Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Dynamische Systeme und deterministisches Chaos

Bisher wurden nur HAMILTONSCHE SYSTEME von Differentialgleichungen betrachtet. ( Energieerhaltung, falls keine explizite Zeitabhängigkeit, sondern nur durch die Zeitabhängigkeit von q und p in H)

Jetzt sollen ganz allgemeine Systeme von Differentialgleichungen1. ordnung betrachtet werden. Beispielsweise Systeme mit Reibung.

• dissipative Systeme.

Diese sind jedoch im Allgemeinen nicht integrabel. Das heißt, die Bahnkurven könneng ar nicht analytisch angegeben werden.

Es lassen sich jedoch numerische Lösungen finden.

Dabei werden jedoch folgende Fragen aufgeworfen:

1. Wie ist das Langzeitverhalten derartiger Systeme ?
2. Wie ist die Abhängigkeit von äußeren Parametern (Kontrollparametern)
3. Wie ist die Stabilität gegen kleine äußere Störungen ?
4. Wie stark sind die Systeme chaotisch ( also von Ungenauigkeiten in den Anfangsbedingunegn stark abhängig )?
5. kann man globale Aussagen über den dynamischen Fluß machen ? Also über die Gesamtheit aller Bahnen ?
6. sind die Lösungen geordnet oder ungeordnet ( := chaotisch)?

Qualitative Dynamik

• Betrachtung des Fluß als Ganzes, Stabilitätsaussagen, topologische STruktur und Langzeitverhalten in:

Lit.:

F. Scheck, Mechanik ( Springer, 1988)

H.G. Schuster, deterministisches Chaos ( VHC, 1987)

Vektorfelder als dynamische Systeme

Die Dynamik sehr vieler physikalischer Systeme läßt sich zumindest als ein System von nichtlinearen Differentialgleichungen 1. Ordnung formulieren:

${\dot {\bar {x}}}={\bar {F}}({\bar {x}}(t),t)$

Dabei ist ${\bar {x}}\in {{R}^{n}}$ dynamische Variable und ${\bar {F}}:{{R}^{n}}\times {{R}_{t}}\to {{R}^{n}}$ ein Vektorfeld

Durch den analytischen Zusammenhang ${\dot {\bar {x}}}={\bar {F}}({\bar {x}}(t),t)$

ist das dynamische System deterministisch:

Beispiel: Newtonsche Bewegungsgleichung mit reibung

${\ddot {y}}+{{f}_{1}}(y,t){\dot {y}}+{{f}_{2}}(y,t)=0$

Mit der reibung f1 und der Kraft f2

Wir entwickeln daraus ein System von Differenzialgleichungen 1. ordnung:

${\begin{aligned}&{\dot {y}}:={{x}_{2}}\\&y:={{x}_{1}}\\\end{aligned}}$

so folgt: 

${\begin{aligned}&{{\dot {x}}_{1}}={{x}_{2}}\\&{{\dot {x}}_{2}}=-{{f}_{1}}{{x}_{2}}-{{f}_{2}}\\\end{aligned}}$

Im Spezialfall HAMILTONSCHER Systeme, also: ${\dot {\bar {x}}}={\bar {\bar {J}}}{{H}_{,x}}\quad J=\left({\begin{matrix}0&1\\-1&0\\\end{matrix}}\right)$

folgt:

$\left.{\begin{aligned}&{{x}_{1}}=q\\&{{x}_{2}}=p\\\end{aligned}}\right\}{\begin{matrix}{{\dot {x}}_{1}}={\frac {\partial H}{\partial p}}\\{{\dot {x}}_{2}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}\\\end{matrix}}$

Fluß des Vektorfeldes ${\bar {F}}:{{R}^{n}}\times {{R}_{t}}\to {{R}^{n}}$ auf der Mannigfaltigkeit M, hier: auf dem Phasenraum, z.B. über ${{R}^{n}}$

( vergl. Kapitel 4.5):

$\Phi :M\times {{R}_{t}}\to M$

$\Phi :M\times {{R}_{t}}\to M$ mit $\Phi ({{\bar {x}}_{0}},t)={{\Phi }_{t}}({{\bar {x}}_{0}})={\bar {x}}(t,{{\bar {x}}_{0}})$

Der Fluß ist also zu verstehen als die Gesamtheit aller Bahnkurven = Trajektorien

Fixpunkte ${\bar {x}}*$ des autonomen dynamischen Systems

Dies sind sogenannte stationäre Punkte, Gleichgewichtspunkte, singuläre Punkte, kritische Punkte

$0={\dot {\bar {x}}}*={\bar {F}}({\bar {x}}*)$

als Bestimmungsgleichung für die ${\bar {x}}*$

Stabilität eines Fixpunktes

Der Test auf Stabilitätsverhalten erfolgt durch Linearisierung für kleine Auslenkungen:

${\begin{aligned}&\delta {\bar {x}}:={\bar {x}}-{\bar {x}}*:\\&\delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{{{\left({\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}}\\\end{aligned}}$

Kompakte Schreibweise:

$\delta {\dot {\bar {x}}}={{\left(DF\right)}_{*}}\delta {\bar {x}}$

 mit der Jacobi- Matrix DF

Dies ist ein System von linearen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Lösungsansatz:

$\delta {\bar {x}}(t)={\bar {\xi }}{{e}^{\lambda t}}\Rightarrow \lambda {\bar {\xi }}=A{\bar {\xi }}$

 Eigenwertgleichung

$\det \left(A-\lambda 1\right)=0$ liefert die Eigenwerte ${{\lambda }_{k}}$ zu den Eigenvektoren ${{\bar {\xi }}^{(k)}}$ zur Jacobi- Matrix DF = A

Die allgemeine Lösung lautet:

$\delta {\bar {x}}(t)=\sum \limits _{k=1}^{n}{{c}_{k}}{{\bar {\xi }}^{(k)}}{{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}$

Annahme: die Eigenwerte ${{\lambda }_{k}}$ sind nicht entartet und die ${{c}_{k}}$ sind durch die Anfangsbedingungen bestimmt.

Beispiel: Ebenes Pendel ( vergl Kap. 5.2 )

$m{{l}^{2}}{\ddot {\phi }}+mgl\sin \phi =0$

$\left.{\begin{aligned}&{{x}_{1}}=\phi \\&{{x}_{2}}={{p}_{\phi }}=m{{l}^{2}}{\dot {\phi }}\\\end{aligned}}\right\}{\begin{matrix}{{\dot {x}}_{1}}={\frac {{x}_{2}}{m{{l}^{2}}}}\\{{\dot {x}}_{2}}=-mgl\sin {{x}_{1}}\\\end{matrix}}$

Für die Fixpunkte gilt:

${{\dot {x}}_{1}}={{\dot {x}}_{2}}=0\Rightarrow {{x}_{2}}=0,{{x}_{1}}=n\pi (n=0,1,...)$

• Fixpunkt im Ort ( q=0) und im Winkel: Ganzzahlige Vielfache von Pi

Linearisierung

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {x}}_{1}}\\\delta {{\dot {x}}_{2}}\\\end{matrix}}\right)={{\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl\cos {{x}_{1}}&0\\\end{matrix}}\right)}_{*}}\left({\begin{matrix}\delta {{x}_{1}}\\\delta {{x}_{2}}\\\end{matrix}}\right)\\&{{\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl\cos {{x}_{1}}&0\\\end{matrix}}\right)}_{*}}:=A\\\end{aligned}}$

Erster Fixpunkt: x1=x2=0 ( ruhendes Pendel)

$A=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&0\\\end{matrix}}\right)$

Eigenwertgleichung: $\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}-\lambda &{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&-\lambda \\\end{matrix}}\right)\right|=0={{\lambda }^{2}}+{\frac {g}{l}}$

Somit: ${{\lambda }_{1/2}}=\pm i{\sqrt {\frac {g}{l}}}=\pm i\omega$

Somit folgt für die zeitliche Lösung:

$\delta {\bar {x}}(t)=={{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{i\omega t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-i\omega t}}$

Dies sind jedoch gerade ungedämpfte, freie Schwingungen um das Zentrum:

Für den Zweiten Fixpunkt ${{x}_{1}}=\pi ,{{x}_{2}}=0$ gilt:

Das Pendel steht senkrecht nach oben:

$A=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\mgl&0\\\end{matrix}}\right)$

$\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}-\lambda &{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&-\lambda \\\end{matrix}}\right)\right|=0={{\lambda }^{2}}-{\frac {g}{l}}$

Eigenwerte: ${{\lambda }_{1/2}}=\pm {\sqrt {\frac {g}{l}}}$

Allgemeine Lösung: $\delta {\bar {x}}(t)={{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{{\sqrt {\frac {g}{l}}}t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-{\sqrt {\frac {g}{l}}}t}}$

Das bedeutet jedoch, dass der erste Term auf der rechten Seite für t gegen unendlich unendlich groß wird.

Die Lösung ist also instabil längs der Richtung von ${{\bar {\xi }}^{(1)}}$

Das Zentrum im Phasenraum ist kein stabiler Fixpunkt mehr, sondern als Sattelpunkt instabil:

${\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\delta {\bar {x}}(t)={\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\left({{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{{\sqrt {\frac {g}{l}}}t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-{\sqrt {\frac {g}{l}}}t}}\right)=\infty$

Da die Matrix A nicht symmetrisch ist, sind die Vektoren ${{\bar {\xi }}^{(1)}}$ und ${{\bar {\xi }}^{(2)}}$ im Allgemeinen nicht senkrecht zueinander !

Ebenes Pendel mit Reibung

Ohne Reibung: $m{{l}^{2}}{\ddot {\phi }}+mgl\sin \phi =0$

l = Pendellänge !

mit Reibung : ${\begin{aligned}&{\ddot {\phi }}+{\frac {2\gamma }{m{{l}^{2}}}}{\dot {\phi }}+{{\omega }^{2}}\sin \phi =0\\&{{\omega }^{2}}={\frac {g}{l}}\\\end{aligned}}$

$\left.{\begin{aligned}&{{x}_{1}}=\phi \\&{{x}_{2}}={{p}_{\phi }}=m{{l}^{2}}{\dot {\phi }}\\\end{aligned}}\right\}{\begin{matrix}{{\dot {x}}_{1}}={\frac {{x}_{2}}{m{{l}^{2}}}}\\{{\dot {x}}_{2}}=-mgl\sin {{x}_{1}}-2\gamma {{x}_{2}}\\\end{matrix}}$

Die Fixpunkte sind ungeändert !

Linearisierung

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {x}}_{1}}\\\delta {{\dot {x}}_{2}}\\\end{matrix}}\right)={{\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl\cos {{x}_{1}}&-2\gamma \\\end{matrix}}\right)}_{*}}\left({\begin{matrix}\delta {{x}_{1}}\\\delta {{x}_{2}}\\\end{matrix}}\right)\\&{{\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl\cos {{x}_{1}}&0\\\end{matrix}}\right)}_{*}}:=A\\\end{aligned}}$

Erster Fixpunkt: x1=x2=0 ( ruhendes Pendel)

$A=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&-2\gamma \\\end{matrix}}\right)$

Eigenwertgleichung: ${\begin{aligned}&\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}-\lambda &{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&-\lambda -2\gamma \\\end{matrix}}\right)\right|=0={{\lambda }^{2}}+2\gamma \lambda +{\frac {g}{l}}\\&{\frac {g}{l}}={{\omega }^{2}}\\\end{aligned}}$

Somit: ${{\lambda }_{1/2}}=-\gamma \pm i{\sqrt {{\frac {g}{l}}-{{\gamma }^{2}}}}=-\gamma \pm i{\sqrt {{{\omega }^{2}}-{{\gamma }^{2}}}}$

Schwache Reibung: ${{\omega }^{2}}>{{\gamma }^{2}}$ -> Lösung wie angegeben demonstriert Schwingung mit abnehmender Amplitude:

$\delta {\bar {x}}(t)=={{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{-\gamma +i{\sqrt {{{\omega }^{2}}-{{\gamma }^{2}}}}t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-\gamma -i{\sqrt {{{\omega }^{2}}-{{\gamma }^{2}}}}t}}$

Es liegt in stabiler Fokus vor. Die Lösung ist stabil

Starke Reibung ${{\omega }^{2}}<{{\gamma }^{2}}$

${{\lambda }_{1/2}}=-\gamma \pm {\sqrt {{{\gamma }^{2}}-{\frac {g}{l}}}}=-\gamma \pm {\sqrt {{{\gamma }^{2}}-{{\omega }^{2}}}}$

$\delta {\bar {x}}(t)=={{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{-\gamma +{\sqrt {{{\gamma }^{2}}-{{\omega }^{2}}}}t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-\gamma -{\sqrt {{{\gamma }^{2}}-{{\omega }^{2}}}}t}}$

Die Lösung ist überhaupt nicht mehr oszillierend, strebt aber entlang von ${{\bar {\xi }}^{(1)}}$ und ${{\bar {\xi }}^{(2)}}$ gegen einen stabilen Fixpunkt, bzw. ist der Fixpunkt entlang ${{\bar {\xi }}^{(1)}}$ wie auch entlang ${{\bar {\xi }}^{(2)}}$ stabil. Es liegt der sogenannte "Kriechfall" vor. Der Oszillator ist überdämpft. Im Phasenraum bildet der Oszillator einen stabilen Knoten:

Für den Zweiten Fixpunkt ${{x}_{1}}=\pi ,{{x}_{2}}=0$ gilt:

Das Pendel steht senkrecht nach oben:

$A=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\mgl&-2\gamma \\\end{matrix}}\right)$

$\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}-\lambda &{\frac {1}{m{{l}^{2}}}}\\-mgl&-\lambda -2\gamma \\\end{matrix}}\right)\right|=0={{\lambda }^{2}}+2\gamma \lambda -{\frac {g}{l}}={{\lambda }^{2}}+2\gamma \lambda -{{\omega }^{2}}$

Eigenwerte: ${{\lambda }_{1/2}}=-\gamma \pm {\sqrt {{{\omega }^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}$

Allgemeine Lösung: $\delta {\bar {x}}(t)={{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{-\gamma +{\sqrt {{{\omega }^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-\gamma -{\sqrt {{{\omega }^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}t}}$

Das bedeutet jedoch erneut, dass der erste Term auf der rechten Seite für t gegen unendlich unendlich groß wird.

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1}}>0\\&{{\lambda }_{2}}<0\\\end{aligned}}$ wie im Fall ohne Reibung !

Die Lösung ist also instabil längs der Richtung von ${{\bar {\xi }}^{(1)}}$

Das Zentrum im Phasenraum ist kein stabiler Fixpunkt mehr, sondern als Sattelpunkt instabil:

${\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\delta {\bar {x}}(t)={\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\left({{c}_{1}}{{\bar {\xi }}^{(1)}}{{e}^{-\gamma +{\sqrt {{{\omega }^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}t}}+{{c}_{2}}{{\bar {\xi }}^{(2)}}{{e}^{-\gamma -{\sqrt {{{\omega }^{2}}+{{\gamma }^{2}}}}t}}\right)=\infty$

Da die Matrix A nicht symmetrisch ist, sind die Vektoren ${{\bar {\xi }}^{(1)}}$ und ${{\bar {\xi }}^{(2)}}$ im Allgemeinen nicht senkrecht zueinander !

Stabilität und Langzeitverhalten

Hier soll eine allgemeinere Definition von Stabilität gegeben werden.

Fixpunkte ${\bar {x}}*$ des autonomen dynamischen Systems

Definition:

${\bar {x}}*$

heißt stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu jeder Umgebung U von 

${\bar {x}}*$

eine Umgebung V von 

${\bar {x}}*$

existiert, so dass:

${\bar {x}}\in V\Rightarrow \varphi ({\bar {x}},t)\in U\quad \forall t\geq 0$

Definition:

${\bar {x}}*$

heißt asymptotisch stabil ( auch : Ljapunov- stabil), wenn zu 

${\bar {x}}*$

eine Umgebung U und eine Umgebung U´ von 

${\bar {x}}*$

existiert, so dass:

$\varphi (U,{{t}_{2}})\in U{\acute {\ }}\subset \varphi (U,{{t}_{1}})\in U\quad f{\ddot {u}}r\ {{t}_{2}}>{{t}_{1}}\geq 0$

und

${\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\varphi ({\bar {x}},t)={\bar {x}}*\quad \forall {\bar {x}}\in U$

Das heißt anschaulich: Die Umgebung U schrumpft mit wachsendem t auf ${\bar {x}}*$

zusammen. Das heißt: Phasenraumvolumina schrumpfen.

asymptotisch stabile Fixpunkte treten somit nur in nicht hamiltonschen Systemen ( also bei nicht alleine konservativen Kräften) auf. ( Vergl. Kapitel 4.5: Satz von Liouville)

Def.: Ein dynamisches System heißt dissipativ, wenn Phasenraumvolumina schrumpfen.

Lokales Kriterium für Stabilität

Wenn ${\bar {x}}*$ stabil ist, dann hat keiner der Eigenwerte der Jacobimatrix ${{(DF)}_{{\bar {x}}*}}$ einen positiven Realteil

Beispiel: Fixpunkt a) des Pendels mit / ohne Reibung, also der Fixpunkt mit Winkel und Ort =0, x1=x2=0

Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität:

Alle Eigenwerte haben negative Realteile

Somit wird die Lösung für die Störung für unendliche Zeit beliebig klein und divergiert nicht. Imaginärteile sind oszillierend und damit irrelevant für die Stabilität. Sie geben an, in welcher Zeit die Annäherung an den Fixpunkt ( falls vorhanden) erfolgt.

Beispiel für Instabilität: Fixpunkte b)

Allgemeines System mit n=2:

Linearisierung

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {x}}_{1}}\\\delta {{\dot {x}}_{2}}\\\end{matrix}}\right)=A\left({\begin{matrix}\delta {{x}_{1}}\\\delta {{x}_{2}}\\\end{matrix}}\right)\\&\left({\begin{matrix}{{a}_{11}}&{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}\\\end{matrix}}\right):=A\\\end{aligned}}$

Eigenwertgleichung: $\det(A-\lambda 1)=0\Rightarrow \left|\left({\begin{matrix}{{a}_{11}}-\lambda &{{a}_{12}}\\{{a}_{21}}&{{a}_{22}}-\lambda \\\end{matrix}}\right)\right|=\left({{a}_{11}}-\lambda \right)\left({{a}_{22}}-\lambda \right)-{{a}_{12}}{{a}_{21}}={{\lambda }^{2}}-\lambda \mathbf {t} rA+\det A=0$

Somit: ${{\lambda }_{1/2}}={\frac {1}{2}}\left(trA\pm {\sqrt {{{\left(trA\right)}^{2}}-4\det A}}\right)$

mit $trA=\sum \limits _{i}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{i}}}}=div{\bar {F}}}$

Fallunterscheidung

Stabiler Fokus ( Strudelpunkt)

detA>0

trA<0

${{\left(trA\right)}^{2}}<4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=-{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\&{{\lambda }_{0}},\omega >0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine gedämpfte Schwingung im Phasenraum. Die Phasenraumkruve ist eine elliptische Spirale:

Instabiler Fokus

detA>0

trA>0

${{\left(trA\right)}^{2}}<4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=+{{\lambda }_{0}}\pm i\omega \\&{{\lambda }_{0}},\omega >0\\\end{aligned}}$

Dies ist eine entdämpfte Schwingung. Die Phasenraumkurve ist ebenfalls eine elliptische Spirale, die jedoch in positiver Zeitrichtung nach Außen durchlaufen wird. Damit tr A >0 muss dem System von Außen zugeführt werden ( Beispiel: "negative Reibung"):

Stabiler Knoten

detA>0

trA<0

${{\left(trA\right)}^{2}}>4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}<0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Dies ist ein exponenzieller Zerfall. Fast alle Trajektorien nähern sich dabei entlang des Eigenvektors, der zum betragsmäßig kleineren Eigenwert gehört. Weil hier das "Kriechen" zum Fixpunkt, also der Zerfall langsamer stattfindet:

Instabiler Knoten

detA>0

trA>0

${{\left(trA\right)}^{2}}>4\det A$

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}>0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Das System ist exponenziell entdämpft.

Sattelpunkt

detA>0

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1}}>0\\&{{\lambda }_{2}}<0\\&{{\lambda }_{1/2}}\in R\\\end{aligned}}$

Summary:

Grenze zwischen den 5 Bereichen: entartete Fälle:

• in diesem Fall versagt die lineare Stabilitätsanalyse völlig. Es ist nötig, höhere Terme der Taylorentwicklung um den Fixpunkt zu betrachten.

Beispiel:

trA=0

detA>0

${\begin{aligned}&{{\lambda }_{1/2}}=\pm i\omega \\&{{\lambda }_{1/2}}\in I\\\end{aligned}}$

Dies kann ZENTRUM sein, also der Mittelpunkt der Phasenraumtrajektorien, die ungedämpfte Schwingungen beschreiben ( energieabhängige, aber unveränderliche Ellipsen).

Dieses Zentrum ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil !

Vergleiche: ungedämpfter Oszillator.

Es kann sich aber auch um einen schwach stabilen oder instabilen Fokus handeln ( der dann auch asymptotisch stabil ist)

• es sind in diesem Fall auch qualitative Änderungen im Verhalten des Flusses möglich ( Bifurkationen = Verzweigungen der Lösungsmannigfaltigkeit)

Speziell: Hamiltonsche Vektorfelder:

${\begin{aligned}&{\dot {\bar {x}}}:=J{{\bar {H}}_{,x}}\\&\Leftrightarrow {{\dot {q}}_{k}}={\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}},{{\dot {p}}_{k}}=-{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\\\end{aligned}}$

Linearisierung zum Fixpunkt ${\bar {x}}*$

${\begin{aligned}&\delta {\bar {x}}:={\bar {x}}-{\bar {x}}*\\&\delta {\dot {\bar {x}}}=A\delta {\bar {x}}\\&mit:\ \delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{2f}{{{\left({\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}\right)}_{x*}}\delta {{x}_{k}}=}\sum \limits _{k,j=1}^{2f}{\left({{J}_{ij}}{\frac {{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}}}\right)\delta {{x}_{k}}}\\&\sum \limits _{j=1}^{2f}{}\left({{J}_{ij}}{\frac {{{\partial }^{2}}H}{\partial {{x}_{k}}\partial {{x}_{j}}}}\right)={{A}_{ik}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&trA=div{\bar {F}}=\sum \limits _{k=1}^{f}{\left({\frac {\partial }{\partial {{q}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{p}_{k}}}}-{\frac {\partial }{\partial {{p}_{k}}}}{\frac {\partial H}{\partial {{q}_{k}}}}\right)=}0\\&trA=0=\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\lambda }_{i}}\\\end{aligned}}$

Möglichkeit zur asymptotischen Stabilität

Wegen trA=0 folgt Keine asymptotische Stabilität möglich.

Beweis: Asymptotische Stabilität nur, wenn alle ${\begin{aligned}&\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}<0\\&\Rightarrow trA=\sum \limits _{i}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}+\sum \limits _{i}{\operatorname {Im} {{\lambda }_{i}}}\\\end{aligned}}$

aber: $\sum \limits _{i}{\operatorname {Im} {{\lambda }_{i}}}$ besteht aus komplex konjugierten Paaren, da die Eigenwertgleichung reell ist !

Somit gilt jedoch $trA=\sum \limits _{i}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}<0$ , was ein Widerspruch zur Voraussetzung für asymptotische Stabilität, mit trA=0

Nicht asymptotisch Stabilität

Nicht asymptotische Stabilität nur wenn $\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}\leq 0$ , also kein $\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}>0$

Aus genannten Gründen kann dann aber nur $\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}=0\quad \forall i$

Also: ${{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}$

Also: Zentrum, reine Oszillationen, keine Dämpfung oder Unterdämpfung

Fall f=1 -> n=2

In diesem Fall können die Fixpunkte nur Zentren ( falls det A > 0 -> ${{\lambda }_{i}}=\pm i{{\omega }_{i}}$ ) oder Sattelpunkte

( falls detA <0 -> ${{\lambda }_{1}}>0,{{\lambda }_{2}}<0,{{\lambda }_{i}}\in R$ ) sein !

Beispiel zur Stabilität

Der kräftefreie unsymmetrische Kreisel

oBdA: $0<{{J}_{1}}<{{J}_{2}}<{{J}_{3}}$

Folgende sind die Eulerschen Gleichungen für ${{\omega }_{i}}$

${\begin{aligned}&{{J}_{1}}{{\dot {\omega }}_{1}}=\left({{J}_{2}}-{{J}_{3}}\right){{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\\&{{J}_{2}}{{\dot {\omega }}_{2}}=\left({{J}_{3}}-{{J}_{1}}\right){{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}\\&{{J}_{3}}{{\dot {\omega }}_{3}}=\left({{J}_{1}}-{{J}_{2}}\right){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\\\end{aligned}}$

Somit:

${\begin{aligned}&{{\dot {\omega }}_{1}}=-{\frac {\left({{J}_{3}}-{{J}_{2}}\right)}{{J}_{1}}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}=-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}{{\omega }_{3}}\\&{{\dot {\omega }}_{2}}={\frac {\left({{J}_{3}}-{{J}_{1}}\right)}{{J}_{2}}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}={{k}_{2}}{{\omega }_{3}}{{\omega }_{1}}\\&{{\dot {\omega }}_{3}}=-{\frac {\left({{J}_{2}}-{{J}_{1}}\right)}{{J}_{3}}}{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}=-{{k}_{3}}{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}\\\end{aligned}}$

Die Fixpunkte seien:

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(1)}}=\left({\begin{matrix}\omega &0&0\\\end{matrix}}\right)\\&{\bar {\varpi }}{{*}^{(2)}}=\left({\begin{matrix}0&\omega &0\\\end{matrix}}\right)\\&{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&0&\omega \\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Also: Rotation um x1, x2, bzw x3- Achse.

Diese drei Fixpunkte erfüllen die Gleichung:

${{\dot {\omega }}_{1}}={{\dot {\omega }}_{2}}={{\dot {\omega }}_{3}}=0$

Linearisierung zum Fixpunkt:

$\left({\begin{matrix}\delta {{\dot {\omega }}_{1}}\\\delta {{\dot {\omega }}_{2}}\\\delta {{\dot {\omega }}_{3}}\\\end{matrix}}\right)=A\left({\begin{matrix}\delta {{\omega }_{1}}\\\delta {{\omega }_{2}}\\\delta {{\omega }_{3}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}0&-{{k}_{1}}{{\omega }_{3}}&-{{k}_{1}}{{\omega }_{2}}\\{{k}_{2}}{{\omega }_{3}}&0&{{k}_{2}}{{\omega }_{1}}\\-{{k}_{3}}{{\omega }_{2}}&-{{k}_{3}}{{\omega }_{1}}&0\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\delta {{\omega }_{1}}\\\delta {{\omega }_{2}}\\\delta {{\omega }_{3}}\\\end{matrix}}\right)$

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(1)}}:{{\varpi }_{1}}=\varpi ,{{\varpi }_{2}}=0,{{\varpi }_{3}}=0\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &0&0\\0&-\lambda &{{k}_{2}}{{\omega }_{}}\\0&-{{k}_{3}}\omega &-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{2}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(1)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(1)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{2}}{{k}_{3}}}}\\\end{aligned}}$

Der Fixpunkt ist also stabil ( Zentrum)

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(2)}}=\left({\begin{matrix}0&\omega &0\\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &0&-{{k}_{1}}\omega \\0&-\lambda &{{0}_{}}\\-{{k}_{3}}\omega &0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{3}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(2)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm \omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{3}}}}\\\end{aligned}}$

Der Fixpunkt ist instabil ( Sattelpunkt)

${\begin{aligned}&{\bar {\varpi }}{{*}^{(3)}}=\left({\begin{matrix}0&0&\omega \\\end{matrix}}\right):\\&0=\det(A-\lambda 1)=\left|{\begin{matrix}-\lambda &-{{k}_{1}}\omega &0\\{{k}_{2}}\omega &-\lambda &{{0}_{}}\\0&0&-\lambda \\\end{matrix}}\right|=-\lambda \left({{\lambda }^{2}}+{{k}_{1}}{{k}_{2}}{{\omega }^{2}}\right)\\&\Rightarrow {{\lambda }_{1}}^{(3)}=0,{{\lambda }_{2/3}}^{(2)}=\pm i\omega {\sqrt {{{k}_{1}}{{k}_{2}}}}\\\end{aligned}}$

• Fixpunkt stabil ( Zentrum)

Fazit: Bei asymmetrischen Kreiseln ist nur die Rotation um die Achse zum größten und zum kleinsten Trägheitsmoment stabil !

Hamiltonsche Systeme

Hier folgt aus $trA=div{\bar {F}}=0$ der Satz von Liouville ( § 4.5)

${\begin{aligned}&{{V}_{t}}=\int _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}x}=\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\det D{{\Phi }_{t}}({{\bar {x}}_{0}})=\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}\left[1+(t-{{t}_{0}})\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}+...}\right]\\&\sum \limits _{i=1}^{2f}{{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{0}}^{i}}}={{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}}\\&{{V}_{t}}={{V}_{{t}_{0}}}+(t-{{t}_{0}})\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}+O{{(t-{{t}_{0}})}^{2}}\\&{\frac {d{{V}_{t}}}{dt}}={\begin{matrix}\lim \\t->{{t}_{0}}\\\end{matrix}}{\frac {{{V}_{t}}-{{V}_{{t}_{0}}}}{(t-{{t}_{0}})}}=\int _{{{U}_{t}}_{0}}^{}{{{d}^{2f}}{{x}_{0}}}{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}=0\\&{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}_{0}}}=0\\\end{aligned}}$

Das heißt: Die Phasenraumvolumina sind erhalten, der Fluß ist inkompressibel !

Für dissipative Systeme gilt für kleine Volumiona, die einen asymptotisch stabilen Fixpunkt ${\bar {x}}*$

umschließen:

${\begin{aligned}&{\frac {d{{V}_{t}}}{dt}}\approx \int _{{U}_{t}}^{}{{{d}^{2f}}x}{{\left(div{\bar {F}}\right)}_{{\bar {x}}*}}=\Lambda {{V}_{t}}\\&\Rightarrow V(t)={{e}^{\Lambda t}}{{V}_{0}}\\\end{aligned}}$

Mit der Phasenraumkontraktionsrate $\Lambda :=div{\bar {F}}<0$ wegen $div{\bar {F}}=\sum \limits _{i}^{}{\operatorname {Re} {{\lambda }_{i}}}<0$ , da sonst der Fixpunkt nicht stabil wäre ( Voraussetzung).

Allgemien gilt:

Def.: Dissipative Systeme sind solche, die Phasenraumvolumina kontrahieren. Asymptotisch stabile Fixpunkte (Knoten und Fokus, jeweils stabil), heißen SENKEN oder ATTRAKTOREN im Phasenraum.

Beispiel für ein dissipatives System: LORENZMODELL ( 1963)

${\begin{aligned}&{\dot {x}}=-\sigma x+\sigma y\\&{\dot {y}}=-zx-xz+rz-y\\&{\dot {z}}=yx+xy-bz\\\end{aligned}}$

Dies leitet sich ab aus der Temperatur- und Strömungsverteilung einer inkompressiblen Flüssigkeit: Das Rayleigh - Bénard- System

Linearisierung:

${\begin{aligned}&A=\left({\begin{matrix}-\sigma &\sigma &0\\-z&-1&r-x\\y&x&-b\\\end{matrix}}\right)\\&\Rightarrow \Lambda =trA=-\left(\sigma +1+b\right)\\&\Rightarrow V(t)={{e}^{-\left(\sigma +1+b\right)t}}{{V}_{0}}-t->\infty \to 0\\\end{aligned}}$

Phasenraumvolumina schrumpfen also monoton!

Das Lorenzmodell produziert weiterhin chaotisch Lösungen:

Der Stereoplot eines numerisch bestimmten Attraktors im Phasenraum liefert folgendes Bild:

Dies ist so zu verstehen, dass sich die Phasenraumkurven, die sich übrigens nie schneiden ! im Raum dieses Attraktors konzentrieren:

Insbesondere enden gleich Anfangszustände immer wieder am selben Attraktor.

Das Langzeitverhalten dissipativer Systeme wird durch Attraktoren bestimmt:

Def.:

Sei ${\bar {F}}$ ein vektorfeld auf $M={{R}^{n}}$ . Eine abgeschlossene, unter dem Fluß ${{\Phi }_{t}}$ invariante ${{\Phi }_{t}}(A)\subseteq A$ , unzerlegbare Teilmenge $A\subset M$ heißt Attraktor, falls:

$A\subset {{U}_{0}}$ (offene Umgebung von A) mit ${{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subseteq {{U}_{0}}$ (t>0)

$\forall V$ mit $A\subset V\subset {{U}_{0}}$

$\exists T>0$ , so dass ${{\Phi }_{t}}({{U}_{0}})\subset V$ (t>T) Das heißt, es existiert ein Attraktorbecken Uo, aus dem der Fluß asymptotisch in den Attraktor A läuft :

Nebenbemerkung: Es kann grundsätzlich mehrere koexistierende Attraktoren auf M geben !

Ein Attraktor von heißt fraktal , wenn er weder eine endliche Anzahl von Punkten, eine stückweise differenzierbare Kurve oder Fläche noch eine Menge, die von einer geschlossenen stückweise differenzierbaren Fläche umgeben wird, darstellt. Ein Attraktor heißt seltsam , wenn er chaotisch, fraktal oder beides ist. Die Begriffe chaotisch, fraktal und seltsam werden für kompakte invariante Mengen, die keine Attraktoren sind, analog benutzt. Ein dynamisches System heißt chaotisch , wenn es eine kompakte invariante chaotische Menge besitzt.

Beispiele für Attraktoren:

Stabiler Fixpunkt:

Mindestdimension des Phasenraumes: 1

Dimension des Attraktors: 0

Stabiler Grenzzyklus:

Mindestdimension des Phasenraumes: 2

Dimension des Attraktors: 1

periodische Bewegung im Phasenraum

Stabiler Torus T²

Mindestdimension des Phasenraumes: 3

Dimension des Attraktors: 2

quasiperiodische Bewegung im Phasenraum

Seltsamer Attraktor

Mindestdimension des Phasenraumes: 3

Dimension des Attraktors: 2<D<3 ( fraktaldimensional)

chaotische Bewegung im Phasenraum

=

Bifurkationen===

Sei der Fluß von einem Kntrollparametr µ abhängig, so zeigt sich, dass sich die Zahl der Attraktoren bei einem kritischen Wert µc schlagartig ändern kann.

Es treten dann sogenannte Bifurkationen auf ( "Verzweigungen" der Lösungsmannigfaltigkeit).

Notwendige Voraussetzung für diesen Prozess ist jedoch Nichtlinearität !

Bifurkationspunkte sind oft verknüpft mit Stabilitätswechsel. Das bedeutet, die lineare Stabilität der Fixpunkte im Falle lokaler Bifurkationen muss untersucht werden.

Eigenwert- Null - Bifurkation

$\lambda <0\to \lambda >0$

stabiler Fixpunkt ( Knoten) -> instabilen Fixpunkt ( Sattelpunkt für $n\geq 2$ )

detA>0 -> detA<0

A1) Sattel- Knoten- Bifurkation

einfachster Fall:

${\dot {x}}=\mu -{{x}^{2}}$

$x*=\pm {\sqrt {\mu }}$

Fixpunkte existieren also nur für 

$\mu \geq 0$

$\delta {\dot {x}}=-2x*\delta x$

Somit existieren:

${{\lambda }_{1}}>0$

und 

${{\lambda }_{2}}<0$

für 

$x*=\pm {\sqrt {\mu }}$

A2) Transkritische Bifurkation

${\dot {x}}=\mu x-{{x}^{2}}$

$x*=\mu ,0$

${\begin{aligned}&\delta {\dot {x}}=\left(\mu -2x*\right)\delta x\\&\Rightarrow \lambda =\left\{{\begin{matrix}\mu \\-\mu \\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

Stabilitätswechsel bei µc=0

A3) Stimmgabelbifurkation (pitchfork bifurcation)

superkritisch:

${\dot {x}}=\mu x-{{x}^{3}}$

$x*=\pm {\sqrt {\mu }},0$

für 

$\mu \geq 0$ zwei Fixpunkte, sonst einer

${\begin{aligned}&\delta {\dot {x}}=\left(\mu -3x{{*}^{2}}\right)\delta x\\&\Rightarrow \lambda =\left\{{\begin{matrix}\mu \\-2\mu \\\end{matrix}}\right.\\\end{aligned}}$

zum Eigenwert µ ist der Fixpunkt stabil für µ<0 und zu -2µ stabil für µ>0

subkritisch

${\dot {x}}=\mu x+{{x}^{3}}$

$x*=\pm i{\sqrt {|\mu |}},0$

mit den ersten beiden Fixpunkten nur für µ<0, ansonsten , für µ>0 existiert nur x*=0

Stabil ist jedoch lediglich der Fixpunkt x*=0 für µ<0:

1. Hopf- Bifurkation

stabiler Fokus $\to$

 instabiler Fokus mit Grenzzyklus

${{\lambda }_{1,2}}={{\lambda }_{0}}\pm i\omega$

 mit: 		

${{\lambda }_{0}}<0\to {{\lambda }_{0}}>0$

stabiler Fokus instabiler Fokus mit Grenzzyklus

Übergang vom stabilen Fokus zum instabilen Fokus mit Grenzzyklus

sei n=2:

tr A < 0 ( stabiler Fokus) $\to$

 tr A > 0 ( instabiler Fokus)

( Voraussetzung: det A >0 )

mindestens n=2 nötig !

Deterministisches Chaos

Deterministische, aber ungeordnete Bewegung im Langzeitverhalten von Systemen mit $n\geq 3$

( autonom):

Seltsamer ( chaotischer) Attraktor

komplexes, irreguläres Verhalten kann verschiedene Ursachen haben, die sich im zeitlichen verhalten einer Observablen oft schwer unterscheiden lassen.

Als Unterscheidungskriterien bieten sich an:

quasiperiodisch deterministisches Chaos stochastisches Rauschen

wenige dynamische Freiheitsgrade: viele mikroskopische Freiheits-

niedrigdimensionaler Phasenraum grade. ( Statistisches Ensemble)

Attraktor: Torus ${{T}^{d}}$

d=2,3,4,...	seltsamer Attraktor, fraktale Dimension	 

$f{\tilde {\ }}{{10}^{24}}$

Autokorrelationsfunktion $\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle :={\begin{matrix}\lim \\T\to \infty \\\end{matrix}}{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}{x(t)x(t+\tau )d\tau }$

periodisch in $\tau$

$\to 0$

für  

$\tau \to \infty$

$=0$

für  

$\tau >{{\tau }_{c}}$

Fourierspektrum ( bzw. Leistungsspektrum):

$S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }{\left\langle x(t)x(t+\tau )\right\rangle {{e}^{i\omega \tau }}d\tau }$

diskrete Frequenzen ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}},{{\omega }_{3}},...$ b r e i t e s F r e q u e n z b a n d

Instabilität der Bewegung bei kleinen

Störungen der Anfangsbedingungen

typische universelle

Bifurkationszenarien

Def.: Eine Bewegung heißt chaotisch, wenn sie empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängt.

Quantitative Formulierung der Stabilität gegenüber kleinen Variationen der Anfangsbedingungen:

Bahnstabilität / Orbitale Stabilität

bahnstabil: Alle benachbarten Bahnen bleiben in einer $\varepsilon$

- Röhre um  

$\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})$

Aymptotisch bahnstabil:

Der Abstand benachbarter Bahnen geht gegen Null für t-> unendlich

Ljapunov- stabil

Für DASSELBE t gilt: $\left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|\to 0$

für t-> unendlich ( t gleicher Zeitpunkt auf beiden Bahnen)

Linearisierung in der Nähe der Lösungskurve $\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})$

${\begin{aligned}&\delta {{\dot {x}}_{i}}=\sum \limits _{k=1}^{n}{}{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t)\delta {{x}_{k}}\\&{\frac {\partial {{F}_{i}}}{\partial {{x}_{k}}}}({\bar {x}}(t),t):={{A}_{ik}}(t)\\\end{aligned}}$

Dabei:

${{\lambda }_{k}}(t)\ zu\ {{A}_{ik}}(t)$

Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren

${{\bar {\xi }}^{(k)}}(t)$

Formale Lösung:

$\delta {\bar {x}}(t)={{e}^{\int _{0}^{t}{dt{\acute {\ }}A(t{\acute {\ }})}}}\delta {\bar {x}}(0)$

Dies ist die Zeitentwicklung einer infinitesimalen Kugel um ${{\bar {x}}_{0}}$ , also ein n-dimensionaler Ellipsoid mit den Hauptachsen ${{p}_{k}}(t){\tilde {\ }}{{p}_{k}}(0){{e}^{{{\lambda }_{k}}t}}$

Definition: Stabilität ist bestimmt durch die Ljapunov-Exponenten ${{\bar {\lambda }}_{k}}:={\begin{matrix}\lim \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln {\frac {{{p}_{k}}(t)}{{{p}_{k}}(0)}}$

Nebenbemerkung: Sei $\lambda$ der führende ( größte) Ljapunov- Exponent

$\lambda :={\begin{matrix}\lim \ \sup \\t\to \infty \\\end{matrix}}\ {\frac {1}{t}}\ln \left|{\bar {x}}(t)-{\bar {y}}(t)\right|$

$\Rightarrow$

$\left|\Phi (t,{{\bar {x}}_{0}})-\Phi (t,{{\bar {y}}_{0}})\right|{\tilde {\ }}{{e}^{\lambda t}}$

Das heißt, der Abstand der anfangs leicht auseinanderliegenden Phasenraumkurven wächst mit ${{e}^{\lambda t}}$ .

Für $\lambda$ <0: kleine Abweichungen der Anfangsbedingungen werden exponenziell gedämpft

$\lambda$ >0: die benachbarten Bahnen laufen exponenziell auseinander ( Kriterium für Chaos)

Für den chaotischen Attraktor im ${{R}^{3}}$ gilt:

Auf dem Attraktor: ${{\bar {\lambda }}_{1}}>0$ auf dem Attraktor: chaotische Bewegung

${{\bar {\lambda }}_{2}}=0$

Bifurkationspunkte

${{\bar {\lambda }}_{3}}<0$

Von außen Annäherung an den Attraktor ( Abstand verringert sich exponenziell).

Beispiel für ein Ljapunov- Spektrum: