q}_{1}},...{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}T-V\\\end{aligned}}$

Bei Berechnung der Variation erhalten wir:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}F=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}\delta {{q}_{k}}(t)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{\frac {d}{dt}}\delta {{q}_{k}}(t)\right\}\\&\delta W=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left\{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\right\}\delta {{q}_{k}}(t)=0\\\end{aligned}}$

Da auch hier wieder völlig frei in q variiert werden kann ( gilt für beliebige $\delta {{q}_{k}}(t),k=1,...,f$ )

gilt als Lagrangegleichung 2. Art:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Beispiel: eindimensionaler Oszi

${\begin{aligned}&L=T-V={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\\&\delta W=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\delta \left\{{\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\right\}}\\\end{aligned}}$

Mit Hilfe:

$\delta {{q}^{2}}=2q\delta q$

ergibt sich:

$\delta W=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt\left\{-{\frac {d}{dt}}m{\dot {q}}-m{{\omega }^{2}}q\right\}}\delta q=0$

${\begin{aligned}&m{\ddot {q}}-m{{\omega }^{2}}q=0\\&{\ddot {q}}+{{\omega }^{2}}q=0\\\end{aligned}}$

Unterschiede zum d´Alembertschen Prinzip

Das Hamiltonsche Prinzip ist ein Integralprinzip. Das heißt, die integrierte Summe aller Variationen ist extremal, die tatsächliche Bahn ( gesamte Bahn) wird also mit einer differenziell benachbarten Bahn verglichen ).

Das Hamiltonsche Prinzip unterliegt dem teleologischen Prinzip. Es ist zweckgebunden. Der Zweck betrifft dabei die Eigenschaften der gesamten Bahn.

Außerdem ist das Hamiltonprinzip völlig unabhängig von der Koordinatenwahl.

Wirkung = Energie X Zeit

Wirkung = Impuls X Ort

Vergleiche dazu: Plancksches Wirkungsquantum !

Die Wirkung ist also quantisiert . Zwischen den Größen, die eine Wirkung best9mmen entsteht eine Unschärfe. Somit ist die Wirkung quantisiert und sucht sich in der Natur ein Minimum.

Allgemein kann man das Hamil5tonsche Wirkungsprinzip natürlich auch formulieren, wenn die Zwangsbedingungen beliebig ( nichtholonom) sind und die eingeprägten Kräfte nicht konservativ:

Seien die eingeprägten Kräfte ( nicht konservativer Art) von der Form:

${{\bar {X}}_{i}}$

So gilt mit $\delta A=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}\delta {{\bar {r}}_{i}}}$

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left(\delta T+\delta A\right)=0$

Eichtransformationen der Lagrangefunktion

Die Lgarangefunktion wird duch die Lagrangegleichung nicht eindeutig festgelegt.

Betrachten wir beispielsweise ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld:

$\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=\left({{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}\right)$

e sei die Ladung

Bewegungsgleichung:

$m{\frac {{{d}^{2}}^{}}{d{{t}^{2}}}}\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=m{\ddot {\bar {q}}}=e{\bar {E}}({\bar {q}},t)+e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}({\bar {q}},t)$

Die Lorentzkraft ist typischerweise nicht konservativ

Die Darstellung des elektrischen und magnetischen Feldes erfolgt über die Potenziale:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {q}},t)=-\nabla \Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)\\&{\bar {B}}({\bar {q}},t)=\nabla \times {\bar {A}}({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Dabei ist Phi skalar und A ein Vektorpotenzial (MKSA- System)

Ziel: Suche eine Lagrangefunktion $L(q,{\dot {q}},t)=T-V$

in der Art, dass

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0$

Die Bewegungsgleichung $m{\frac {{{d}^{2}}^{}}{d{{t}^{2}}}}\left({{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}\right)=m{\ddot {\bar {q}}}=e{\bar {E}}({\bar {q}},t)+e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}({\bar {q}},t)$ ergeben.

Ansatz:

$L(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)-\Phi ({\bar {q}},t)\right)$

Probe:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{k}}+e{{A}_{k}}\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e{\frac {d}{dt}}{{A}_{k}}({\bar {q}}(t),t)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\sum \limits _{l}{{\frac {\partial {{A}_{k}}}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}}\right)\\&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)\\\end{aligned}}$

Weiter:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=e\left[{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right]$

Somit:

${\begin{aligned}&0={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right)-e\left[{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right]\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}+e\left({\frac {\partial }{\partial t}}{{A}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\Phi \right)+e\left[-{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}\right)+\left({\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \right){{A}_{k}}\right]\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[e{\dot {\bar {q}}}\times \left(\nabla \times {\bar {A}}\right)\right]}_{k}}\\&=m{{\ddot {q}}_{k}}-e{{E}_{k}}-{{\left[e{\dot {\bar {q}}}\times {\bar {B}}\right]}_{k}}\\\end{aligned}}$

