Effektives Potential

Es bietet sich an die Orientierung so zu wählen, dass die z Achse auf der vom Relativabstandsvektor und Relativimpuls aufgespannten Ebene senkrecht steht.

$L={{L}_{z}}{{e}_{z}}=r\times p,{{e}_{z}}\bot A\left(r,{\dot {r}}\right)$ (5.1) Daraus folgt aber, aufgrund der Definition der Kugelkoordinaten, dass $\vartheta =\pi /2$ist daraus folgt, dass $\sin \vartheta =1$uns ${\dot {\vartheta }}=0$somit vereinfacht sich die Relativgeschwindigkeit zu.

${{\mathbf {\dot {r}} }^{2}}={{\dot {r}}^{2}}+{{r}^{2}}{{\dot {\varphi }}^{2}}$ (5.2) Die Drehimpulserhaltung ermöglicht es ${\dot {\varphi }}$nach dem Drehimpuls umzuformen und so zu eliminieren:

${\dot {\varphi }}={\frac {{L}_{z}}{\mu {{r}^{2}}}}$ (5.3) Würde man dies in die Beziehung für die relative kinetische Energie einsetzen so erhielte man einen Term der nicht von ${\dot {q}}$ sondern von $q$abhängt, was der Lagrang’schen Definition der kinetischen Energie widerspräche.

${{T}_{R}}={\frac {1}{2}}\mu {{\dot {r}}^{2}}+\underbrace {\frac {L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}} _{{\dot {q}}?}$ (5.4) Also muss dieser Term zur Potentiellen Energie hinzugefügt werden. Diese heißt nun das effektive Potential (U). Es darf allerdings kein Minuszeichen vor den neuen Term kommen da die Energieerhaltung E=T+U in jedem Fall gewahr werden muss.

${{V}_{eff}}\equiv U={\frac {L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}-{\frac {\alpha }{r}}$ (5.5) Die Lagrangegleichung hat nun die korrekte Form und lautet.

$L\left({\dot {q}},q,t\right)=T\left({\dot {q}},t\right)+U\left(q,t\right)=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{{\mathbf {\dot {R}} }^{2}}} _{{T}_{S}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\mu {{\dot {r}}^{2}}} _{{{T}'}_{R}}-\underbrace {{\frac {L_{z}^{2}}{2\mu {{r}^{2}}}}+{\frac {\alpha }{r}}} _{U}$ (5.6)