Der Hamiltonsche kanonische Formalismus

Der Hamiltonsche Kanonische Formalismus

Motivation

Die Lagrange- Theorie benutzt als dynamische Variablen die verallgemeinerten Koordinaten qk und deren Geschwindigkeiten:

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0\\\end{aligned}}$ k=1,..,f

Wir erhalten f DGL 2. Ordnung für qk(t) im Lagrangeformalismus

Bei gewissen Problemstellungen, wenn es beispielsweise zyklische Variablen gibt:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=const$

oder auch bei bestimmten Erweiterungen der Theorie ( Quantenmechanik, statistische Mechanik)

ist es vorteilhaft, statt qk und deren Geschwindigkeiten qk und die zu qk konjugierten Impulse zu benutzen.

Die zu den verallgemeinerten Koordinaten konjugierten Impulse lauten:

${{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}$

Die erforderliche Variablentransformation

$\left({{q}_{k}},{{\dot {q}}_{k}},t\right)\to \left({{q}_{k}},{{p}_{k}},t\right)$

leistet die sogenannte Legendre- Transformation.

Im Hamiltonformalismus ergeben sich nun 2f DGL 1. Ordnung für

qk(t) und pk(t)

Legendre- Transformation und Hamiltonfunktion

Mathematisches Problem:

Ausgehend von einer Funktion $y=f(x)$ wobei $f(x)\cong L,x\cong {{\dot {q}}_{k}}$

Soll statt x die Variable $u={\frac {d}{dx}}f(x)$

verwendet werden.

Also die Steigung von f(x) am Punkt x.

Das bedeutet, wir wollen eine Funktion, die nicht von bestimmten Koordinaten x abhängt sondern nur von der Steigung der Funktion selbst, die sie in Abhängigkeit von x an diesen Stellen hätte.

$u={\frac {d}{dx}}f(x)\Rightarrow x=\phi (u)$

Mit der Voraussetzung

${\frac {{d}^{2}}{d{{x}^{2}}}}f(x)\neq 0$ Ansonsten: $u={\frac {d}{dx}}f(x)=const.$ und damit nicht umkehrbar.

Die Substitution in f führt dann auf:

$y=f(x)=f(\phi (u)):=F(u)$

Bei dieser Trafo geht jedoch Information verloren.

Das heißt: Aus

$y=F(u)$ ist $y=f(x)$ nicht mehr eindeutig rekonstruierbar, weil alle Funktionen

$y=f(x)+a$ mit beliebigem, konstanten a wegen

$u={\frac {d}{dx}}y={\frac {d}{dx}}(f(x)+a)={\frac {df}{dx}}$

dann auf die selbe Funktion $y=F(u)$ führen:

Alle Funktionen, die die gleiche Steigung u bei x haben, führen auf das selbe F(u). $y=F(u)$ ist also nicht umkehrbar.

Auf das selbe F(u) führt jeweils die gesamte lineare Kurvenschar aller Funktionen f(x) zzgl. eines konstanten Parameters.

deshalb wird die Legendre- Transformation, eine andere, umkehrbare, Transformation, eingeführt:

${\begin{aligned}&x\to u\\&y\to z=xu-f(x)=\phi (u)u-f(\phi (u))=g(u)\\\end{aligned}}$

Statt der gerade genannten einfachen Variante

$y=f(\phi (u))$

Die Trafo

$y(x)\to g(u)$ heißt LEGENDRE- TRANSFORMATION

Graphische Veranschaulichung von $g(u)=x{\frac {df}{dx}}-f(x)$

Das bedeutet: Die ursprüngliche Funktion y=f(x) wird nach der Trafo x-> u durch die Steigung u von f(x) und den (negativen) Achsenabschnitt charakterisiert.

Da der Achsenabschnitt mit berücksichtigt ist, wird nicht mehr die gesamte Kurvenschar auf die gleiche g(u) abgebildet. Die Abbildung ist bijektiv und damit eindeutig.

Die Werte (u,-z) bestimmen die Schar der Einhüllenden von y=f(x):

Man spricht deshalb von einer Legendre - oder auch Berührungstransformation.

Anwendung auf die Lagrangefunktion

${\begin{aligned}&y\cong L\\&x\cong {\dot {q}}\\&u\cong p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\\&z\cong {\dot {q}}p-L:=H(q,p,t)\\\end{aligned}}$

Die Legendretransformierte H(q,p,t) heißt Hamiltonfunktion.

Die Variablen q und t werden nicht geändert.

Wichtig ist jedoch bei mehreren Variablen q1,...,qf:

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}\\\end{aligned}}$

Die mathematischen Voraussetzungen für diese Prozedur sind:

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\in {{C}^{2}}\\&\det {\frac {{{\partial }^{2}}L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}\partial {{\dot {q}}_{l}}}}\neq 0\\\end{aligned}}$ damit ${{p}_{k=}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}$ nach ${{\dot {q}}_{k}}$ auflösbar

Die Hamiltonschen Gleichungen

Ziel: Auch hier natürlich sollen Bewegungsgleichungen für die ${{p}_{k}},{{q}_{k}}$ gefunden werden.

Die Ableitung einer Bewegungsgleichung für ${{q}_{k}}$ aus der Lagrangegleichung 2. Art ist bereits bekannt:

Eine Variable:

Differenziale:

${\begin{aligned}&L=L(q,{\dot {q}},t):dL={\frac {\partial L}{\partial q}}dq+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&H=H(q,p,t):dH={\frac {\partial H}{\partial q}}dq+{\frac {\partial H}{\partial p}}dp+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt\\&H={\dot {q}}p-L\Rightarrow dH={\dot {q}}dp+pd{\dot {q}}-dL={\dot {q}}dp+pd{\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}dq-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}d{\dot {q}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}$

wegen

${\begin{aligned}&{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=p\\&\Rightarrow dH={\frac {\partial H}{\partial q}}dq+{\frac {\partial H}{\partial p}}dp+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt={\dot {q}}dp-{\frac {\partial L}{\partial q}}dq-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\\end{aligned}}$

Dies gilt fuer beliebige Differenziale in q, p und t. Somit kann die Gleichung nur erfüllt werden für

${\begin{aligned}&{\frac {\partial H}{\partial q}}=-{\frac {\partial L}{\partial q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Mit Hilfe der Lagrange Bewegungsgleichung

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}={\frac {\partial L}{\partial q}};{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=p;{\frac {\partial L}{\partial q}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\&\Rightarrow {\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\&{\frac {\partial H}{\partial p}}={\dot {q}}\\\end{aligned}}$

Die Hamiltonschen Gleichungen sind also beide gefunden.

Es handelt sich um 2 DGLn 1. Ordnung für q und p statt 1 DGL 2. Ordnung für q(t)

Mehrere Variablen

${\begin{aligned}&L({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}},t)\\&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}\\&\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&dH=\sum \limits _{k}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}+{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}d{{p}_{k}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt=\sum \limits _{k}{{{\dot {q}}_{k}}d{{p}_{k}}}+\sum \limits _{k}{{{p}_{k}}d{{\dot {q}}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}d{{\dot {q}}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}\\&=\sum \limits _{k}{{{\dot {q}}_{k}}d{{p}_{k}}}-\sum \limits _{k}{{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}d{{q}_{k}}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt}\\&\Rightarrow {\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}=-{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{k}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}};{\frac {\partial H}{\partial t}}=-{\frac {\partial L}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Somit folgen hier die Hamiltonschen Gleichungen (Kanonische Gleichungen)

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\\end{aligned}}$

Der 2f- dimensionale Raum

$\Gamma :=\left\{{{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{\dot {q}}_{1}},...,{{\dot {q}}_{f}}\right\}$

heißt Phasenraum.

Er findet besonders in der klassischen statistischen Mechanik Anwendung. Dabei b4trachtet man Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf dem Phasenraum.

Physikalische Bedeutung der Ham- Funktion

• wegen L= T-V bei holonomen Zwangsbed. und konservativen Kräften
• und wegen p(d/dt q)= 2T folgt: H = T+V

Dies gilt bei zeitlicher Translationsinvarianz ( skleronome Zwangsbed. ):

mit ${\frac {\partial }{\partial t}}{{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})=0und{\frac {\partial }{\partial t}}L=0$

Dann nämlich ist

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}=2T$

 ( nach dem Eulerschen Satz: T ist quadratische , homogene Funktion der 

${{\dot {q}}_{k}}$ .

Somit:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial T}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L=2T-T+V=T+V$

beschreibt die Gesamtenergie des Systems: Nur bei skleronomen Zwangsbedingungen und konservativen Kräften !

Nach dem Noether- Theorem, speziell unter dem Kapitel ZEITLICHE TRanslationsinvarianz

folgt dann Gesamtenergieerhaltung.

Dies läßt sich leicht nachweisen:

${\begin{aligned}&{\frac {dH}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}-L\right)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}{{\dot {p}}_{k}}\right)+{\frac {\partial H}{\partial t}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\&wegen{\frac {\partial L}{\partial t}}=0\\\end{aligned}}$ Dies gilt also nur für skleronome Zwangsbedingungen. Bei rheonomen Zwangsbed. ist im Allgemeinen H nicht T+V !!

Beispiel: Perle an starrem rotierendem Draht:

Eine Perle der Masse m sei auf einem starren Draht, der in der -y- Ebene rotiert ( Reibung durch Erdpotenzial zu vernachlässigen): Generalisierte Koordinaten q ist der Abstand der Perle vom Mittelpunkt:

Man kann sich H=T+V denken. Dabei gilt das effektive Potenzial mit $V=-m{{q}^{2}}{{\omega }^{2}}$ .

Aus ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$ folgt dann ohnehin wieder ein Erhaltungssatz: H=const.

Typisches Anwendungsschema des Hamilton- Formalismus:

1. Zunächst sind die generalisierten Koordinaten zu wählen:

${\bar {q}}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})$

1. Transformation des Radiusvektors

${\begin{aligned}&{{\bar {r}}_{i}}={{\bar {r}}_{i}}({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},t)\\&{{\dot {\bar {r}}}_{i}}={{\dot {\bar {r}}}_{i}}({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)\\\end{aligned}}$

1. Aufstellung der Lagrangegleichung:

$L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)=T-V={\frac {1}{2}}m\sum \limits _{i}{{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}-V$

1. Bestimmung der generalisierten Impulse:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}:={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\Rightarrow {{p}_{k}}={{p}_{k}}({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)\\&Umkehrung:{{\dot {q}}_{k}}={{\dot {q}}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\\end{aligned}}$

1. Anschließend Legendre Trafo:

$H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{{{\dot {q}}_{k}}{{p}_{k}}-L}$

1. Aufstellung und Integration der kanonischen Gleichungen:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\\end{aligned}}$

Beispiele:

Teilchen in Zylinderkoordinaten ganz ohne Zwnagsbedingungen

1. q1=3, q2=Phi, q3 = z

${\begin{aligned}&x=r\cos \phi ,{\dot {x}}={\dot {r}}\cos \phi -r{\dot {\phi }}\sin \phi \\&y=r\sin \phi ,{\dot {y}}={\dot {r}}\sin \phi +r{\dot {\phi }}\cos \phi \\&z=z\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)\\&V=V(r,\phi ,z)\\&L=L(r,\phi ,z,{\dot {r}},{\dot {\phi }},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)-V\\\end{aligned}}$

1. Generalisierte Impulse:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}\\&{{p}_{r}}=m{\dot {r}}\\&{{p}_{\phi }}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}\\&{{p}_{z}}=m{\dot {z}}\\\end{aligned}}$

                                                                                            Radialimpuls, z-Komponente des Drehimpulses und z-Komponente des Impulses

1. Aufstellung der Legendretrafo:

${\begin{aligned}&H=m{{\dot {r}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+m{{\dot {z}}^{2}}={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)+V\\&H={\frac {1}{2m}}\left({{p}_{r}}^{2}+{\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{{r}^{2}}}+{{p}_{z}}^{2}\right)+V(r,\phi ,z)\\\end{aligned}}$

1. Kanonische Gleichungen:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\&{\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{r}}}}={\frac {{p}_{r}}{m}},{\dot {\phi }}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{r}^{2}}}},{\dot {z}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{z}}}}={\frac {{p}_{z}}{m}}\\&{{\dot {p}}_{r}}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}-{\frac {\partial V}{\partial r}},{{\dot {p}}_{\phi }}=-{\frac {\partial H}{\partial \phi }}=-{\frac {\partial V}{\partial \phi }},{{\dot {p}}_{z}}=-{\frac {\partial H}{\partial z}}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}\\\end{aligned}}$

Interessant ist das Ergebnis der Zentrifugalkraft ( Scheinkraft):

F(Zentrifugal)= ${\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}$ , die den radialen Impuls ändert.

Bekannt aus dem Keplerproblem ist uns bereits der Fall V®, ein Zentralpotenzial bei ebener Bewegung:

${{\dot {p}}_{r}}=-{\frac {\partial H}{\partial r}}={\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{m{{r}^{3}}}}-{\frac {\partial V}{\partial r}},{{\dot {p}}_{\phi }}=0,{{\dot {p}}_{z}}=0$

Somit sind Drehimpuls in der Ebene und z-Impuls des Systems erhalten.

$z,\phi$ sind zyklische Variablen

${\begin{aligned}&{{p}_{z}}=const.=o.B.d.A.=0\\&{{p}_{\phi }}=const.\\\end{aligned}}$ oBdA: ebene Bewegung, Drehimpulserhaltung in der Ebene

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

Das System ist skleronom wegen ${\frac {\partial L}{\partial t}}=0$ , also folgt Energieerhaltung: E=H=T+V

${\frac {1}{2}}m\left({{\dot {q}}^{2}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}}\right)=E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {{p}^{2}}{{m}^{2}}}+{{\omega }_{o}}^{2}{{q}^{2}}\right)\Rightarrow {\frac {{p}^{2}}{2mE}}+{\frac {{q}^{2}}{\left({\frac {2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}\right)}}=1$

Also ist die Lösung der Phasenraumkurve eine Ellipse. Die Ellipsengröße variiert je nach Energie:

Die Halbachsen sind:

${\sqrt {2mE}}=a,b={\sqrt {\frac {2E}{m{{\omega }_{o}}^{2}}}}$ ( bestimmt durch 1. Integral).

Als kanonische Gleichungen ergibt sich:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=-m{{\omega }_{o}}^{2}q\\&{\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}}={\frac {p}{m}}\\\end{aligned}}$

Daraus folgt dann gerade die Bewegungsgleichung ${\begin{aligned}&{\ddot {q}}={\frac {d}{dt}}{\frac {\partial H}{\partial q}}={\frac {\dot {p}}{{\acute {\ }}m}}=-{{\omega }_{o}}^{2}q\\&{\ddot {q}}+{{\omega }_{o}}^{2}q=0\\\end{aligned}}$

Diese definiert ein Richtungsfeld im Phasenraum

Geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld:

Aus dem Kapitel Eichtransformation der Lagrangefunktion ist das nötige Handwerkszeugs bereits bekannt:

$L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)=T-V={\frac {1}{2}}m\sum \limits _{i}{{{\dot {\bar {r}}}_{i}}^{2}}-V={\frac {m}{2}}{{\dot {\bar {q}}}^{2}}+e\left({\dot {\bar {q}}}\cdot {\bar {A}}({\bar {q}},t)-\Phi ({\bar {q}},t)\right)$

die kanonischen konjugierten Impulse lauten:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial L({\bar {q}},{\dot {\bar {q}}},t)}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}=m{{\dot {q}}_{{\acute {\ }}k}}+e{{A}_{k}}({\bar {q}},t)\\&\Rightarrow {{\dot {q}}_{k}}={\frac {1}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)\\&H=\sum \limits _{k=1}^{3}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}-L=\sum \limits _{k=1}^{3}{{p}_{k}}{\frac {1}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)-{\frac {1}{2m}}\sum \limits _{k=1}^{3}{}{{\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right)}^{2}}-\sum \limits _{k=1}^{3}{}{\frac {e}{m}}\left({{p}_{k}}-e{{A}_{k}}\right){{A}_{k}}+e\Phi \\&H\left({\bar {q}},{\bar {p}},t\right)={\frac {1}{2m}}{{\left({{\bar {p}}_{}}-e{\bar {A}}{{({\bar {q}},t)}_{}}\right)}^{2}}+e\Phi ({\bar {q}},t)\\\end{aligned}}$

Dabei begegnen uns die feinen Unterschiede im Impuls, nämlich

$m{\dot {\bar {q}}}={\bar {p}}-e{\bar {A}}$ als kinetischer Impuls ( der auch tatsächlich mit der Geschwindigkeit verknüpft ist).

${{p}_{k}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{k}}}}$ ist kanonischer Impuls

Kanonische Transformationen

Wir wissen bereits, dass die Wahl der verallgemeinerten Koordinaten nicht eindeutig ist ( Kapitel 2.4: Forminvarianz der Lagrangegleichungen).

Dabei haben wir gesehen, dass die Lagrangegleichungen 2. Art forminvariant bleiben unter beliebigen diffeomorphen Transformationen der Koordinaten:

${\bar {q}}=({{q}_{1}},...,{{q}_{f}})\to {\bar {Q}}=({{Q}_{1}},...,{{Q}_{f}})$

Dabei gilt dann:

${\bar {L}}({\bar {Q}},{\dot {\bar {Q}}},t)=L({\bar {q}}({\bar {Q}},t),{\dot {\bar {q}}}({\bar {Q}},{\dot {\bar {Q}}},t),t)$

Nun kann man sich fragen, unter welchen Transformationen $({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

die Hamiltonfunktionen forminvariant sind, also:

mit ${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{\dot {q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}\\\end{aligned}}$ soll auch ${\begin{aligned}&{{\dot {P}}_{k}}=-{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\\&{{\dot {Q}}_{k}}={\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{P}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

gelten !

Nebenbemerkungen:

• die Klasse der erlaubten Transformationen muss größer sein als beim Lagrangeformalismus, da jetzt die pk neben den qk als UNABHÄNGIGE Variablen betrachtet werden, die ebenfalls und vor allem völlig unabhängig transformiert werden können.
• Die neuen Qk und Pk haben unter Umständen gar nicht mehr den Charakter von Orts- und Impulsvariablen.

In den Lagrangegleichungen der 2. Art heißt qj zyklisch, wenn:

${\frac {\partial L}{\partial {{q}_{j}}}}=0\Rightarrow {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{j}}=0\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial L}{\partial {{\dot {q}}_{j}}}}=const$

Allerdings ist damit keine Aussage über ${{\dot {q}}_{j}}$ gemacht. Diese muss natürlich weiter als Variable behandelt werden.

Hamilton-Gleichungen:

In $H({{q}_{1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{f}},t)$ heißt ${{q}_{j}}$ zyklisch, wenn

${\frac {\partial H}{\partial {{q}_{j}}}}=0\Rightarrow -{\frac {\partial L}{\partial {{q}_{j}}}}={\frac {d}{dt}}{{p}_{j}}=0\Rightarrow {{p}_{j}}:={{\alpha }_{j}}=const$

Das bedeutet nun, dass ${{q}_{j}}$ in H gar nicht auftritt. ${{p}_{j}}$ kann dagegen durch die Bewegungskonstante

${{\alpha }_{j}}$ ersetzt werden:

$H({{q}_{1}},...,{{q}_{j-1}},{{q}_{j+1}},...,{{q}_{f}},{{p}_{1}},...,{{p}_{j-1}},{{\alpha }_{j}},{{p}_{j+1}},...,{{p}_{f}},t)$

Damit jedoch hat das kanonische System nur noch f-1 Freiheitsgrade.

Idee ist es nun, die Hamiltongleichungen zu lösen, indem man Schritt für Schritt zyklische Variablen durch geeignete Trafos der $({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

einführt, bis alle 

${\bar {Q}}$ zyklisch sind:

$H=H({{P}_{1}},...,{{P}_{f}},t)$ mit ${{P}_{k}}={{\alpha }_{k}}=const.$

${\begin{aligned}&{{\dot {Q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{P}_{k}}}}=:{{v}_{k}}(t)\\&\Rightarrow {{Q}_{k}}=\int \limits _{{t}_{0}}^{t}{{{v}_{k}}(t{\acute {\ }})dt{\acute {\ }}}+{{\beta }_{k}}\\\end{aligned}}$

Insgesamt finden sich 2f Konstanten der Bewegung:

${{\alpha }_{k}},{{\beta }_{k}}$ k=1,...,f

Als Beispiel ( Vergl. Kapitel 3.5) betrachten wir das reduzierte 2-Körper-Problem in der Ebene senkrecht zum Drehimpuls l:

${\begin{aligned}&T={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {x}}^{2}}+{{\dot {y}}^{2}}+{{\dot {z}}^{2}}\right)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)\\&V=V(r)\\&L=L(r,{\dot {r}},\phi ,{\dot {\phi }},)={\frac {1}{2}}m\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)-V\\\end{aligned}}$

$\phi$ ist zyklisch: ${\frac {\partial L}{\partial \phi }}=0\Rightarrow {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}=l=cons$

Die Hamiltonschen Gleichungen lauten:

${\begin{aligned}&{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}={{\dot {q}}_{k}}\quad k=1,...,f\\&{{p}_{r}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\Rightarrow {\dot {r}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{r}}}}={\frac {{p}_{r}}{m}}\\&{{p}_{\phi }}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=m{{r}^{2}}{\dot {\phi }}\Rightarrow {\dot {\phi }}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{\phi }}}}={\frac {{p}_{\phi }}{m{{r}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&H={{p}_{r}}{\dot {r}}+{{p}_{\phi }}{\dot {\phi }}-L=m{{\dot {r}}^{2}}+m{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}-L={\frac {m}{2}}\left({{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\phi }}^{2}}\right)+V(r)\\&H={\frac {{{p}_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{{p}_{\phi }}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)\\\end{aligned}}$

${\frac {\partial H}{\partial \phi }}=0\Rightarrow {{p}_{\phi }}={{\alpha }_{\phi }}=l=cons$

Somit läßt sich die Hamiltonfunktion von f=2 auf f=1 Freiheitsgrade reduzieren:

$H={\frac {{{p}_{r}}^{2}}{2m}}+{\frac {{l}^{2}}{2m{{r}^{2}}}}+V(r)$

Definition der kanonischen Transformationen

Kanonische Transformationen sind diffeomorphe Transformationen (umkehrbar eindeutig und zweimal stetig diffbar): $({\bar {q}},{\bar {p}})\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$

$H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\to {\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)$ , die die Hamilton- Gleichungen forminvariant lassen.

Bedingung für eine kanonische Transformation:

Die Hamiltonschen Gleichungen folgen aus dem Hamiltonschen Prinzip:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\right\}\\\end{aligned}}$ (Legendre Trafo)

Ganz entsprechend muss für das System $\left({\bar {Q}},{\bar {P}},{\bar {H}}\right)$ gelten:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\right\}=0\\\end{aligned}}$

Man kann sich leicht überzeugen, dass diese beiden Forderungen äquivalent sind, falls:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)+{\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}$

Mit einer beliebigen Funktion

${{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)$ , die "Erzeugende der kanonischen Trafo" genannt wird.

M1 ist dabei eine Verallgemeinerung der Eichfunktion $M({\bar {q}},t)$ aus dem Kapitel Eichtrafo der Lagrangefunktion (2.3)

Beweis:

${\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}(t)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)\right)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}$

Es folgt dann aus

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)+{\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}$ , dass

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{p}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right){{\dot {q}}_{k}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{P}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right){{\dot {Q}}_{k}}(t)+H({\bar {q}},{\bar {p}},t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}$

Da aber ${\bar {q}}$ und ${\bar {Q}}$ unabhängige Variablen sind kann obige Gleichung nur für alle denkbaren unabhängigen Variablen erfüllt werden, falls

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{P}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\\&{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)=H({\bar {q}},{\bar {p}},t)+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Das bedeutet jedoch, dass die kanonische Transformation durch ${{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)$ eindeutig bestimmt ist:

${\begin{aligned}&{{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)}{\partial {{q}_{k}}}}\Rightarrow {{Q}_{j}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\&Bedingung:\det \left({\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}\partial {{Q}_{j}}}}\right)\neq 0\\&{{P}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}}({\bar {q}},{\bar {p}},t),t)}{\partial {{Q}_{k}}}}={{P}_{k}}({\bar {q}},{\bar {p}},t)\\\end{aligned}}$

Somit kann der Impuls durch die alten Koordinaten Ort,Impuls und zeit ausgedrückt werden und die Abhängigkeit von zeitabhängigkeiten verschwindet. ( Der Ausdruck von Q durch q, p und t ist als Umkehrung der Bestimmung von p zu sehen).

Für die gesamte Umkehrtrafo gilt: ${{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\ in\ {{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}$ liefert

${\begin{aligned}&{{q}_{k}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\ aus\ {{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&und\\&{{p}_{j}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\ aus\ {{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Äquivalenzrelation:

$\delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {q}},{\bar {p}},t)\right\}=0$ (Legendre Trafo)

$\Leftrightarrow \delta W=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}L=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}\left({\bar {Q}},{\bar {P}},t\right)\right\}=0$

Beweis:

${\begin{aligned}&\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}(t)-H({\bar {Q}},{\bar {P}},t)\right\}=0\\&\Leftrightarrow \delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)+{\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}\right\}=0\\&=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)\right\}+\delta \left\{{{M}_{1}}(q({{t}_{2}}),Q({{t}_{2}}),{{t}_{2}})-{{M}_{1}}(q({{t}_{1}}),Q({{t}_{1}}),{{t}_{1}})\right\}\\\end{aligned}}$

Dabei gelten die Relationen:

$\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{}{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)\right\}=\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\left\{\sum \limits _{k=1}^{f}{\delta }{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}(t)+{{P}_{k}}\delta {{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}\delta {{Q}_{k}}-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{P}_{k}}}}\delta {{P}_{k}}\right\}$

${\begin{aligned}&\delta \left\{{{M}_{1}}(q({{t}_{2}}),Q({{t}_{2}}),{{t}_{2}})-{{M}_{1}}(q({{t}_{1}}),Q({{t}_{1}}),{{t}_{1}})\right\}=\sum \limits _{k}{\left(\left.{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\delta {{q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}+\left.{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}\right)}\\&mit\left.\quad {\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}\delta {{q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}=0\quad und\quad \left.{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}\neq 0\\\end{aligned}}$

Außerdem:

$\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{{P}_{k}}\delta {{\dot {Q}}_{k}}(t)}=\left.{{P}_{k}}\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}-\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt{{\dot {P}}_{k}}\delta {{Q}_{k}}}$

Nebenbemerkung: Für die Variation gilt bekanntlich: $\delta {\bar {q}}({{t}_{1}})=\delta {\bar {q}}({{t}_{2}})=0$ . Jedoch sind p(t1) und p(t2) beliebig. Dadurch können sich nun insbesondere die Randbedingungen für $Q({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ ändern.

Unter Beachtung der obigen relationen gilt nun:

$0=\delta \int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dtL}=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left.\left({{P}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\delta {{Q}_{k}}\right|_{{t}_{1}}^{{t}_{2}}+\int \limits _{{t}_{1}}^{{t}_{2}}{dt}\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left\{\left({{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{P}_{k}}}}\right)\delta {{P}_{k}}-\left({{\dot {P}}_{k}}(t)+{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\delta {{Q}_{k}}\right\}$

Aus den obigen Relationen ist bekannt:

$\left({{P}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)=0$

Gleichzeitig sind jedoch Pi und Qi unabhängig und können demnach unabhängig variiert werden. Das bedeutet, dass $\delta {{P}_{k}}\quad und\quad \delta {{Q}_{k}}$ unabhängig sind.

Somit muss jeweils für sich gelten:

${\begin{aligned}&0=\left({{\dot {Q}}_{k}}(t)-{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{P}_{k}}}}\right)\\&0=\left({{\dot {P}}_{k}}(t)+{\frac {\partial {\bar {H}}({\bar {Q}},{\bar {P}},t)}{\partial {{Q}_{k}}}}\right)\\\end{aligned}}$

und es sind die Hamiltonschen Gleichungen äquivalent in den neuen Koordinaten, was zu beweisen war.

Äquivalente Formen der erzeugenden Funktion

Eine Legendre- Transformation von M1 liefert:

Aus dem vorigen Beweis ist bekannt:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{p}_{k}}{{\dot {q}}_{k}}-{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}\right)-\left(H-{\bar {H}}\right)={\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}$

Außerdem gilt:

${\frac {d}{dt}}{{M}_{1}}={\frac {d}{dt}}\left({{M}_{2}}({\bar {q}}(t),{\bar {P}}(t),t)-\sum \limits _{k}{{{P}_{k}}{{Q}_{k}}}\right)=\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{\dot {q}}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}}{{\dot {P}}_{k}}-{{\dot {P}}_{k}}{{Q}_{k}}-{{P}_{k}}{{\dot {Q}}_{k}}\right)+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial t}}$

So dass folgt:

$\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({{p}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right){{\dot {q}}_{k}}+\left({{Q}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}}\right){{\dot {P}}_{k}}+({{P}_{k}}-{{P}_{k}}){{\dot {Q}}_{k}}=\left(H-{\bar {H}}\right)+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial t}}$

Da dies für beliebige ${{\dot {q}}_{k}},{{\dot {P}}_{k}}$ gilt, kann die Summe nur allgemein identisch sein, wenn gilt:

${\begin{aligned}&\left({{p}_{k}}-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}\right)=0\Rightarrow {{p}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{k}}}}\\&{{Q}_{k}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}}}\\&{\bar {H}}=H+{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Analog kann gezeigt werden, dass für

${{M}_{3}}({\bar {p}},{\bar {Q}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{k=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{q}_{k}}$

Hier folgt ( Übungsaufgabe):

${\begin{aligned}&\left({{q}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}}}\right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{k}}}}\\&{{P}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{Q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

oder

${{M}_{4}}({\bar {p}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{k=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{k}}}}{{q}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}}}{{Q}_{k}}\right)$

${\begin{aligned}&\Rightarrow \left({{q}_{k}}+{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{k}}}}\right)=0\Rightarrow {{q}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{k}}}}\\&{{Q}_{k}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{P}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Beispiele für kanonische Transformationen

Erzeugende sei:

${\begin{aligned}&{{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)=\sum \limits _{j=1}^{f}{}{{q}_{j}}{{Q}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}=-{{Q}_{j}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\left({\bar {q}},{\bar {p}}\right)\to \left({\bar {P}},-{\bar {Q}}\right)\\\end{aligned}}$

Bei dieser Trafo werden also Ort und Impuls vertauscht.

Beispiel 2:

${\begin{aligned}&{{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)=\sum \limits _{j=1}^{f}{}{{q}_{j}}{{P}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}}}={{P}_{j}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\left({\bar {q}},{\bar {p}}\right)\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist also die identische Transformation

Beispiel: Harmonischer Oszillator:

${\begin{aligned}&H={\frac {{p}^{2}}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}}{2}}{{q}^{2}}\\&{{M}_{1}}(q,Q)={\frac {m\omega }{2}}{{q}^{2}}\cot Q\\&\Rightarrow p={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial q}}=m\omega q\cot Q\\&P=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial Q}}={\frac {m\omega }{2}}{\frac {{q}^{2}}{{{\sin }^{2}}Q}}\\&q={{\left({\frac {2}{m\omega }}P\right)}^{\frac {1}{2}}}\sin Q\\&p={{\left(2m\omega P\right)}^{\frac {1}{2}}}\cos Q\\&\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&H={\bar {H}}\quad \left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial t}}\right)=0\\&H={\frac {2m\omega P{{\cos }^{2}}Q}{2m}}+{\frac {m{{\omega }^{2}}2P}{2m\omega }}{{\sin }^{2}}Q=\omega P\\\end{aligned}}$

Die Variable Q ist also zyklisch.

${\begin{aligned}&{\dot {P}}=-{\frac {\partial H}{\partial Q}}=0\Rightarrow P=\alpha =const\\&{\dot {Q}}={\frac {\partial H}{\partial P}}=\omega \Rightarrow Q=\omega t+\beta \\\end{aligned}}$

Somit kann q(t) durch Integration ( 2 Integrationskonstanten !!) gefunden werden:

$q(t)={{\left({\frac {2\alpha }{m\omega }}\right)}^{\frac {1}{2}}}\sin \left(\omega t+\beta \right)$

Dabei beschreibt $\alpha$ die Amplitude und $\beta$ die Phase.

Symplektische Struktur des Phasenraums

Da die kanonischen Transformationen generalisierte Koordinaten und Impulse ineinander transformieren können, sollten q und p nicht gegeneinander ausgezeichnet sein. Um diese Symmetrie des kanonischen Formalismus auszuzeichnen, wird eine neue Notation eingeführt.

Sei zunächst f= 1

${\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}q\\p\\\end{matrix}}\right)$ ist Vektor im Phasenraum

${{H}_{,}}_{x}:=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)$ ist Ableitungsvektor

$J:=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)$ ist Metrik im Phasenraum ( metrischer Tensor)

In diesem Fall lassen sich die kanonischen Gleichungen vereinfacht schreiben als:

${\dot {\bar {x}}}:=J{{H}_{,x}}\Leftrightarrow -J{\dot {\bar {x}}}={{H}_{,x}}\Leftrightarrow {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},{\dot {p}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$

Leicht läßt sich zeigen:

${\begin{aligned}&{{J}^{2}}=-1\\&{{J}^{-1}}={{J}^{T}}=-J\\\end{aligned}}$

Verallgemeinerung auf mehr Freiheitsgrade

${\begin{aligned}&{\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\...\\{{q}_{f}}\\{{p}_{1}}\\...\\{{p}_{f}}\\\end{matrix}}\right)\\&{{\bar {H}}_{x}}:=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{1}}}}\\...\\{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{f}}}}\\{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{1}}}}\\...\\{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{f}}}}\\\end{matrix}}\right)\quad \quad J:=\left({\begin{matrix}0&{{1}_{f}}\\-{{1}_{f}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die kanonischen Gleichungen lauten

${\dot {\bar {x}}}:=J{{H}_{x}}\Leftrightarrow -J{\dot {\bar {x}}}={{H}_{x}}$

Beispiel ist ein lineares autonomes System in einer Dimension, also der verallgemeinerte eindimensionale harmonische Oszillator:

${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{H}_{x}}$

Diese Gleichung ist abzuleiten aus der Hamiltonfunktion:

$H={\frac {1}{2}}\left(a{{q}^{2}}+2bqp+c{{p}^{2}}\right)\quad z.\mathbf {B} .a={{\omega }_{0}}^{2},b=0,c=1$

$\Rightarrow {\dot {\bar {x}}}:=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial q}}\\{\frac {\partial H}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)={\begin{matrix}bq+cp\\-aq-bp\\\end{matrix}}$

Somit ergibt sich eine Einschränkung an die Matrix A:

${\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}b&c\\-a&-b\\\end{matrix}}\right)\\&tr\left(A\right)=0\\\end{aligned}}$

Dies gilt für Hamiltonsche Systeme ! ( Einschränkung an die Dynamik im Phasenraum)

Kanonische Transformationen in kompakter Notation

Aus den 4 Äquivalenten Formen der Erzeugenden für kanonische Transformationen folgt:

${\begin{aligned}&{{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t):\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{p}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}=-{\frac {\partial {{P}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{2}}({\bar {q}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}{{Q}_{j}}\\&\Rightarrow {{p}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{2}}}{\partial {{P}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{p}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{2}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{q}_{j}}}}={\frac {\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{q}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{3}}({\bar {p}},{\bar {Q}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{q}_{j}}\\&\Rightarrow {{q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\&{{P}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{j}}}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{q}_{j}}}{\partial {{Q}_{k}}}}=-{\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{3}}}{\partial {{Q}_{k}}\partial {{p}_{j}}}}={\frac {\partial {{P}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{{M}_{4}}({\bar {p}},{\bar {P}},t)={{M}_{1}}({\bar {q}},{\bar {Q}},t)-\sum \limits _{j=1}^{f}{}\left({\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{Q}_{j}}}}{{Q}_{j}}+{\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{q}_{j}}}}{{q}_{j}}\right)\\&\Rightarrow {{q}_{j}}=-{\frac {\partial {{M}_{4}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\&{{Q}_{j}}={\frac {\partial {{M}_{1}}}{\partial {{P}_{j}}}}={{q}_{j}}\\&\Rightarrow {\frac {\partial {{q}_{j}}}{\partial {{P}_{k}}}}={\frac {{{\partial }^{2}}{{M}_{1}}}{\partial {{P}_{k}}\partial {{p}_{j}}}}=-{\frac {\partial {{Q}_{k}}}{\partial {{p}_{j}}}}\\\end{aligned}}$

Dabei sind:

${\bar {x}}:=\left({\begin{matrix}{{q}_{1}}\\...\\{{q}_{f}}\\{{p}_{1}}\\...\\{{p}_{f}}\\\end{matrix}}\right)\quad \quad {\bar {y}}:=\left({\begin{matrix}{{Q}_{1}}\\...\\{{Q}_{f}}\\{{P}_{1}}\\...\\{{P}_{f}}\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&{{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}}\\&{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\alpha \beta }}:={\frac {\partial {{y}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}\quad \quad \alpha ,\beta =1,...,2f\\\end{aligned}}$

Beweis:

$\sum \limits _{\gamma =1}^{2f}{}{{M}_{\alpha \gamma }}{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\gamma \beta }}=\sum \limits _{\gamma =1}^{2f}{}{\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\gamma }}}}{\frac {\partial {{y}_{\gamma }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}={{\delta }_{\alpha \beta }}$

Damit läßt sich eine einheitliche Schreibweise finden für die Relationen aller Erzeugenden:

${{M}_{\alpha \beta }}=\sum \limits _{\mu ,\nu =1}^{2f}{{{J}_{\alpha \mu }}{{J}_{\beta \nu }}{{\left({{M}^{-1}}\right)}_{\mu \nu }}}$

Beweis:

In Matrixform lautet diese Gleichung:

$M=J{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}$

Die linke Seite (M) lautet:

$M=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial q}{\partial Q}}&{\frac {\partial q}{\partial P}}\\{\frac {\partial p}{\partial Q}}&{\frac {\partial p}{\partial P}}\\\end{matrix}}\right)$

Die rechte Seite lautet:

${\begin{aligned}&J{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right){{\left[\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial Q}{\partial q}}&{\frac {\partial Q}{\partial p}}\\{\frac {\partial P}{\partial q}}&{\frac {\partial P}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)\right]}^{T}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right){{\left({\begin{matrix}{\frac {\partial P}{\partial q}}&{\frac {\partial P}{\partial p}}\\-{\frac {\partial Q}{\partial q}}&-{\frac {\partial Q}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)}^{T}}\\&=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right){{\left({\begin{matrix}{{\left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)}^{T}}&-{{\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)}^{T}}\\{{\left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)}^{T}}&-{{\left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)}^{T}}\\\end{matrix}}\right)}^{}}=\left({\begin{matrix}{{\left({\frac {\partial P}{\partial p}}\right)}^{T}}&-{{\left({\frac {\partial Q}{\partial p}}\right)}^{T}}\\-{{\left({\frac {\partial P}{\partial q}}\right)}^{T}}&{{\left({\frac {\partial Q}{\partial q}}\right)}^{T}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die Matrixform für die Erzeugenden läßt sich folgendermaßen äquivalent umformen:

${\begin{aligned}&M=J{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}\\&\Rightarrow JM=-{{\left(J{{M}^{-1}}\right)}^{T}}=-{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{J}^{T}}\\&\Rightarrow {{M}^{T}}JM=-{{M}^{T}}{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{\left({{M}^{-1}}M\right)}^{T}}{{J}^{T}}=-{{J}^{T}}=J\\&{{M}^{T}}JM=J\\\end{aligned}}$

Dabei ist J der metrische Tensor und M die Matrix der 2. Ableitungen der Erzeugenden der kanonischen Transformation, also die Jacobi- Matrix für die Erzeugenden der kanonischen Trafo.

Dies bedeutet jedoch nichts anderes als: Die Metrik im Phasenraum ist invariant unter kanonischen Transformationen !

J definiert dabei eine Metrik über das verallgemeinerte schiefsymmetrische Skalarprodukt:

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right):={{\bar {x}}^{T}}J{\bar {y}}=\sum \limits _{i,k=1}^{2f}{{{x}_{i}}{{J}_{ik}}{{y}_{k}}}$

es handelt sich dabei um eine schiefsymmetrische, nichtentartete Bilinearform

Eigenschaften:

1. Schiefsymmetrie:

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)=-\left({\bar {y}},{\bar {x}}\right)$ , Beweis: $\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)={{\bar {x}}^{T}}J{\bar {y}}={{\left({{\bar {y}}^{T}}{{J}^{T}}{\bar {x}}\right)}^{T}}=-{{\bar {y}}^{T}}{{J}^{}}{\bar {x}}=-\left({\bar {y}},{\bar {x}}\right)$

1. bilinear:

$\left({\bar {x}},{{\lambda }_{1}}{{\bar {y}}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{\bar {y}}_{2}}\right)={{\lambda }_{1}}\left({\bar {x}},{{\bar {y}}_{1}}\right)+{{\lambda }_{2}}\left({\bar {x}},{{\bar {y}}_{2}}\right)$

1. nichtentartet:

$\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)=0\forall {\bar {y}}\Rightarrow {\bar {x}}=0$

Nebenbemerkung: Es gilt: $\left({\bar {x}},{\bar {x}}\right)=0\forall {\bar {x}}$

Also Selbstorthogonalität

Beweis: ${{\bar {x}}^{T}}J{\bar {x}}=\left({\begin{matrix}q&p\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}q\\p\\\end{matrix}}\right)=qp-pq=0$

Die Symplektische Struktur auf dem ${{R}^{2f}}$ ist von einer euklidischen Metrik grundsätzlich zu unterscheiden:

${{\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)}_{Eu}}=\sum \limits _{i}{{{x}_{i}}{{y}_{i}}=}{{\bar {x}}^{T}}g{\bar {y}}$

Mit dem metrischen Tensor g, einer 2fx2f dimensionalen Einheitsmatrix !

Im Euklidischen gelten jedoch die Relationen:

${\begin{aligned}&\left({\bar {x}},{\bar {y}}\right)=\left({\bar {y}},{\bar {x}}\right)\\&\left({\bar {x}},{\bar {x}}\right)\geq 0\\\end{aligned}}$

Definition:

Die Menge der Matrizen M ( kanonische Trafo) mit

${{M}^{T}}JM=J$ bildet die reelle symplektische Gruppe S über ${{R}^{2f}}$ .

Dies ist die Symmetriegruppe der symplektischen Struktur.

Gruppeneigenschaften

1. ${{M}_{1}},{{M}_{2}}\in S\Rightarrow {{M}_{3}}={{M}_{1}}{{M}_{2}}\in S$

Beweis: ${{M}_{3}}^{T}J{{M}_{3}}={{\left({{M}_{1}}{{M}_{2}}\right)}^{T}}J\left({{M}_{1}}{{M}_{2}}\right)={{M}_{2}}^{T}{{M}_{1}}^{T}J{{M}_{1}}{{M}_{2}}={{M}_{2}}^{T}J{{M}_{2}}=J$

2. Assoziativität ( matrixmultiplikation !)

3. Einselement Einheitsmatrix !

1. Inverse:

${{M}^{-1}}:={{J}^{-1}}{{M}^{T}}J$

Beweis: ${{M}^{-1}}M=\left({{J}^{-1}}{{M}^{T}}J\right)M={{J}^{-1}}\left({{M}^{T}}JM\right)={{J}^{-1}}J=1$

Dabei gilt : ${{M}^{T}},J\in S$ Beweis: Übungsaufgabe

1. Weiter gilt:

$\det M=1$ Beweis: Übungsaufgabe oder Scheck, S. 102

Fazit:

Die Invarianz der kanonischen Gleichungen ${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{\bar {H}}_{,x}}$ kann durch di symplektische Struktur des Phasenraums beschrieben werden:

${\begin{aligned}&{{\dot {y}}_{i}}=\sum \limits _{k}^{}{{\frac {\partial {{y}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}{{\dot {x}}_{k}}}\Leftrightarrow {\dot {\bar {y}}}={{M}^{-1}}{\dot {\bar {x}}}=\left({{J}^{-1}}{{M}^{T}}J\right)J{{\bar {H}}_{,x}}\\&{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{i}}}}=\sum \limits _{k}^{}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{x}_{k}}}}{\frac {\partial {{x}_{k}}}{\partial {{y}_{i}}}}\Leftrightarrow {{\bar {H}}_{,y}}={{M}^{T}}{{\bar {H}}_{,x}}}\\&\Rightarrow {\dot {\bar {y}}}=\left({{J}^{-1}}{{M}^{T}}J\right)J{{\left({{M}^{T}}\right)}^{-1}}{{\bar {H}}_{,y}}=-J\left(-1\right){{M}^{T}}{{\left({{M}^{T}}\right)}^{-1}}{{\bar {H}}_{,y}}=J{{\bar {H}}_{,y}}\\\end{aligned}}$

Der Satz von Liouville

Lösung der Differenzialgleichung ${\dot {\bar {x}}}:=A{\bar {x}}=J{{\bar {H}}_{,x}}$

${\bar {x}}\left(t,{{t}_{0}},{{\bar {x}}_{0}}\right)=:{{\bar {\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})$ Definition: Fluß im Phasenraum

to und xo beschreibt die Anfangskonfiguration und Phi den Fluß.

Der Fluß beschreibt dabei die Zeitentwicklung der Anfangskonfiguration:

${\begin{aligned}&{{\bar {\Phi }}_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}}):\Gamma \to \Gamma \\&{{\bar {x}}_{0}}({{t}_{0}})\to {\bar {x}}(t)\\\end{aligned}}$

Dies entspricht einer Kurvenschar, die durch die Zeit parametrisiert ist:

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi:

${\begin{aligned}&\left(q,p\right)\in \Gamma \\&{\dot {q}}=p\\&{\dot {p}}=-{{\omega }_{0}}^{2}q\\&{\dot {\bar {x}}}=A{\bar {x}}\\&A=\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Die Lösung lautet:

${\bar {x}}(t)={{\bar {\Phi }}_{t-{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})=\exp \left[\left(t-{{t}_{0}}\right)A\right]{{\bar {x}}_{0}}$

Dies ist also gerade das Exponenzial der Matrix.

Aufschluss liefert eine Reihenentwicklung:

${\begin{aligned}&{\bar {x}}(t)=\sum \limits _{n}{}{\frac {{\left[\left(t-{{t}_{0}}\right)A\right]}^{n}}{n!}}{{\bar {x}}_{0}}=\left[1\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{\frac {A}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\right]{{\bar {x}}_{0}}\\&=\left({\begin{matrix}\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&{\frac {1}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\\end{matrix}}\right){{\bar {x}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Beweis:

${\begin{aligned}&{{A}^{2}}=\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-{{\omega }_{0}}^{2}&0\\\end{matrix}}\right)=-{{\omega }_{0}}^{2}1\\&{{A}^{2n}}={{(-1)}^{2n}}{{\omega }_{0}}^{2n}1\\&{{A}^{2n+1}}={{(-1)}^{n}}{{\omega }_{0}}^{2n+1}{\frac {1}{{\omega }_{0}}}A\\\end{aligned}}$

Als Ergebnis erhalten wir, dass alle Phasenpunkte mit gleicher, konstanter Winkelgeschwindigkeit wo, rotieren: Ein Ensemble von Anfangskonfigurationen Uto läuft zum Zeitpunkt Ut insbesondere nicht auseinander.

Das bedeutet, das Gebiet Uto wandert ohne Änderung der Form und Orientierung um den Nullpunkt:

Man erhält als markantes Ergebnis, dass das Phasenvolumen bei der Zeitentwicklung erhalten ist. Im Allgemeinen ändert sich zwar die Form, stets gilt jedoch der Liouvillesche Satz:

Bei der Hamiltonschen Zeitentwicklung ist das Phasenvolumen erhalten ( auch seine Orientierung). Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei.

Beweis ( integrale Form):

Gegeben sei eine Menge von Anfangskonfigurationen (to), die das Phasenraumgebiet Uto mit dem Volumen Vto ausfüllen:

${{V}_{to}}=\int \limits _{{U}_{to}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}$ Bei t: ${{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {{x}_{0}}}}\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)$

Mit der Jacobi- Matrix:

${{\left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)}_{ik}}:={\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}={\frac {\partial {{x}^{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}$

Dies kann für Zeiten nahe t0 reihenentwickelt werden:

${\begin{aligned}&{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})={{\bar {x}}_{0}}+{\bar {F}}({{\bar {x}}_{0}},t)(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\\&{\bar {F}}({{\bar {x}}_{0}},t)=J{{\bar {H}}_{,x}}=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial H}{\partial p}}\\-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Somit folgt:

${\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}={{\delta }_{ik}}+{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})$

Mit Hilfe $\det \left(1+B\varepsilon \right)=1+\varepsilon tr(B)+O({{\varepsilon }^{2}})$ folgt:

${\begin{aligned}&\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=\left|{\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}\right|=1+(t-{{t}_{0}})\sum \limits _{i=1}^{2f}{}{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}(t-{{t}_{0}})+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\\&\sum \limits _{i=1}^{2f}{}{\frac {\partial {{\bar {F}}^{i}}({{\bar {x}}_{0}},t)}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}=div{\bar {F}}={\frac {\partial }{\partial q}}{\frac {\partial H}{\partial p}}-{\frac {\partial }{\partial p}}{\frac {\partial H}{\partial q}}=0\\\end{aligned}}$

Der Fluß im Phasenraum ist also divergenzfrei. Dann folgt jedoch für die Jacobideterminante:

$\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=\left|{\frac {\partial {{\Phi }^{i}}_{t,{{t}_{0}}}({{\bar {x}}_{0}})}{\partial {{x}_{0}}^{k}}}\right|=1+O({{(t-{{t}_{0}})}^{2}})\cong 1$

$\Rightarrow {{V}_{t}}=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}({{\bar {x}}_{0}})\right)=\int \limits _{{U}_{{t}_{0}}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left(1+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}}\right)\cong {{V}_{t0}}$

Nebenbemerkung:

Der Satz von Liouville kann auch in der LOKALEN Form formuliert werden:

Für den Fluß ${{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}$ zu ${\dot {\bar {x}}}:=J{{\bar {H}}_{,x}}$ ist $D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}$ eine symplektische Matrix, das heißt $\det \left(D{{\Phi }_{t,{{t}_{0}}}}\right)=1$ .

Das bedeutet, das Volumenelement $d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}$ im Phasenraum ist unter dem Fluß invariant:

$d{{x}^{1}}...d{{x}^{2f}}=Det(D\Phi )d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}=d{{x}_{0}}^{1}....d{{x}_{0}}^{2f}$

Beispiel: eindimensionaler harmonischer Oszi

${\begin{aligned}&{{x}^{i}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{2}{{{P}_{ik}}{{x}_{0}}^{k}}\\&P=\left({\begin{matrix}\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&{\frac {1}{{\omega }_{0}}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\-{{\omega }_{0}}\sin {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})&\cos {{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})\\\end{matrix}}\right)\\&\det P={{\cos }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})+{{\sin }^{2}}{{\omega }_{0}}(t-{{t}_{0}})=1\\&d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}=(\det P)d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}=d{{x}_{0}}^{1}d{{x}_{0}}^{2}\\\end{aligned}}$

Poisson- Klammern

Jede Observable läßt sich in der klassischen Mechanik als Funktion von Ort, Impuls und Zeit darstellen:

$Observable=g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$

Die zeitliche Änderung längs der Bahn ${\bar {q}}(t),{\bar {p}}(t)$ im Phasenraum $\Gamma$

${\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}$

Definition:

Für zwei beliebige Observablen $g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ und $f({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ heißt

$\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial f}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}=:\left\{g,f\right\}$

Poisson- Klammer

Eigenschaften

1. die Poissonklammer ist eine schiefsymmetrische nicht entartete Bilinearform. Das bedeutet jedoch, sie definiert ein symplektisches Skalarprodukt im Phasenraum:

$\left\{g,f\right\}=\left({{\bar {f}}_{x}},{{\bar {g}}_{x}}\right)={{\bar {f}}_{x}}^{T}J{{\bar {g}}_{x}}=\sum \limits _{i,k=1}^{f}{\left({\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ik}}{\frac {\partial g}{\partial {{x}_{k}}}}\right)}=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial q}}&{\frac {\partial f}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial g}{\partial q}}\\{\frac {\partial g}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {\partial f}{\partial q}}&{\frac {\partial f}{\partial p}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{\frac {\partial g}{\partial p}}\\-{\frac {\partial g}{\partial q}}\\\end{matrix}}\right)$ Aufgrund der schiefsymmetrischen Struktur und der Bilinearität sowie der Nichtentartung und der daraus folgenden Selbstorthogonalität gilt:

1.Schiefsymmetrie: $\left\{f,g\right\}=-\left\{g,f\right\}$

2.bilinear: $\left\{f,{{\lambda }_{1}}{{g}_{1}}+{{\lambda }_{2}}{{g}_{2}}\right\}={{\lambda }_{1}}\left\{f,{{g}_{1}}\right\}+{{\lambda }_{2}}\left\{f,{{g}_{2}}\right\}$

3.nichtentartet: $\left(f,g\right)=0\forall g\Rightarrow f=const.$ (Nullelement, wegen ${{\bar {f}}_{,x}}=0$ )

Nebenbemerkung: Es gilt: $\left\{f,f\right\}=0\forall f$

Also Selbstorthogonalität

Weiter gilt die Produktregel ( Leibnizregel): $\left\{f,gh\right\}=g\left\{f,h\right\}+\left\{f,g\right\}h$

Die Jacobi- Identität: $\left\{f,\left\{g,h\right\}\right\}=\left\{\left\{f,g\right\},h\right\}+\left\{g,\left\{f,h\right\}\right\}$

Weiter gilt: ${\frac {\partial g}{\partial {{q}_{k}}}}=\left\{g,{{p}_{k}}\right\}\quad \quad {\frac {\partial g}{\partial {{p}_{k}}}}=-\left\{g,{{q}_{k}}\right\}$

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen:

Beweis: Trafo: x->y

Die Jacobi- Determinante ${{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{y}_{\beta }}}}$ ist symplektische Matrix,

das heißt , es gilt: ${{M}^{T}}JM=J\Leftrightarrow {{M}^{-1}}J{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}=J$ , da ja ${{M}^{-1}}J{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}={{J}^{-1}}{{M}^{T}}JJ{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}{{M}^{T}}{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}=-{{J}^{-1}}=J$

Nun muss man umrechnen von :

${\begin{aligned}&{\frac {\partial f}{\partial {{x}_{i}}}}=\sum \limits _{k}{{\frac {\partial f}{\partial {{y}_{k}}}}{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}=}\sum \limits _{k}{{{M}_{ki}}^{-1}{\frac {\partial f}{\partial {{y}_{k}}}}\Leftrightarrow {{\bar {f}}_{x}}={{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{\bar {f}}_{y}}\Leftrightarrow {{\bar {f}}_{x}}^{T}={{\bar {f}}_{y}}^{T}\left({{M}^{-1}}\right)}\\&{{\bar {f}}_{x}}^{T}J{{\bar {g}}_{x}}={{\bar {f}}_{y}}^{T}\left({{M}^{-1}}\right)J{{\left({{M}^{-1}}\right)}^{T}}{{\bar {g}}_{y}}={{\bar {f}}_{y}}^{T}J{{\bar {g}}_{y}}\\\end{aligned}}$

Also:

$\left({{\bar {f}}_{x}},{{\bar {g}}_{x}}\right)=\left({{\bar {f}}_{y}},{{\bar {g}}_{y}}\right)$

Für nicht explizit zeitabhängige Observable $g({\bar {q}},{\bar {p}})$ gilt:

${\frac {dg}{dt}}=\left\{g,H\right\}$

g ist genau dann Bewegungskonstante, wenn gilt:

$\left\{g,H\right\}=0$

Speziallfall: g ist Koordinate der Impuls: $g={{q}_{k}},g={{p}_{k}}$

${\begin{aligned}&{{\dot {q}}_{k}}=\left\{{{q}_{k}},H\right\}\\&{{\dot {p}}_{k}}=\left\{{{p}_{k}},H\right\}\\\end{aligned}}$

So folgen die Hamiltonschen Gleichungen

Kompakt kann geschrieben werden:

${\begin{aligned}&{{\dot {x}}_{k}}=\left\{{{x}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}\\&also:{\dot {\bar {x}}}=J{{\bar {H}}_{,x}}\\\end{aligned}}$

Fundamentale Poisson- Klammern:

${\begin{aligned}&\left\{{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Kompakt:

$\left\{{{x}_{k}},{{x}_{j}}\right\}=\sum \limits _{l,m}{{\frac {\partial {{x}_{k}}}{\partial {{x}_{l}}}}{{J}_{lm}}{\frac {\partial {{x}_{j}}}{\partial {{x}_{m}}}}={{J}_{kj}}\cong \left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)}$

Die Poissonklammer ist invariant unter kanonischen Transformationen, da

${{M}^{T}}JM=J$

Jedoch ist auch die Umkehrung richtig: ist die Transformation kanonisch, so gelten die obigen Poissonklammer- Beziehungen.

Somit:

Satz: Die Transformation $\left({\bar {q}},{\bar {p}}\right)\to \left({\bar {Q}},{\bar {P}}\right)$ ist genau dann kanonisch, wenn :

${\begin{aligned}&\left\{{{Q}_{k}},{{Q}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{P}_{k}},{{P}_{j}}\right\}=0\\&\left\{{{Q}_{k}},{{P}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Beweis: Zur Vereinfachung: Nicht explizit zeitabhängige Trafos: ${\frac {\partial M}{\partial t}}=0\Leftrightarrow {\bar {H}}=H$

Bewegungsgleichung:

${{\dot {y}}_{k}}=\left\{{{y}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{j=1}^{f}{{{J}_{kj}}{\frac {\partial H}{\partial {{x}_{j}}}}}$

Wegen $\left({{\bar {f}}_{x}},{{\bar {g}}_{x}}\right)=\left({{\bar {f}}_{y}},{{\bar {g}}_{y}}\right)$

kann nun die Bewegungsgleichung in den alten Koordinaten gebildet werden:

${{\dot {y}}_{k}}=\left\{{{y}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j,l=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}}$

Also folgt:

${\begin{aligned}&{{\dot {y}}_{k}}=\left\{{{y}_{k}},H\right\}=\sum \limits _{i,j,l=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\sum \limits _{i,j=1}^{f}{{\frac {\partial {{y}_{k}}}{\partial {{x}_{i}}}}{{J}_{ij}}{\frac {\partial {{y}_{l}}}{\partial {{x}_{j}}}}}=}\sum \limits _{l=1}^{f}{{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}}\\&{{\dot {y}}_{k}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}\Leftrightarrow {{J}_{kl}}=\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}}\\\end{aligned}}$

Mit der Bedeutung

${{\dot {y}}_{k}}=\sum \limits _{l=1}^{f}{{{J}_{kl}}{\frac {\partial {\bar {H}}}{\partial {{y}_{l}}}}}$ Hamiltonsche Bewegungsgleichung in den neuen Koordinaten -> Trafo kanonisch

${{J}_{kl}}=\left\{{{y}_{k}},{{y}_{l}}\right\}$

 fundamentale Poissonklammern in den neuen Koordinaten

Somit ergibt sich ein einfach nachprüfbares Kriterium für kanonische Transformationen !

Folgende Aussagen sind äquivalent:

${\bar {x}}=\left({\begin{matrix}{\bar {q}}\\{\bar {p}}\\\end{matrix}}\right)\to {\bar {y}}=\left({\begin{matrix}{\bar {Q}}\\{\bar {P}}\\\end{matrix}}\right)$ ist kanonisch

$\Leftrightarrow$ die kanonischen Gleichungen ${\dot {\bar {x}}}=J{{\bar {H}}_{,x}}$ sind invariant

$\Leftrightarrow$ die Poissonklammern {f,g} sind invariant für alle f und g

$\Leftrightarrow$ die fundamentalen Poissonklammern ${{J}_{kl}}=\left\{{{x}_{k}},{{x}_{l}}\right\}$ sind ivariant

$\Leftrightarrow$ die Jacobi- Matrix ${{M}_{\alpha \beta }}={\frac {\partial {{x}_{\alpha }}}{\partial {{x}_{\beta }}}}$ ist symplektisch, das heißt ${{M}^{T}}JM=J$

$\Leftrightarrow$ es existiert eine Erzeugende !

Bezug zur Quantenmechanik

Ein Übergang zur Quantenmechanik ist möglich:

Von der klassischen Variablen $g({\bar {q}},{\bar {p}},t)$ zum qm. Operator: $g:H->H$ mit dem Hilbertraum H

Von der Poissonklammer: $\left\{f,g\right\}\to {\frac {1}{i\hbar }}\left[f,g\right]$ zum Kommutator

Aus den fundamentalen Poisson- Klammern folgen die kanonischen Vertauschiungsrelationen:

${\begin{aligned}&\left\{{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right\}=0\quad \to \left[{{q}_{k}},{{q}_{j}}\right]=0\\&\left\{{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right\}=0\quad \to \left[{{p}_{k}},{{p}_{j}}\right]=0\\&\left\{{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right\}={{\delta }_{kj}}\quad \to \left[{{q}_{k}},{{p}_{j}}\right]=i\hbar {{\delta }_{kj}}\\\end{aligned}}$

Die Hamiltonfunktion H(q,p,t) geht über zum Hamilton- Operator

Die Bewegungsgleichungen:

${\begin{aligned}&{\frac {dg({\bar {q}},{\bar {p}},t)}{dt}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{{\dot {q}}_{i}}+{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{{\dot {p}}_{i}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=\sum \limits _{i=1}^{f}{\left({\frac {\partial g}{\partial {{q}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{i}}}}-{\frac {\partial g}{\partial {{p}_{i}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{i}}}}\right)}+{\frac {\partial g}{\partial t}}=:\left\{g,H\right\}+{\frac {\partial g}{\partial t}}\\&\to {\frac {dg}{dt}}={\frac {1}{i\hbar }}\left[g,H\right]+{\frac {\partial g}{\partial t}}\\\end{aligned}}$

Wobei auch nur der Zusammenhang zwischen Poisson- Klammer und Kommutator recycled wurde.

Da in diesem Bild die Operatoren zeitabhängig sind haben wir es mit der Heisenbergschen bewegungsgleichung zu tun. Im Schrödingerbild ist der Operator zeitunabhängig und die Schrödingergleichung gibt eine Bewegungsgleichung für die Zustände an.