Somit erfüllt unser Ansatz die Bewegungsgleichungen

Eichtransformationen

Die Potenziale lassen sich umeichen mit Hilfe der Eichfunktion $\chi$

${\begin{aligned}&{\bar {A}}({\bar {q}},t)\to {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)={\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\\&\Phi ({\bar {q}},t)\to \Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\chi ({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Durch Eisnetzen sieht man schnell, dass sich die Felder nicht ändern:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=-\nabla \Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=-\nabla \left(\Phi ({\bar {q}},t)-{\frac {\partial }{\partial t}}\chi ({\bar {q}},t)\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\right)={\bar {E}}({\bar {q}},t)\\&{\bar {B}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\nabla \times {\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)=\nabla \times \left({\bar {A}}({\bar {q}},t)+\nabla \chi ({\bar {q}},t)\right)={\bar {B}}({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Betrachten wir die Lagrangefunktion, so ergibt sich:

${\begin{aligned}&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}{\acute {\ }}({\bar {q}},t)-\Phi {\acute {\ }}({\bar {q}},t)\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}{\bar {A}}({\bar {q}},t)+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \chi -\Phi ({\bar {q}},t)+{\dot {\chi }}\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+e\left({\dot {\chi }}+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla \chi \right){\acute {\ }}=L+{\frac {d}{dt}}\left(e\chi ({\bar {q}},t)\right)\\\end{aligned}}$

Einsetzen zeigt: L´ führt zu denselben Lagrangegleichungen wie L.

Die Eichtransformation

$L(q,{\dot {q}},t)\to L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)$

Mit einer beliebigen Eichfunktion M ( skalar) läßt die Lagrangegleichungen invariant.

Allgemein gilt:

Sei $M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ beliebig

und ${\begin{aligned}&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+\left({\dot {M}}+{\dot {\bar {q}}}\cdot \nabla M\right)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)\\&L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\\\end{aligned}}$

dann erfüllen die

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$

das hamiltonsche Prinzip

Also:

$\delta \int {L{\acute {\ }}dt=0\Leftrightarrow \delta \int {Ldt=0}}$

Das bedeutet, die Euler- Lagrangegleichungen sind invariant unter Transformationen der Art

$L(q,{\dot {q}},t)\to L{\acute {\ }}(q,{\dot {q}},t)=L+{\frac {d}{dt}}\left(M({\bar {q}},t)\right)$

mit $M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ beliebig.

Beweis:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)\\&={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}+{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {dM}{dt}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

mit

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial M}{\partial {{q}_{l}}}}{{\dot {q}}_{l}}+{\frac {\partial M}{\partial t}}}\right)={\frac {\partial M}{\partial {{q}_{k}}}}$

Einzige Nebenbedingung:

$M({\bar {q}},t)=M({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\in {{C}^{3}}$ darf nicht explizit von ${{\dot {q}}_{k}}$ abhängen.

Beispiel: eindimensionaler Oszi

$L=T-V={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}$

Beispielhafte Eichfunktion:

$M(q):={\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\Rightarrow {\frac {dM}{dt}}=m{{\omega }^{2}}q{\dot {q}}$

$L{\acute {\ }}={\frac {m}{2}}{{\dot {q}}^{2}}-{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}\left({{q}^{2}}-2q{\dot {q}}\right)$

Die Lagrangegleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{\dot {q}}_{}}}}=m{\ddot {q}}+m{{\omega }^{2}}{\dot {q}}\\&{\frac {\partial L{\acute {\ }}}{\partial {{q}_{k}}}}=-m{{\omega }^{2}}q+m{{\omega }^{2}}{\dot {q}}\\\end{aligned}}$

Es folgt als Bewegungsgleichung

${\ddot {q}}+{{\omega }^{2}}q=0$

Forminvarianz der Lagrangegleichung

Eine schwächere Form der Invarianz ( als die Eichinvarianz) ist die Forminvarianz.

Dabei gilt als Forminvarianz:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{Q}_{k}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=0$

Für welche Trnsformationen der generalisierten Koordinaten

$F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$

sind nun die Lagrangegleichungen forminvariant ?

Satz:

Sei $F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$ ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und sind

$F,{{F}^{-1}}$ beide zweimal stetig differenzierbar, dann ist

$\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$ Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion:

${\tilde {L}}({{Q}_{k}},{{\dot {Q}}_{k}},t):=L({{f}_{k}}({{Q}_{i}},t),\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}},t)$

mit

${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Diese Aussage ist äquivalent zur Aussage:

$\left\{{{q}_{k}}(t)\right\}$ sind Lösung der Lagrangegleichungen zu $L({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t)$

Beweis:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)}$ wegen

${\begin{aligned}&{{f}_{k}}({{Q}_{i}},t)={{q}_{k}}\\&\sum \limits _{i}{}{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}{{\dot {Q}}_{i}}+{\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial t}}={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Nun:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

und auf der anderen Seite:

${\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)}$

Somit:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\left({\frac {\partial {{\dot {q}}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right)\right\}}\\&=\sum \limits _{l=1}^{f}{\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\right\}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\left\{\left[{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\right)\right]-\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{l}}}}\right)\right\}}\\\end{aligned}}$

Dabei bildet

${\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$ die Transformationsmatrix, die nichtsingulär sein muss, also $\det {\frac {\partial {{q}_{l}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\neq 0$

Daher die Bedingung, dass

Sei $F:\left\{{{q}_{k}}\right\}\to \left\{{{Q}_{k}}\right\}$ ein C²- Diffeomorphismus,

also eine umkehrbare und eindeutige Abbildung und

$F,{{F}^{-1}}$ beide zweimal stetig differenzierbar.

Nur dann ist $\left\{{{Q}_{k}}(t)\right\}$ Lösung der Lagrangegleichung zur transformierten Lagrangefunktion.

Denn diese Aussage ist äquivalent zu

${\begin{aligned}&{{Q}_{i}}={{F}_{i}}({{q}_{1}},...{{q}_{f}},t)\\&{{q}_{k}}={{f}_{k}}({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}},t)\quad mit\quad \det {\frac {\partial {{f}_{k}}}{\partial {{Q}_{i}}}}\neq 0\\\end{aligned}}$

Man sagt, die Variationsableitung

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{\dot {Q}}_{k}}}}-{\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {{Q}_{k}}}}$ ist kovariant unter diffeomorphen Transformationen der generalisierten Koordinaten

Also gibt es auch unendlich viele äquivalente Sätze generalisierter Koordinaten.

Kontinuierliche Symmetrien und Erhaltungssätze

Betrachte kontinuierliche Transformationen, unter denen das physikalische System invariant ist.

In diesem Fall gibt es zu jeder kontinuierlichen Invarianz gegen infinitesimale Transformationen eine Erhaltungsgröße I ( Integral der Bewegung oder auch Konstante der Bewegung), das heißt, in diesem Fall gilt:

${\frac {dI}{dt}}=0$ entlang der Bahn der angenommenen Bewegung ( längs der Bahn).

Dies ist die allgemeine Aussage des Theorems von Emmy Noether

Das Noether Theorem

Voraussetzung: Autonomes, das heißt, nicht explizit zeitabhängiges System mit f Freiheitsgraden und einer Lagrangefunktion

$L({{q}_{1}},...,{{\dot {q}}_{1}},...,t)$

Theorem ( E.Noether, 1882-1935)

Die Lagrangefunktion $L({{q}_{1}},...,{{\dot {q}}_{1}},...,t)$ eines autonomen Systems sei unter der Transformation

${\bar {q}}\to {{h}^{s}}({\bar {q}})$ invariant. Dabei ist s ein eindimensionaler Parameter und ${{h}^{s=0}}({\bar {q}})={\bar {q}}$ die Identität.

Dann gibt es ein Integral der Bewegung

$I({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}})=\sum \limits _{i=1}^{f}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{i}})\right)}_{s=0}}}$

Beweis:

Sei ${\bar {q}}={\bar {q}}(t)$ eine Lösung der Lagrangegleichung. Dann ist auch ${\bar {q}}(s,t):={{h}^{s}}({\bar {q}},t)$ Lösung, das heißt:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}={\frac {\partial L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))}{\partial {{q}_{i}}}}$

Invarianz der Lagrangefunktion für beliebige s:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{ds}}L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d{{\dot {q}}_{i}}}{ds}}\right)}_{}}\right)=}0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}I({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}})=\sum \limits _{i=1}^{f}{{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{i}})\right)}_{s=0}}\right)=}\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{\frac {d}{dt}}{{\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)}_{}}\right)}\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}}\\&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)=\left({\frac {d{{\dot {q}}_{i}}}{ds}}\right)\\\end{aligned}}$

und mit Hilfe von

${\frac {d}{ds}}L({\bar {q}}(s,t),{\dot {\bar {q}}}(s,t))=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{q}_{i}}}}\left({\frac {d{{q}_{i}}}{ds}}\right)+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d{{\dot {q}}_{i}}}{ds}}\right)}_{}}\right)=}0$

folgt dann:

${\frac {d}{dt}}I({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}})={\frac {d}{ds}}L=0$

Räumliche Translationsinvarianz

Seien die Kräfte konservativ und seien keine Randbedingungen:

$L={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}},...,{{\bar {r}}_{N}})}$

Eine Translation in Richtung x ist damit eine Translation der Form:

${{h}^{s}}:{{\bar {r}}_{i}}{{\to }_{}}{{\bar {r}}_{i}}+s{{\bar {e}}_{x}}\quad i=1,..,N$

Der Parameter s ist dabei beliebig.

Die Translationsinvarianz entlang der x- Achse bewirkt nun:

${\begin{aligned}&L({{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}}),{{\dot {\bar {r}}}_{i}})={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}-V({{\bar {r}}_{1}}+s{{\bar {e}}_{x}},...,{{\bar {r}}_{N}}+s{{\bar {e}}_{x}})}=L({{\bar {r}}_{i}},{{\dot {\bar {r}}}_{i}})\ Forderung!\\&{\frac {dL}{ds}}=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\left({{\nabla }_{ri}}\cdot {{\bar {e}}_{x}}\right)}V=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}V=0\quad Forderung!\\\end{aligned}}$

Das bedeutet aber: es darf keine äußere Kraft in x- Richtung geben !

Für die Transformation gilt:

${{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {r}}_{i}}+s{{\bar {e}}_{x}}\quad i=1,..,N$

${{h}^{s=0}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {r}}_{i}}$ (Identität)

${\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})={{\bar {e}}_{x}}$

Für unser Integral der Bewegung gilt jedoch:

$I=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\nabla }_{{\dot {r}}i}}L{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}}}\cdot {{\bar {e}}_{x}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {x}}_{i}}}={{P}_{x}}$

Fazit: die Translationsinvarianz in x- Richtung bestimmt die Erhaltung der x-Komponente des Gesamtimpulses.

Dieser Zusammenhang ist leicht für die anderen Komponenten zu zeigen.

Dies kann auch umgekehrt betrachtet werden:

Wähle q1=s als verallgemeinerte Koordinate:

Nun gilt die Transformation:

${{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)={{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}+\Delta {{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

mit

${{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}$

als Schwerpunktskoordinate und

$\Delta {{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

als Relativpositionen.

Es folgt:

${\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}$

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}$

wegen  

${{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{k}^{}{}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{{\bar {r}}_{i}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}$

Invarianz Erhaltungssatz

${{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz	

${\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const$

Allgemein heißt ${\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}={{p}_{j}}$ der zur Koordinate qj konjugierte verallgemeinerte Impuls.

Falls gilt dass ${{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0$ , wenn also die Lagrangefunktion invariant gegen q1- Änderungen ist, dann nennt man q1 eine zyklische Koordinate. der zu q1 konjugierte Impuls ist in diesem Fall eine Erhaltungsgröße .

Hier:

${\begin{aligned}&{{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}(T-V)={\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}\left(\sum \limits _{i}{{\frac {1}{2}}{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}\right)=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}}\\&mit\quad {\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}\\&{{p}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{{\bar {e}}_{x}}}={{P}_{x}}\\\end{aligned}}$

Verallgemeinerung auf Nichtkonservative Kräfte

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}-{\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}\sum \limits _{i}{{\bar {X}}_{i}}$

Xi kennzeichnet dabei die Kraft. Nun steht rechts also die resultierende Kraft in x- Richtung. Existiert keine resultierende Kraft in x- Richtung ( Translationsinvarianz in x- Richtung), so gilt:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}-{\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {e}}_{x}}}\sum \limits _{i}{{\bar {X}}_{i}}=0$

Invarianz sagt

${\frac {\partial T}{\partial {{q}_{1}}}}={{Q}_{1}}=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0\Leftrightarrow {{P}_{x}}={\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const$

Nebenbedingung für das fehlen konservativer Kräfte ( Falls Q1 konservative Kraft ist)

${{Q}_{1}}=0\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}V({{\bar {r}}_{1}}+{{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}},...,{{\bar {r}}_{N}}+{{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}})=\sum \limits _{i}{{\nabla }_{ri}}V{\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}\left({{q}_{1}}{{\bar {e}}_{x}}\right)={{\bar {e}}_{x}}\sum \limits _{i}{{\nabla }_{ri}}V=-{{\bar {e}}_{x}}\sum \limits _{i}{{{\bar {X}}_{i}}=0}$

Beispiel: ein Teilchen im Potenzial V=V(y,z)

Das Potenzial hänge nicht von x ab: ${{\frac {\partial L}{\partial x}}_{}}=0$

Daraus folgt: ${{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}_{}}=m{\dot {x}}={{P}_{x}}=const$

In diesem Fall existiert ein Integral der Bewegung:

$I({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}})={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\bar {r}}}}}\cdot {{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}_{}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}={{P}_{x}}=const$

wegen

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\bar {r}}}}}={{\nabla }_{\dot {r}}}L\\&{{\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}_{}}={{\bar {e}}_{x}}\\\end{aligned}}$

Beispiel: 2 Teilchen mit innerer Paarwechselwirkung

$V({{\bar {r}}_{1}},{{\bar {r}}_{2}})=V({{\bar {r}}_{1}}-{{\bar {r}}_{2}})$

 Das Potenzial kann auch anisotrop sein.

Es sollen keine äußeren Kräfte wirken, so dass das Potenzial unabhängig von den Schwerpunktskoordinaten wird.

Gleichzeitig soll Translationsinvarianz entlang x-, - und z- Richtung vorliegen:

für alle i = x,y,z

Somit existieren gleich drei Integrale der Bewegung:

${\begin{aligned}&{{I}_{x}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{x}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{x}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {x}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {x}}_{2}}={{P}_{x}}=const\\&{{I}_{y}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{y}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{y}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {y}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {y}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {y}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {y}}_{2}}={{P}_{y}}=const\\&{{I}_{z}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{1}}}}{{\bar {e}}_{z}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{2}}}}{{\bar {e}}_{z}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {z}}_{1}}}}+{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {z}}_{2}}}}={{m}_{1}}{{\dot {z}}_{1}}+{{m}_{2}}{{\dot {z}}_{2}}={{P}_{z}}=const\\\end{aligned}}$

Dies ist, aufgrund des Fehlens äußerer Kräfte, gerade der Schwerpunkts- Erhaltungssatz:

$M{\dot {\bar {R}}}={{\bar {P}}_{}}=const$

Mit den Schwerpunktskoordinaten

${\bar {R}}:={\frac {1}{M}}\sum \limits _{i=1}^{2}{{{m}_{i}}{{\bar {r}}_{i}}}$

Und der Gesamtmasse

$M:=\sum \limits _{i=1}^{2}{{m}_{i}}$

Räumliche Isotropie

Nebenbedingung: konservative Kräfte, keine Zwangsbedingungen

Es erfolgt eine Drehung des Bezugssystems um den Winkel $\phi =s$ um die z- Achse.

An einer Skizze kann man sich schnell verdeutlichen:

${{h}^{s}}:{{\bar {r}}_{i}}=({{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}})\to {{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}=(x{{\acute {\ }}_{i}},y{{\acute {\ }}_{i}},z{{\acute {\ }}_{i}})$

Dabei gilt:

${\begin{aligned}&{{x}_{i}}{\acute {\ }}={{x}_{i}}\cos s+{{y}_{i}}\sin s\\&{{y}_{i}}{\acute {\ }}={{y}_{i}}\cos s-{{x}_{i}}\sin s\\&{{z}_{i}}{\acute {\ }}={{z}_{i}}\\\end{aligned}}$

Rotationsinvarianz für die Drehung um die z- Achse:

Betrachten wir infinitesimale Transformationen ( Drehungen um die z- Achse mit kleinen Winkeln $\delta \phi =\delta s$

$\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}{\acute {\ }}\\{{y}_{i}}{\acute {\ }}\\{{z}_{i}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}\cos s&\sin s&0\\-\sin s&\cos s&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)\approx \left[\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0&s&0\\-s&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)\right]\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)$

Dabei gilt die rechtsseitige Taylorentwicklung für kleine Winkel. Wir schreiben

$\left({\begin{matrix}0&s&0\\-s&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)=-s{{\bar {\bar {J}}}_{z}}$

Mit ${{\bar {\bar {J}}}_{z}}$ als Erzeugende für infinitesimale Drehungen um die z- Achse.

Somit folgt:

$\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}{\acute {\ }}\\{{y}_{i}}{\acute {\ }}\\{{z}_{i}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)+s\left({\begin{matrix}{{y}_{i}}\\-{{x}_{i}}\\0\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{{x}_{i}}\\{{y}_{i}}\\{{z}_{i}}\\\end{matrix}}\right)+s\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)$

Formal schreibt man:

${{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\left|_{s=0}\right.+s{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}+O({{s}^{2}})$

mit ${{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}$

Rotationsinvarianz der Lagrange-Funktion

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}$ ist rotationsinvariant, da nur von $\left|{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right|$ abhängig und die Drehmatrix ändert die Abstände nicht.

( Drehungen sind orthogonale Transformationen).

$L({{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{h}^{s}}\left({{\bar {r}}_{i}}\right),{{\dot {\bar {r}}}_{i}})=L({{\bar {r}}_{i}},{{\dot {\bar {r}}}_{i}})$

${{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-\sum \limits _{i=1}^{N}{\left({{\nabla }_{ri{\acute {\ }}}}V\right){{\left({\frac {d{{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}}{ds}}\right)}_{s=0}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{\bar {F}}_{i}}({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}})}}$

wegen:

${\begin{aligned}&\left({{\nabla }_{ri{\acute {\ }}}}V\right)=-{{\bar {F}}_{i}}\\&{{\left({\frac {d{{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}}{ds}}\right)}_{s=0}}={{\left({\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}\right)}_{s=0}}\\\end{aligned}}$

Als zyklische Permutation gilt dann jedoch:

${{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}={{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {F}}_{i}}\times {{\bar {r}}_{i}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}$

Mit $\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}$ als gesamtes Drehmoment und der Tatsache, dass die z-Komponente des äußeren resultierenden Drehmomentes verschwindet:

$-{{\bar {e}}_{z}}\cdot \sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {F}}_{i}}\right)}={{\left({\frac {\partial L}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=-{{\left({\frac {\partial V}{\partial s}}\right)}_{s=0}}=0$

Interpretation nach dem Noetherschen Theorem

$I({\bar {r}},{\dot {\bar {r}}})=\sum \limits _{i=1}^{N}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {\bar {r}}}_{i}}}}\cdot {{\left({\frac {d{{h}^{s}}}{ds}}\right)}_{s=0}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\cdot \left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right)}=-{{\bar {e}}_{z}}{\bar {l}}=-{{l}_{z}}$

Also: Rotationsinvarianz entspricht Drehimpulserhaltung

Andere Betrachtungsweise

Wähle ${{q}_{1}}=\phi =s$ als verallgemeinerte Koordinate

Trafo: ${{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}(\phi ,{{q}_{2}},...,{{q}_{f}},t)$

mit ${\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}={{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})\right)}_{s=0}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}$

Für infinitesimale Drehung um z-Achse.

Invarianz Erhaltungssätze

${{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{1}}}}_{}}=0\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=0$

 äquivalent zum Erhaltungssatz	

${{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}=const$

Der Winkel ist also eine zyklische Variable.

Berechnet man den verallgemeinerten konjugierten Impuls zu ${{q}_{1}}=\phi =s$ , so ergibt sich:

${{p}_{1}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}=}\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}{\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{i}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{z}}\right)}}=-{{\bar {e}}_{z}}\sum \limits _{i}{\left({{\bar {r}}_{i}}\times {{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}\right)}=-{{l}_{z}}$

wegen

${\frac {\partial }{\partial {{\dot {q}}_{1}}}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={\frac {\partial }{\partial {{q}_{1}}}}{{\bar {r}}_{i}}\ da{{\ }_{}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{k}{{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+}{\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial t}}$

Es ergibt sich also wieder die z-Komponente des Drehimpulses als verallgemeinerter Impuls.

Nebenbedingung:

Wir betrachteten hier eine passive Drehung des Korodinatensystems. Die Aktive Drehung des Koordinatensystems ist jedoch äquivalent. Das bedeutet, wir drehen aktiv alle Massenpunkte mit ${\tilde {\phi }}=-\phi$ .

Dazu gehören dann die konjugierten Impulse +lz

Beispiel:

N Teilchen mit einer inneren Paarwechselwirkung, die nur vom Abstand abhängt:

$V({{\bar {r}}_{1}},...,{{\bar {r}}_{N}})=V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)$ mit ${{r}_{ij}}=\left|{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right|$

Rotationsinvarianz gegen Drehung um alle Achsen:

${\frac {\partial V({{r}_{12}},...,{{r}_{ij}},...)}{\partial \phi }}=\sum \limits _{i,j}{{\frac {\partial V}{\partial {{r}_{ij}}}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \phi }}{{r}_{ij}}=0}$ für beliebige Achsen, da

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{r}_{ij}}={\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\right]}^{1/2}}={\frac {1}{{r}_{ij}}}\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right){\frac {\partial }{\partial \phi }}\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)={\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}-{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{j}}\right)\\&{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}\times {{\bar {e}}_{k}}\\&\Rightarrow {\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left({\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{i}}-{\frac {\partial }{\partial \phi }}{{\bar {r}}_{j}}\right)={\frac {{{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}}{{r}_{ij}}}\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\times {{\bar {e}}_{k}}\right]={\frac {1}{{r}_{ij}}}{{\bar {e}}_{k}}\left[\left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\times \left({{\bar {r}}_{i}}-{{\bar {r}}_{j}}\right)\right]=0\\\end{aligned}}$

Also ist der resultierende Drehimpuls ${\bar {l}}$ eine Erhaltungsgröße

Erzeugende der infinitesimalen Drehung um z-Achse

Die infinitesimale Drehung läßt sich schreiben als:

${{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{h}^{s}}({{\bar {r}}_{i}})=({\bar {\bar {1}}}-s{{\bar {\bar {J}}}_{z}}){{\bar {r}}_{i}}$

Mit der Erzeugenden ${{\bar {\bar {J}}}_{z}}=\left({\begin{matrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{matrix}}\right)$

Bei einer Drehung um den endlichen Winkel $\phi$ gilt:

${{\bar {r}}_{i}}{\acute {\ }}={{\bar {\bar {R}}}_{z}}(\phi ){{\bar {r}}_{i}}=\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right){{\bar {r}}_{i}}$

Es gilt:

${{\bar {\bar {R}}}_{z}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)$

mit Definition

$\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right):={\bar {\bar {1}}}+\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)+{\frac {1}{2}}{{\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}^{2}}+...+{\frac {1}{k!}}{{\left(-{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\phi \right)}^{k}}$

Beweis:

Für

${\begin{aligned}&{\bar {\bar {M}}}=\left({\begin{matrix}0&-1\\1&0\\\end{matrix}}\right)\Rightarrow {{\bar {\bar {M}}}^{2}}=-{\bar {\bar {1}}},{{\bar {\bar {M}}}^{3}}=-{\bar {\bar {M}}},{{\bar {\bar {M}}}^{4}}={\bar {\bar {1}}}\\&{{\bar {\bar {M}}}^{2n}}={{\left(-1\right)}^{n}}{\bar {\bar {1}}}\\&{{\bar {\bar {M}}}^{(2n+1)}}={{\left(-1\right)}^{n}}{\bar {\bar {M}}}\\\end{aligned}}$

Mit Hilfe der Taylorreihen für Sinus und Cosinus folgt dann:

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \\\end{matrix}}\right)={\bar {\bar {1}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {{\left(-1\right)}^{n}}{\left(2n\right)!}}{{\phi }^{2n}}-{\bar {\bar {M}}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {{\left(-1\right)}^{n}}{\left(2n+1\right)!}}{{\phi }^{2n+1}}}\\&=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{\left(2n\right)!}}{{\bar {\bar {M}}}^{2n}}{{\phi }^{2n}}-{\bar {\bar {M}}}}\sum \limits _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{\left(2n+1\right)!}}{{\bar {\bar {M}}}^{2n+1}}{{\phi }^{2n+1}}}\\&=\exp \left(-{\bar {\bar {M}}}\phi \right)\\\end{aligned}}$

Analog behandelbar ist die Drehung um die x-Achse

Erzeugende:

${{\bar {\bar {J}}}_{x}}=\left({\begin{matrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{matrix}}\right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${{\bar {\bar {R}}}_{x}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{x}}\phi \right)$

Bei der y- Achse gilt:

Erzeugende:

${{\bar {\bar {J}}}_{y}}=\left({\begin{matrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{matrix}}\right)$

Hier gewinnen wir die Drehmatrix:

${{\bar {\bar {R}}}_{y}}(\phi )=\exp \left(-{{\bar {\bar {J}}}_{y}}\phi \right)$

Beliebige Drehungen um den Winkel $\phi$ mit der Drehachse ${\bar {n}}$

${{\bar {\bar {R}}}_{}}({\bar {\phi }})=\exp \left(-\phi \sum \limits _{i=1}^{3}{}{{n}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}\right)$

mit ${\bar {\phi }}:=\phi {\bar {n}}$

Die Drehmatrizen ${{\bar {\bar {R}}}_{}}({\bar {\phi }})=\exp \left(-\phi \sum \limits _{i=1}^{3}{}{{n}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}\right)$ bilden nun eine 3- parametrige $\left({{\phi }_{1}},{{\phi }_{2}},{{\phi }_{3}}\right)$ , stetige, diffbare $\left(in\phi \right)$

und orthogonale Gruppe.

Eine solche Gruppe heißt Lie- Gruppe oder kontinuierliche Gruppe in drei reellen Dimensionen

SO(3)

$SO\left(3\right)=\left\{{\bar {\bar {R}}}:{{R}^{3}}\to {{R}^{3}}linear\left|{{\bar {\bar {R}}}^{t}}{\bar {\bar {R}}}=1\left|\det {\bar {\bar {R}}}=1\right.\right.\right\}$

Mit ${{\bar {\bar {R}}}^{t}}{\bar {\bar {R}}}=1$ als Orthogonalitätsbedingung, so dass $|{\bar {r}}{\acute {\ }}|=|{\bar {r}}|$

und 

$\det {\bar {\bar {R}}}=1$ zum Ausschluß von Raumspiegelungen.

Die Erzeugenden ${{\bar {\bar {J}}}_{i}}$ der Drehgruppe bilden eine Lie- Algebra mit dem Lieschen Produkt (=Kommutator):

$\left[{{\bar {\bar {J}}}_{i}},{{\bar {\bar {J}}}_{k}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{i}}{{\bar {\bar {J}}}_{k}}-{{\bar {\bar {J}}}_{k}}{{\bar {\bar {J}}}_{i}}$ i,k=x,y,z

Dabei vertauschen 2 Drehungen um unterschiedliche Achsen nicht. Das bedeutet, das Ergebnis hängt von der Reihenfolge ab !:

${\begin{aligned}&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{x}},{{\bar {\bar {J}}}_{y}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{z}}\\&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{z}},{{\bar {\bar {J}}}_{x}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{y}}\\&\left[{{\bar {\bar {J}}}_{y}},{{\bar {\bar {J}}}_{z}}\right]={{\bar {\bar {J}}}_{x}}\\\end{aligned}}$

-> zyklische Permutation des Lieschen Produktes

Zeitliche Translationsinvarianz

Die Zeit spielt in der klassischen Mechanik im Ggstz zur relativistischen Mechanik gegenüber dem Ort eine Sonderrolle.

Deshalb ist eine direkte Anwendung des Noether- Theorems nicht moeglich.

Zeitliche Translationsinvarianz ist erfüllt, falls:

1. die Zwangsbedingungen die Zeit t nicht explizit enthalten:

${\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\\&{\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}=0\Rightarrow {{\dot {\bar {r}}}_{i}}=\sum \limits _{j}^{}{{\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}{{\dot {q}}_{j}}_{}}\\\end{aligned}}$

Dabei ist ${\frac {\partial }{\partial {{q}_{j}}}}{{\bar {r}}_{i}}$ Funktion von q1...qf

${\frac {\partial }{\partial t}}L=0$

1. Nebenbedingung: Aus der Existenz eines Potenzials der eingeprägten Kräfte folgt NICHT automatisch die Erhaltung der Energie, da die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten könnten.

Wenn die Zwangsbedingungen die Zeit enthalten, so ist die Energie nicht enthalten.

${{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)$

Kinetische Energie:

$T={\frac {1}{2}}\sum \limits _{i}^{}{{{m}_{i}}{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}=}{\frac {1}{2}}\sum \limits _{j,k}^{}{{{T}_{jk}}{{\dot {q}}_{j}}{{\dot {q}}_{k}}}$

Mit

${{T}_{jk}}=\sum \limits _{i=1}^{N}{{{m}_{i}}\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{j}}}}\right)\left({\frac {\partial {{\bar {r}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)}$ ist abhängig von den q1...qf im Gegensatz zum Fall der kleinen Schwingungen, der eingangs behandelt wurde.

T ist eine homogene quadratische Funktion der ${{\dot {q}}_{1}}...{{\dot {q}}_{f}}$

Also $T\left(\lambda {{\dot {q}}_{1}},...,\lambda {{\dot {q}}_{f}}\right)={{\lambda }^{2}}T\left({{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}}\right)$

Nach $\lambda$ wird partiell abgelitten, dann wird $\lambda =1$ gesetzt.

${\begin{aligned}&\sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial T}{\partial \left(\lambda {{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right)\left({\frac {\partial \left(\lambda {{\dot {q}}_{k}}\right)}{\partial \lambda }}\right)}\left|_{\lambda =1}\right.=2\lambda T\left|_{\lambda =1}\right.\Leftrightarrow \sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial T}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=2T\\&\left({\frac {\partial \left(\lambda {{\dot {q}}_{k}}\right)}{\partial \lambda }}\right)={{\dot {q}}_{k}}\\\end{aligned}}$

Obere Äquivalenz ist der sogenannte Eulersche Satz

Da V unabhängig von ${{\dot {q}}_{1}}...{{\dot {q}}_{f}}$ gilt auch:

$\sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial L}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=2T$

Zur totalen Zeitableitung von L:

${\begin{aligned}&{\frac {dL}{dt}}=\sum \limits _{k}^{}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\ddot {q}}_{k}}+{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}\right)}+{\frac {\partial L}{\partial t}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\ und\ {\frac {\partial L}{\partial t}}=0\quad wegen\ 2.(oben)\\\end{aligned}}$

Somit:

${\frac {dL}{dt}}=\sum \limits _{k}^{}{\left({\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\ddot {q}}_{k}}+{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}\right)}={\frac {d}{dt}}\sum \limits _{k}^{}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}=2{\frac {dT}{dt}}}$ wegen $\sum \limits _{k=1}^{N}{\left({\frac {\partial L}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=2T$

Somit:

$0={\frac {d}{dt}}(2T-L)={\frac {d}{dt}}(T+V)\Rightarrow T+V=konst$

Zeitranslationsinvarianz bedingt also Energieerhaltung !

Oder: Skleronome Zwangsbedingungen: ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$ bedingen: E=T+V=constant

Nebenbemerkung

Die Aussage folgt auch aus dem Noether-Theorem, wenn man noch den folgenden Trick anwendet: (Scheck, Aufgabe 2.17)

Mache t zu einer q-artigen Variablen durch eine parametrisierte Darstellung: ${{q}_{k}}={{q}_{k}}(\tau ),t=t(\tau )$

Als Lagrangefunktion muss man sich definieren:

${\bar {L}}\left({{q}_{k}},t,{\frac {d{{q}_{k}}}{d\tau }},{\frac {d{{t}_{}}}{d\tau }}\right):=L\left({{q}_{k}},{\frac {1}{\left({}^{dt}\!\!\diagup \!\!{}_{d\tau }\;\right)}}{\frac {d{{q}_{k}}}{d\tau }},t,{\frac {dt}{d\tau }}\right)$

soll invariant unter Zeittranslationen sein:

${{h}^{s}}({\bar {q}},t)=({\bar {q}},t+s)$

Dann gilt:

1. Hamiltonsches Prinzip auf

${\bar {L}}$

angewandt:

$0=\delta \int \limits _{\tau 1}^{\tau 2}{}{\bar {L}}d\tau =\delta \int \limits _{t1}^{t2}{}Ldt\Leftrightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0$

2. Noethersches Theorem für ${\bar {L}}$

Integral der Bewegung I:

${\begin{aligned}&I=\sum \limits _{i=1}^{f+1}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{i}}}}{{\left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}})\right)}_{s=0}}}={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{f+1}}}}\\&mit\ \left({\frac {d}{ds}}{{h}^{s}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f+1}})\right)=\left(0,...,0,1\right)\quad f\ Nullen,1\ an\ Stelle\ f+1\ mit\ {{q}_{f+1}}=t\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&I={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial {{\dot {q}}_{f+1}}}}={\frac {\partial {\bar {L}}}{\partial \left({\frac {dt}{d\tau }}\right)}}=L+\sum \limits _{k=1}^{f}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\left(-{\frac {1}{{\left({\frac {dt}{d\tau }}\right)}^{2}}}\right){\frac {d{{q}_{k}}}{d\tau }}{\frac {dt}{d\tau }}}\\&=L-\sum \limits _{k=1}^{f}{\left({\frac {\partial L}{\partial \left({{\dot {q}}_{k}}\right)}}\right){{\dot {q}}_{k}}}=T-V-2T=-(T-V)\\\end{aligned}}$

Also Erhaltung der Energie durch zeitliche Translationsinvarianz

Das Zweikörperproblem

Hier werden die Erhaltungssätze zur Lösung der Bewegungsgleichung verwendet.

Idee:

f Freiheitsgrade -> f Differenzialgleichungen 2. Ordnung

• 2f Integrationskonstanten nötig ! ( jeweils zweifaches Integrieren). ( Anfangsbedingungen).
• Also existieren auch 2f Integrale der Bewegung

Falls alle 2f Integrale der Bewegung bekannt wären: