Elektromagnetische Wellen

Elektrdynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Elektromagnetische Wellen basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 4.Kapitels der Elektrdynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Im statischen Fall sind die Felder ${\bar {E}},{\bar {B}}$ entkoppelt. Im dynamischen Fall jedoch sind ${\bar {E}},{\bar {B}}$ über den Verschiebungsstrom

${\frac {1}{{\mu }_{0}}}\nabla \times {\bar {B}}-{\bar {j}}={{\varepsilon }_{0}}{\dot {\bar {E}}}$

und über das Induktionsgesetz

$\nabla \times {\bar {E}}=-{\dot {\bar {B}}}$ gekoppelt !

Dies bestimmt die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen !

Freie Wellenausbreitung im Vakuum

Betrachte einen Raumbereich ohne Quellen:

$\rho =0$

${\bar {j}}=0$

Damit:

$\#\Phi =-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\rho =0\Rightarrow \#\Phi =0$

$\#{\bar {A}}=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}=0\Rightarrow \#{\bar {A}}=0$

Dies sind die homogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung

Wegen

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\\end{aligned}}$

gilt auch

${\begin{aligned}&\#{\bar {E}}=0\\&\#{\bar {B}}=0\\\end{aligned}}$

Dies folgt auch direkt aus

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {B}}={{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\dot {\bar {E}}}\\&\nabla \times {\bar {E}}=-{\dot {\bar {B}}}\\&\Rightarrow mit\quad \nabla \cdot {\bar {E}}=0\\&\left(\Delta -{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\right){\bar {E}}=0\\\end{aligned}}$

Allgemeine Lösung von $u({\bar {r}},t)=0$

$u({\bar {r}},t)=F({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)$

mit einer beliebigen , zweifach diffbaren Funktion $F(\phi )$ und $\varpi =c\left|{\bar {k}}\right|$ ( dÁlembertsche Lösung) Beweis:

$\#F({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)=\left({{\bar {k}}^{2}}-{\frac {{\varpi }^{2}}{{c}^{2}}}\right)F{\acute {\ }}{\acute {\ }}\left(\phi \right)=0$

Nebenbemerkung: $F(\phi )$ muss nicht periodisch in $\phi$ sein ! Gegenbeispiel sind solitäre Lösungen / solitäre Wellen = Solitonen :

Der Wellenvektor ${\bar {k}}$ zeigt in Ausbreitungsrichtung:

Es gilt: $\nabla \phi ({\bar {r}},t)={\bar {k}}$

Die markierten Flächen sind sogenannte Phasenflächen. Dies sind Flächen konstanter Phase:

${\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t=\phi ({\bar {r}},t)=const!$

Somit ergibt sich für ebene Wellen die Bedingung:

${\bar {k}}\left({\bar {r}}-{\frac {1}{{k}^{2}}}{\bar {k}}\left(\varpi t+\phi \right)\right)=0$

Die Ausbreitung der Orte konstanter Phase folgt der Bedingung:

${\bar {r}}(t)={\frac {1}{{k}^{2}}}{\bar {k}}\left(\varpi t+\phi \right)$

Somit ergibt sich die Phasengeschwindigkeit

${\begin{aligned}&{{v}_{ph}}=\left.{\frac {d{\bar {r}}(t)}{dt}}\right|_{\phi =const}^{}={\frac {\bar {k}}{{k}^{2}}}\varpi =c{\frac {\bar {k}}{k}}\\&{\frac {\bar {k}}{k}}:={\bar {n}}\\\end{aligned}}$

spezielle Lösung: Harmonische Ebene Welle

$u({\bar {r}},t)={\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}$

mit der komplexen Amplitude

${\tilde {u}}({\bar {k}})$

Die lineare Superposition der Wellen ist wegen der Linearität möglich und lautet formal für die allgemeine Dispersionsrelation $\varpi ({\bar {k}})$

$u({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}k}{\tilde {u}}({\bar {k}}){{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi ({\bar {k}})t)}}$

Literatur: Vergleiche FK Brillouin, L. Wave propagation and group velocity

Sei

${\tilde {u}}({\bar {k}})$ um ${{\bar {k}}_{0}}$ herum lokalisiert:

So ergibt sich ein Wellenpaket , welches im Ortsraum lokalisiert ist !

Denn: Die Taylorentwicklung der Phase um ${{\bar {k}}_{0}}$ ergibt

${\begin{aligned}&\varpi ({\bar {k}})\approx \varpi ({{\bar {k}}_{0}})+\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right){{\nabla }_{k}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}+{\frac {1}{2!}}{{\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right)}^{2}}{{\left({{\nabla }_{k}}\right)}^{2}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}+...\\&{{\nabla }_{k}}\varpi ({\bar {k}}){{\left.{}\right|}_{{\bar {k}}={{\bar {k}}_{0}}}}={{\bar {v}}_{g}}\\&\varpi ({\bar {k}})\approx \varpi ({{\bar {k}}_{0}})+\left({\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\right){{\bar {v}}_{g}}\\\end{aligned}}$

Diese lineare Näherung ergibt nun gerade

${\begin{aligned}&u({\bar {r}},t)={{e}^{i({{\bar {k}}_{0}}{\bar {r}}-{{\varpi }_{0}}t)}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}{\tilde {k}}}{\tilde {u}}({{\bar {k}}_{0}}+{\tilde {\bar {k}}}){{e}^{i{\tilde {\bar {k}}}({\bar {r}}-{{\bar {v}}_{g}}t)}}\\&{\tilde {\bar {k}}}={\bar {k}}-{{\bar {k}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Dies ist zu interpretieren als

${{e}^{i({{\bar {k}}_{0}}{\bar {r}}-{{\varpi }_{0}}t)}}$ eine Trägerwelle mit der Phasengschwindigkeit ${{\bar {v}}_{ph}}={\frac {{\varpi }_{0}}{{k}_{0}}}$

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}{\tilde {k}}}{\tilde {u}}({{\bar {k}}_{0}}+{\tilde {\bar {k}}}){{e}^{i{\tilde {\bar {k}}}({\bar {r}}-{{\bar {v}}_{g}}t)}}$ als Einhüllende, deren Maximum sich mit der Gruppengeschwindigkeit

${{\bar {v}}_{g}}={{\nabla }_{k}}\varpi \left({\bar {k}}\right)$ bewegt:

Wir erhalten die Dispersionsrelation $\varpi \left({\bar {k}}\right)$

elektromagnetische Wellen im Vakuum: $\varpi \left({\bar {k}}\right)=c\left|{\bar {k}}\right|\Rightarrow {{\bar {v}}_{g}}=c{\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}={{\bar {v}}_{ph}}={\frac {1}{\sqrt {{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}}{\bar {n}}$

es gibt also keine Dispersion ( kein zerfließen!)

Im Gegensatz zu elektromagentischen Wellen in dispersiven Medien oder quantenmechanischen Materiewellen im Vakuum !

Polarisation

Betrachte eine elektromagnetische Welle:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}\\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)={{\bar {B}}_{0}}{{e}^{i({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t)}}\\\end{aligned}}$

Allgemein gilt:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ heißt transversal, wenn $\nabla \cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$ ( quellenfrei)

$\Rightarrow i{\bar {k}}\cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\Rightarrow {\bar {k}}\bot {\bar {E}}({\bar {r}},t)$

${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ heißt longitudinal, wenn $\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$ ( wirbelfrei)

$\Rightarrow i{\bar {k}}\times {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0\Rightarrow {\bar {k}}||{\bar {E}}({\bar {r}},t)$

Für $\rho =0$ ist wegen $\nabla \cdot {\bar {E}}({\bar {r}},t)=0$ das elektrische Feld transversal. Wegen $\nabla \cdot {\bar {B}}({\bar {r}},t)=0$ ist das magnetische Feld stets transversal !

Weiter folgt aus:

$\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\dot {\bar {B}}}=0$

dass die transversale Komponente des elektrischen Feldes durch die zeitliche Änderung des Magnetfeldes gegeben ist !

${\begin{aligned}&\nabla \times {\bar {E}}({\bar {r}},t)+{\dot {\bar {B}}}=0\\&\Rightarrow \left(i{\bar {k}}\times {{\bar {E}}_{0}}-i\varpi {{\bar {B}}_{0}}\right){{e}^{i\left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)}}=0\\&\varpi =c\left|{\bar {k}}\right|\\&\Rightarrow {{\bar {B}}_{0}}={\frac {1}{c}}{\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}\times {{\bar {E}}_{0}}:={\frac {1}{c}}{\bar {n}}\times {{\bar {E}}_{0}}\\\end{aligned}}$

Folglich bilden ${\bar {k}},{{\bar {E}}_{0}},{{\bar {B}}_{0}}$ ein Rechtssystem !

Die Richtung von $\operatorname {Re} \left\{{{\bar {E}}_{0}},{{\bar {B}}_{0}}\right\}$ legt die Polarisation fest:

Sei ${\bar {k}}||{{\bar {e}}_{3}}$ - Achse, also:

${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{0}}={{E}_{01}}{{\bar {e}}_{1}}+{{E}_{02}}{{\bar {e}}_{2}}\\&{{E}_{0i}}={{a}_{i}}{{e}^{i{{\delta }_{i}}}}\in C\\&{{a}_{i}},{{\delta }_{i}}\in R\\&i=1,2\\\end{aligned}}$

Das physikalische Feld ergibt sich zu ${\begin{aligned}&{{\bar {E}}_{1}}({\bar {r}},t)=\operatorname {Re} \left\{{{a}_{1}}{{e}^{i\left({{\delta }_{1}}+{\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)}}\right\}={{a}_{1}}\cos \left(\phi +{{\delta }_{1}}\right)\\&\phi :={\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\\\end{aligned}}$

und

${{\bar {E}}_{2}}({\bar {r}},t)=\operatorname {Re} \left\{{{a}_{2}}{{e}^{i\left({{\delta }_{2}}+\phi \right)}}\right\}={{a}_{2}}\cos \left(\phi +{{\delta }_{2}}\right)$

Aus

${\begin{aligned}&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}({\bar {r}},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{1}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{1}}\\&{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}({\bar {r}},t)=\cos \phi \cos {{\delta }_{2}}-\sin \phi \sin {{\delta }_{2}}\\\end{aligned}}$

Kann $\phi$ und somit $\left({\bar {r}},t\right)$ eliminiert werden:

${\begin{aligned}&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\sin {{\delta }_{2}}-{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\sin {{\delta }_{1}}=\cos \phi \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\&{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\cos {{\delta }_{2}}-{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\cos {{\delta }_{1}}=\sin \phi \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\&\Rightarrow {{1}^{2}}+{{2}^{2}}\Rightarrow {{\left({\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\right)}^{2}}-2{\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}{\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)={{\sin }^{2}}\left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch eine Ellipsengleichung für ${{\bar {E}}_{1}},{{\bar {E}}_{2}}$

Der Feldvektor ${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ läuft als Funktion von $\phi$ auf einer Ellipse senkrecht zu ${\bar {k}}$ um die Achse der Ausbreitungsrichtung. Man spricht von elliptischer Polarisation:

Dabei entspricht die Darstellung dem Ortsvektor ${\bar {r}}$ für eine feste Zeit t oder der vorhergehenden zeit -t für einen festen Ort ${\bar {r}}$ .

Spezialfälle:

Linear polarisierte Welle:

${\begin{aligned}&{{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+n\pi \Rightarrow \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=0,\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=\pm 1\\&\Rightarrow {\frac {{\bar {E}}_{1}}{{a}_{1}}}\pm {\frac {{\bar {E}}_{2}}{a2}}=0\\\end{aligned}}$

Dies ist jedoch eine Geradengleichung:

${\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}\cos \phi ({\bar {r}},t)$

mit reeller Amplitude

${{\bar {E}}_{0}}$

Zirkular polarisierte Welle

${\begin{aligned}&a1=a2=a\\&{{\delta }_{1}}={{\delta }_{2}}+\left(2n+1\right){\frac {\pi }{2}}\Rightarrow \sin \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=\pm 1,\cos \left({{\delta }_{2}}-{{\delta }_{1}}\right)=0\\&\Rightarrow {{\bar {E}}_{1}}^{2}+{{\bar {E}}_{2}}^{2}={{a}^{2}}\\\end{aligned}}$

Dies entspricht der Überlagerung zweier linear polarisierter Wellen, die um ${\frac {\pi }{2}}$ phasenverschoben sind ! Der Feldvektor des elektrischen Feldes läuft auf einem Kreis um

${\bar {E}}({\bar {r}},t)=a\left({\begin{matrix}\cos \phi \\\pm \sin \phi \\\end{matrix}}\right)$

Je nach Vorzeichen spricht man von links- bzw. rechtszirkular polarisiertem Licht:

Dabei läuft ${\bar {B}}({\bar {r}},t)$ dem ${\bar {E}}({\bar {r}},t)$ - Vektor um ${\frac {\pi }{2}}$ verschoben nach bzw. voraus !

Energiedichte der elektromagnetischen Welle:

${{\bar {E}}_{0}}({\bar {r}},t)$ reell: ${\begin{aligned}&{\bar {E}}({\bar {r}},t)={{\bar {E}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)\\&{\bar {B}}({\bar {r}},t)={{\bar {B}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)\\\end{aligned}}$

mit

${{\bar {B}}_{0}}={\frac {1}{c}}{\bar {n}}\times {{\bar {E}}_{0}}$

Die Energiedichte ergibt sich gemäß

$w={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}+{\frac {1}{2{{\mu }_{0}}}}{{\bar {B}}^{2}}={\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}+{\frac {1}{2{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}}{{\bar {E}}^{2}}=2{\frac {{\varepsilon }_{0}}{2}}{{\bar {E}}^{2}}$

Für die Energiestromdichte gilt:

${\begin{aligned}&{\bar {S}}={\frac {1}{{\mu }_{0}}}{\bar {E}}\times {\bar {B}}\\&{\bar {S}}={\frac {1}{c{{\mu }_{0}}}}{\bar {E}}\times \left({\bar {n}}\times {\bar {E}}\right)={\sqrt {\frac {{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}{{\bar {E}}^{2}}{\bar {n}}=c{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}{\bar {n}}=cw{\bar {n}}\\\end{aligned}}$

Also: Die Energie wird mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung ${\bar {n}}={\frac {\bar {k}}{\left|{\bar {k}}\right|}}$ transportiert Für ine Kugelwelle: ${\bar {E}}({\bar {r}},t)={\frac {1}{r}}{{\bar {E}}_{0}}\cos \left({\bar {k}}{\bar {r}}-\varpi t\right)$ verteilt sich die Energie auf eine Kugelschale:

für die Energie in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke dr gilt:

$W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}},t)$

Dabei kann der Exponent der Feldfunktion zeitlich gemittelt werden ( sinus²) und es ergibt sich ein Faktor 1/2:

$W(r)=4\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{{\bar {E}}^{2}}({\bar {r}},t)=2\pi {{r}^{2}}dr{{\varepsilon }_{0}}{\frac {{{\bar {E}}_{0}}^{2}}{{r}^{2}}}=const.$

Retardierte Potenziale

Aufgabe Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentz- Eichung:

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

zu vorgegebenen erzeugenden Quellen $\rho \left({\bar {r}},t\right),{\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)$ und Randbedingungen $\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\to 0f{\ddot {u}}r\quad {\bar {r}}\to \infty$

Methode: Greensche Funktion verwenden:

$G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)$

In der Elektrodynamik:

$\#u\left({\bar {r}},t\right)=-f\left({\bar {r}},t\right)$

mit

${\begin{aligned}&u\left({\bar {r}},t\right):=\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\\&f\left({\bar {r}},t\right)={\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}},{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Fourier- Trafo:

${\begin{aligned}&{{\hat {\#}}^{-1}}:=-{\hat {G}}\\&\Rightarrow {\hat {u}}\left({\bar {k}},\omega \right)={\hat {G}}{\hat {f}}\left({\bar {k}},\omega \right)\\\end{aligned}}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$u\left({\bar {r}},t\right)=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{\infty }{dt{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)$

mit

$\#G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\delta \left(t-t{\acute {\ }}\right)$

Vergleiche: Elektrostatik:

$\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\rho \left({\bar {r}}\right)$

Fourier- Trafo:

${\begin{aligned}&{{\Delta }^{-1}}:=-{\hat {G}}\\&\Rightarrow {\hat {\Phi }}\left({\bar {k}}\right)={\hat {G}}{\hat {\rho }}\\&{\hat {G}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}{{k}^{2}}}}\\\end{aligned}}$

Rück- Trafo: es folgt schließlich:

$\Phi \left({\bar {r}}\right)=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$

mit

${\begin{aligned}&G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&\Delta G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{\frac {1}{{\varepsilon }_{0}}}\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Kausalitätsbedingung:

$G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=0$

für t<t´

Somit kann

$u\left({\bar {r}},t\right)$ nur von $f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)$ mit t´ < t beeinflusst werden

Fourier- Transformation:

${\begin{aligned}&f\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r\int _{-\infty }^{\infty }{dt}}f\left({\bar {r}},t\right){{e}^{-i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\\end{aligned}}$

Ebenso:

${\begin{aligned}&u\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow \#u\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right)\#{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\#{{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}=-\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\\end{aligned}}$

Aber es gilt:

${\begin{aligned}&\#u\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{2}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right){{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&\Rightarrow \left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right){\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right)={\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right)\\&\Rightarrow {\hat {u}}\left({\bar {q}},\omega \right)={\frac {{\hat {f}}\left({\bar {q}},\omega \right)}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\\&\Rightarrow {\hat {G}}={\frac {1}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\\\end{aligned}}$

Rücktransformation:

${\begin{aligned}&u\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\frac {{e}^{i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{\infty }{dt}}{\acute {\ }}f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right){{e}^{-i\left({\bar {q}}{\bar {r}}-\omega t\right)}}\\&u\left({\bar {r}},t\right)=\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{\infty }{dt}}{\acute {\ }}\left\{{\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\frac {{e}^{i{\bar {q}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-i\omega \left(t-t{\acute {\ }}\right)}}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}\right\}f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)\\&\Rightarrow {\frac {1}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\int _{{R}^{3}}^{}{{{d}^{3}}q\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }}{\frac {{e}^{i{\bar {q}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-i\omega \left(t-t{\acute {\ }}\right)}}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}=G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Dieses Integral hat jedoch 2 Polstellen im Integrationsbereich. Es kann nur durch Anwendung des Residuensatz (komplexe Integration) gelöst werden.

Berechnung der Greens- Funktion durch komplexe Integration

für $\omega =\pm cq$ gibt es Polstellen. Die Greensche Funktion wird eindeutig, indem der Integrationsweg um die Pole herum festgelegt wird:

Der obere Integrationsweg wird durch $\tau <0$ charakterisiert, der untere Integrationsweg durch $\tau >0$ . Dabei: $\tau =t-t{\acute {\ }}$

Das Integral über den Halbkreis:

Oberer Halbkreis: $\tau <0$

${\begin{aligned}&\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad 0\leq \phi \leq \pi \\&d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\&\left|{{e}^{-i\omega \tau }}\right|={{e}^{R\sin \phi \tau }}\\&\sin \phi >0\\&\tau <0\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\R\to \infty \\\end{matrix}}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0\\\end{aligned}}$

Unterer Halbkreis: $\tau >0$

${\begin{aligned}&\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}\quad \pi \leq \phi \leq 2\pi \\&d\omega =R\cdot {{e}^{i\phi }}id\phi \\&\left|{{e}^{-i\omega \tau }}\right|={{e}^{R\sin \phi \tau }}\\&\sin \phi <0\\&\tau >0\\&\Rightarrow {\begin{matrix}\lim \\R\to \infty \\\end{matrix}}{{e}^{R\sin \phi \tau }}=0\\\end{aligned}}$

Somit verschwinden die Beiträge aus den Kreisbögen und wir können für das problematische Integral schreiben:

$\Gamma ({\bar {q}},\tau ):=\int _{-\infty }^{\infty }{d\omega }{\frac {{e}^{-i\omega \tau }}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}=\oint \limits _{C}{d\omega }{\frac {{e}^{-i\omega \tau }}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}=2\pi i\sum \limits _{Pole}^{}{}\operatorname {Re} s{\frac {{e}^{-i\omega \tau }}{\left({{q}^{2}}-{\frac {{\omega }^{2}}{{c}^{2}}}\right)}}$

( Residuensatz)

Für $\tau <0$ liegen jedoch gar keine Pole im Integrationsgebiet C

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Gamma ({\bar {q}},\tau )=0\\&\Rightarrow G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=0:=G\left({\bar {s}},\tau \right)=0\\\end{aligned}}$

für t<t´

Dies ist die Kausalitätsbedingung.

Für $\tau >0$

$\Gamma ({\bar {q}},\tau )=-2\pi i\sum \limits _{\omega =\pm cq}^{}{}\operatorname {Re} s{\frac {{e}^{-i\omega \tau }}{{\frac {1}{{c}^{2}}}\left(\omega -cq\right)\left(\omega +cq\right)}}$

Das Minuszeichen kommt daher, dass der Umlauf im mathematisch negativen Sinn erfolgt:

$\oint \limits _{C}{dz}f(z)=2\pi i\sum \limits _{Pole}^{}{}\operatorname {Re} sf(z)$ ,

falls das Ringintegral gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen wird. Hier jedoch wird es im Uhrzeigersinn durchlaufen !

$\Gamma ({\bar {q}},\tau )=2\pi i{{c}^{2}}\left({\frac {{e}^{-icq\tau }}{2cq}}+{\frac {{e}^{icq\tau }}{-2cq}}\right)$

$G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{{\left(2\pi \right)}^{3}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}q{{e}^{i{\bar {q}}{\bar {s}}}}\left({\frac {{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2iq}}\right)$

Die Auswertung der Greensfunktion muss in Kugelkoordinaten erfolgen:

${\begin{aligned}&{{d}^{3}}q={{q}^{2}}dq\sin \vartheta d\vartheta d\phi \\&{\bar {q}}{\bar {s}}=qs\cos \vartheta \\&G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{{\left(2\pi \right)}^{3}}}\int \limits _{0}^{\infty }{}dqq\left({\frac {{{e}^{-icq\tau }}-{{e}^{icq\tau }}}{-2i}}\right)\int \limits _{-1}^{1}{}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}\int \limits _{0}^{2\pi }{}d\phi \\&\int \limits _{-1}^{1}{}d\cos \vartheta {{e}^{iqs\cos \vartheta }}={\frac {{{e}^{iqs}}-{{e}^{-iqs}}}{iqs}}\\&\xi :=cq\\&\Rightarrow G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{2{{\left(2\pi \right)}^{2}}s}}\int \limits _{0}^{\infty }{}d\xi \left\{{{e}^{i\left(\tau -{\frac {s}{c}}\right)\xi }}+{{e}^{-i\left(\tau -{\frac {s}{c}}\right)\xi }}-{{e}^{i\left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)\xi }}-{{e}^{-i\left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)\xi }}\right\}\\&\Rightarrow G({\bar {s}},\tau )={\frac {c}{4\pi s}}\int \limits _{0}^{\infty }{}d\xi \left\{\delta \left(\tau -{\frac {s}{c}}\right)-\delta \left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)\right\}\\&\delta \left(\tau +{\frac {s}{c}}\right)=0\quad f{\ddot {u}}r\ \tau >0\\\end{aligned}}$

Also lautet das Ergebnis:

$G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }})=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\delta \left(t-t{\acute {\ }}-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\\0\quad \quad \quad \quad \quad t<t{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right.\ t>t{\acute {\ }}$

Retardierte Greensfunktion (kausal)

Physikalische Interpretation

$G({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }})$ ist das Potenzial $\Phi ({\bar {r}},t)$ , das von einer punktförmigen Ladungsdichte

${\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}=\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\delta \left(t-t{\acute {\ }}\right)$

am Punkt ${\bar {r}}{\acute {\ }}$ zur Zeit t´ erzeugt wird.

Die Eigenschaften:

• Kausalität
• Ausbreitung der Punktstörung als KUGELWELLE mit der Phasengeschwindigkeit c:
• $\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|=c\left(t-t{\acute {\ }}\right)$

Nebenbemerkung:

Für den Integrationsweg

Oberer Halbkreis: $\tau <0$

Unterer Halbkreis: $\tau >0$

erhält man die avancierte Greensfunktion ( =0 für t > t´). Diese beschreibt eigentlich eine einlaufende Kugelwelle, welche sich an ${\bar {r}}{\acute {\ }}$ zur zeit t´ zusammenzieht !

Mit

$G({\bar {r}},t)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\delta \left(t-t{\acute {\ }}-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}f\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)$

folgt dann für die retardierten Potenziale für beliebige Ladungs- und Stromverteilungen

$\rho \left({\bar {r}},t\right),{\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)$

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}$

Die retardierten Potenziale $\Phi \left({\bar {r}},t\right),{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ sind bestimmt durch ${\bar {r}}{\acute {\ }}$ zu retardierten Zeiten $t{\acute {\ }}=t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}$ . Dies berücksichtigt die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von elektromagnetischen Wellen mit Lichtgeschwindigkeit c.

Multipolstrahlung

Ziel:

Die retardierten Potenziale sollen für räumlich lokalisierte und zeitabhängige Ladungs- und Stromverteilungen analog zu den statischen Multipolentwicklungen für große Abstände von der Quelle, also r>>r´ entwickelt werden.

Voraussetzung: Lorentz- Eichung

${\dot {\Phi }}\left({\bar {r}},t\right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0$

Somit kann aus ${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)$ dann $\Phi \left({\bar {r}},t\right)$ und somit auch ${\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)$

${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)$ berechnet werden.

1. Näherung:

r>>a ( Ausdehnung der Quelle)

Mit

${\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={\frac {1}{r}}+{\frac {1}{{r}^{3}}}\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)+...$

folgt:

${\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi r}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)+{\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$

Das heißt, es werden nur Terme bis zur zweiten Ordnung berücksichtigt !

1. Näherung

${\begin{aligned}&t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\approx t-{\frac {r}{c}}+{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}+....\\&t-{\frac {r}{c}}:=\tau \\\end{aligned}}$

Diese Näherung sollte gut sein, falls $\tau >>{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}\approx {\frac {a}{c}}$

Also: Die Retardierung zum Aufpunkt r sollte wesentlich größer sein als die relative Retardierung der einzelnen Punkte der Quelle untereinander !

a~ Ausdehnung der Quelle

$\tau$ ist etwa die charakteristisch zeit für die Änderung von ${\bar {j}}$

Beispielsweise: harmonische Erregung:

${\begin{aligned}&{\bar {j}}{\tilde {\ }}{{e}^{i\omega t}}\\&\omega \tau =!=2\pi \Rightarrow \tau ={\frac {2\pi }{\omega }}={\frac {2\pi }{ck}}={\frac {\lambda }{c}}\\&\Rightarrow a<<\lambda \\\end{aligned}}$

Die Ausdehnung der Quelle müsste also deutlich kleiner sein als die Wellenlänge des abgestrahlten Lichtes !

Dann gilt:

${\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\approx {\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {r}{c}}\right)+{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}{\frac {\partial {\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},t-{\frac {r}{c}}\right)}{\partial \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}={\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)+{\frac {{\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}}{cr}}{\frac {\partial \ {\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)}{\partial \tau }}$

Also folgt für das Vektorpotenzial:

Die niedrigste or5dnung verschwindet nicht, da im Gegensatz zu Paragraph § 2.4 die Divergenz des Stromes nicht verschwindet:

$\nabla \cdot {\bar {j}}\neq 0$

Mit:

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)={{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)+{{j}_{k}}$

mit der Kontinuitäätsgleichung:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=-{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\&\Rightarrow {{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)={{j}_{k}}-{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\\end{aligned}}$

und wegen

$\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)=0$ (Gauß)

folgt dann:

${\begin{aligned}&\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left({{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)=0=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left({{j}_{k}}-{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right)\\&\Rightarrow \int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=:{\dot {\bar {p}}}\left(\tau \right)}\\\end{aligned}}$

mit dem elektrischen Dipolmoment:

${\bar {p}}\left(\tau \right)=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)$

Somit für die erste Ordnung:

${{\bar {A}}^{(1)}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

Elektrische Dipolstrahlung

Interpretation: Hertzscher Dipol ( H hertz, 1857-1894)

${\bar {p}}\left(t\right)={\bar {p}}\left({{t}_{0}}\right){{e}^{-i\omega t}}$

${\bar {p}}$

${\begin{aligned}&{{\bar {A}}^{(1)}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {-i\omega {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}}{4\pi }}{\frac {{\bar {p}}\left({{t}_{0}}\right){{e}^{-i\omega \left(t-{\frac {r}{c}}\right)}}}{r}}={\frac {-i\omega {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}}{4\pi }}{\frac {{\bar {p}}\left({{t}_{0}}\right){{e}^{i\left(kr-\omega t\right)}}}{r}}\\&k:={\frac {\omega }{c}}\\\end{aligned}}$

Die Kugelwelle !

Bestimmung des skalaren Potenzials mit Hilfe Lorentzeichung:

${\begin{aligned}&{\dot {\Phi }}\left({\bar {r}},t\right)+{{c}^{2}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=0\\&\Rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\nabla \left[{\frac {1}{r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\nabla \left[{\frac {1}{r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]+{{\Phi }_{stat.}}\left({\bar {r}}\right)\\&{{\Phi }_{stat.}}\left({\bar {r}}\right)=0(obda)\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\nabla \left[{\frac {1}{r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}\left[{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)+{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\right]\\&{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right){\tilde {\ }}{\frac {1}{r}}\\&{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right){\tilde {\ }}{\frac {1}{{r}^{2}}}\\\end{aligned}}$

Grenzfälle:

1) Fernzone / Wellenzone:

${\begin{aligned}&r>>\lambda >>\left(a\right)\Leftrightarrow kr>>1\Leftrightarrow {\frac {\omega }{c}}r>>1\\&\Rightarrow {\frac {1}{c}}{\dot {\bar {p}}}{\tilde {\ }}{\frac {\omega }{c}}{\bar {p}}>>{\frac {\bar {p}}{r}}\\\end{aligned}}$

In der Fernzone ist die Retardierung sehr wichtig !!

Es gilt die Näherung

$\Phi {{\left({\bar {r}},t\right)}_{fern}}\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

2) Nahzone: ( quasistatischer Bereich):

${\begin{aligned}&\lambda >>r>>>\left(a\right)\\&\Leftrightarrow kr<<1\Leftrightarrow {\frac {\omega }{c}}r<<11\\&\Rightarrow {\frac {1}{c}}{\dot {\bar {p}}}{\tilde {\ }}{\frac {\omega }{c}}{\bar {p}}<<{\frac {\bar {p}}{r}}\\\end{aligned}}$

Also:

$\Phi \left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

Dies kann man noch entwickeln nach

${\bar {p}}\left(t\right)$ . dadurch entstehen Terme:

${\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t\right)-{\frac {1}{{r}^{3}}}{\frac {r}{c}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t\right)$

Diese kompensieren sich gegenseitig. Also: Die Retardierung kompensiert den ${\dot {\bar {p}}}\left(t\right)$ - Term.

Wir schreiben:

$\Phi \left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {r}}{\bar {p}}\left(t\right)$

in guter Näherung ein instantanes Dipolpontenzial ( in der Nahzone ist die Retardierung zu vernachlässigen).

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung

$\Phi {{\left({\bar {r}},t\right)}_{fern}}\approx {\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}}}{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\bar {r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)$

${\begin{aligned}&{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\nabla \times {\frac {1}{r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi c}}{\frac {1}{{r}^{2}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]+O\left({\frac {1}{{r}^{2}}}\right)\\&{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)=-\nabla \Phi \left({\bar {r}},t\right)-{\dot {\bar {A}}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {1}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{c}^{2}}}}{\frac {1}{{r}^{3}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]\times {\bar {r}}+O\left({\frac {1}{{r}^{2}}}\right)\\\end{aligned}}$

Es gilt:

${\begin{aligned}&{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)\times {\frac {\bar {r}}{r}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi c}}{\frac {1}{{r}^{3}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]\times {\bar {r}}={\frac {1}{c}}{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right)\\&{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi c}}={\frac {{{\mu }_{0}}{{\varepsilon }_{0}}}{4\pi c{{\varepsilon }_{0}}}}={\frac {1}{4\pi {{c}^{3}}{{\varepsilon }_{0}}}}\\\end{aligned}}$

F Fazit:

${\bar {r}},{\bar {E}}\left({\bar {r}},t\right),{\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)$

bilden für Dipolstrahlung ein Rechtssystem, r, B und E stehen senkrecht aufeinander ! Allerdings als Ausbreitung einer freien Kugelwelle nur in der Fernzone !!

Nebenbemerkung: In der Nahzone gilt immer noch wegen $\nabla \cdot {\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=0$ , dass r und B senkrecht stehen.

Aber: das elektrische Feld hat neben der senkrechten Komponente , die zu r senkrecht steht ( transversale Komponente) noch longitudinale Anteile ( E- parallel, die zu r parallel sind).

Poynting- Vektor ( Energiestromdichte)

${\begin{aligned}&{\bar {S}}={\bar {E}}\times {\bar {H}}={\frac {-1}{{\mu }_{0}}}{\bar {B}}\times {\bar {E}}={\frac {-c}{{{\mu }_{0}}r}}{\bar {B}}\times \left({\bar {B}}\times {\bar {r}}\right)={\frac {-c}{{{\mu }_{0}}r}}\left[\left({\bar {B}}\cdot {\bar {r}}\right){\bar {B}}-{{B}^{2}}{\bar {r}}\right]\\&\left({\bar {B}}\cdot {\bar {r}}\right)=0\\&\Rightarrow {\bar {S}}={\frac {c}{{{\mu }_{0}}r}}{{B}^{2}}{\bar {r}}\\\end{aligned}}$

${\bar {B}}\left({\bar {r}},t\right)=\nabla \times {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)\approx {\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi }}\nabla \times {\frac {1}{r}}{\dot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\frac {{\mu }_{{\acute {\ }}0}}{4\pi c}}{\frac {1}{{r}^{2}}}\left[{\ddot {\bar {p}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}\right]+O\left({\frac {1}{{r}^{2}}}\right)$

Also:

entspricht

$l=1,m=0$

Abstrahl- Charakteristik des Hertzschen Dipols:

${\begin{aligned}&{\bar {p}}(t)={{\bar {p}}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}\\&{{\left|{\ddot {\bar {p}}}\right|}^{2}}={{\bar {p}}_{0}}^{2}{{\omega }^{4}}\\\end{aligned}}$

Stark Richtungs- und stark frequenzabhängig !! höhere Frequenzen werden mit 4. Potenz besser abgestrahlt ! Nebenbemerkung: Die gemachte Rechnung ist eine Näherung für eine lineare Antenne

Magnetische Dipol- und Quadrupolstrahlung

Die niedrigste Ordnung der Mutipolentwicklung von ${\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$ (mit der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot {\bar {A}}({\bar {r}})=0$ )

mit den Randbedingungen ${\bar {A}}({\bar {r}})\to 0$ für r-> unendlich verschwindet für eine quellenfreie Stromdichte:

Taylorentwicklung nach ${\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}$ von analog zum elektrischen Fall: Die Stromverteilung ${\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$ sei stationär für $r>>r{\acute {\ }}$

${\frac {1}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}={\frac {1}{r}}+{\frac {1}{{r}^{3}}}\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)+...$

${\bar {A}}({\bar {r}})={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi r}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})+{\frac {{\mu }_{0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\int _{{R}^{3}}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)+...$

Monopol- Term

Mit

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]={{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right)+{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\cdot \left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{{x}_{k}}{\acute {\ }}\right)$

Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})=0$

${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]={\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\cdot \left({{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}{{x}_{k}}{\acute {\ }}\right)={{j}_{l}}{{\delta }_{kl}}={{j}_{k}}$

Mit ${{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]={{j}_{k}}$ folgt dann:

$\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{j}_{k}}({\bar {r}}{\acute {\ }})=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot \left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]=\oint \limits _{S\infty }{d{\bar {f}}}\left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}{\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }})\right]=0$

Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie.

Also: Falls

${\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )$ quellenfrei und damit divergenzfrei, so verschwindet die niedrigste Ordnung der Entwicklung von A: Mit Hilfe der Kontinuitätsgleichung:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )=-{\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho ({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )=0\\&\Rightarrow {\dot {\bar {p}}}(\tau )=\int _{}^{}{}{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\bar {r}}{\acute {\ }}{\dot {\rho }}=0\\&\Rightarrow {{A}^{(1)}}={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi r}}{\dot {\bar {p}}}(\tau )\equiv 0\\\end{aligned}}$

Im Herztschen Dipol existiert keine Ausstrahlung ( In der Hertzschen Dipol- Näherung)

Beispiel: geschlossene Leiterschleife ( sogenannte Rahmenantenne):

Mit

$I(t)={{I}_{0}}{{e}^{-i\omega t}}$

2. Ordnung:

${{\bar {A}}^{(2)}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\left({\bar {r}}\cdot {\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\left(1+{\frac {r}{c}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right){\bar {j}}({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau )}$

Mit

${\begin{aligned}&\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\bar {j}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)={\frac {1}{2}}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\times {\bar {j}}\right)\times {\bar {r}}+{\frac {1}{2}}\left[\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\bar {j}}+\left({\bar {r}}{\bar {j}}\right){\bar {r}}{\acute {\ }}\right]\\&und\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\left[{{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\bar {j}}\right]=\left[\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{j}_{k}}+{{x}_{k}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}}{\bar {j}}\right)+{{x}_{k{\acute {\ }}}}\left({\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}\right]\\&{{\nabla }_{r{\acute {\ }}}}\cdot {\bar {j}}=-{\frac {\partial }{\partial \tau }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\\end{aligned}}$

Kontinuitätsgleichung Dann folgt integriert:

Der zweite Term rechts kann durch den Tensor des elektrischen Quadrupolmoments ausgedrückt werden ( vergl. S. 15, Elektrostatik):

${\bar {\bar {Q}}}\left(\tau \right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)}\left(3{\bar {r}}{\acute {\ }}\otimes {\bar {r}}{\acute {\ }}-r{{\acute {\ }}^{2}}{\bar {\bar {1}}}\right)=:{\tilde {\bar {\bar {Q}}}}-{\frac {1}{3}}\left(tr\left({\tilde {\bar {\bar {Q}}}}\right)\right){\bar {\bar {1}}}$

Falls

${\tilde {Q}}\left(\tau \right)$ oszilliert ( sogenannter "breathing mode"), gibt

${\frac {1}{3}}\left(tr\left({\tilde {\bar {\bar {Q}}}}\right)\right){\bar {\bar {1}}}$

keinen Beitrag zu

${\bar {E}},{\bar {B}}$

• verschwindet durch Eichtrafo innerhalb der Klasse der Lorentz- Eichungen

-> ${\bar {\bar {Q}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}=3\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)}{\bar {r}}{\acute {\ }}\left({\bar {r}}{\acute {\ }}\cdot {\bar {r}}\right)$

Also:

${\begin{aligned}&{{\bar {A}}^{(2)}}\left({\bar {r}},t\right)={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi {{r}^{3}}}}\left(1+{\frac {r}{c}}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\right)\left[{\bar {m}}\left(\tau \right)\times {\bar {r}}+{\frac {1}{6}}{\dot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}\right]\\&={\frac {{\mu }_{0}}{4\pi }}\left({\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {m}}\times {\bar {r}}+{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\dot {\bar {m}}}\times {\bar {r}}+{\frac {1}{6{{r}^{3}}}}{\dot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}+{\frac {1}{6c{{r}^{2}}}}{\ddot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}\right)\\\end{aligned}}$

Mit der magnetischen Dipolstrahlung

${\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {m}}\times {\bar {r}}+{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\dot {\bar {m}}}\times {\bar {r}}$

und elektrischer Quadrupolstrahlung

${\frac {1}{6{{r}^{3}}}}{\dot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}+{\frac {1}{6c{{r}^{2}}}}{\ddot {\bar {\bar {Q}}}}\left(\tau \right)\cdot {\bar {r}}$

Die magnetische Dipolstrahlung kann mit Hilfe

$\nabla \times {\frac {1}{r}}{\bar {m}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)={\frac {1}{{r}^{3}}}{\bar {m}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}+{\frac {1}{c{{r}^{2}}}}{\dot {\bar {m}}}\left(t-{\frac {r}{c}}\right)\times {\bar {r}}$

schreiben als:

Die magnetische Dipolstrahlung

Skalares Potenzial aus der Lorentz- Eichung

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial t}}\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{{c}^{2}}\nabla \cdot {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}}{4\pi }}\nabla \cdot \left(\nabla \times {\frac {1}{r}}{\bar {m}}\right)\equiv 0\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}}\right)=!=0\\\end{aligned}}$

O.B.d.A.: Es existiere kein statisches Potenzial/ es wird auf Null gesetzt

Berechnung der Felder in Fernfeldnäherung:

das elektrische Feld ergibt sich wie für die elektrische Dipolstrahlung

Nebenbemerkung

Für Systeme von Teilchen mit gleicher spezifischer Ladung ${\frac {q}{m}}$

ist

${\bar {p}}{\tilde {\ }}{\bar {R}}$ (Schwerpunkt) und

${\bar {m}}{\tilde {\ }}{\bar {L}}$ ( Gesamtdrehimpuls)

$\Rightarrow {\dot {\bar {p}}}={\dot {\bar {m}}}=0$

In diesem Fall ( vier gleiche Ladungen etc...) ist nur elektrische Quadrupolstrahlung möglich

vergleiche ART: durch die unipolarität der Masse existiert nur Gravitations- Quadrupolstrahlung

Wellenoptik und Beugung

Betrachte Ausbreitung elektromagnetischer Wellen bei gegebenen lokalisierten Quellen $\rho \left({\bar {r}},t\right)$ und ${\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)$ und bei vorgegebenen Leitern ${{L}_{\alpha }}$ im Vakuum:

Ziel

ist die Berechnung des Wellenfeldes im Außenraum V

Anwendung: Radiowellen $\lambda =1-{{10}^{4}}$ m Radar Optik $\lambda =400-800nm$ -> Beugung

Rückführung auf Randwertaufgabe

Lösung der inhomogenen Wellengleichungen in Lorentzeichung ( Potenzialgleichungen) ( vergleiche dazu 1.6 in der Elektrostatik)

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\\end{aligned}}$

Zu vorgegebenen Ladungen und Strömen. Gleichzeitig haben wir Randbedingungen auf ${{L}_{\alpha }}$

und schließlich die Kausalitätsbedingung ( Ausstrahlungsbedingung) -> Retardierung, § 4.2

Annahme:

${\begin{aligned}&\rho \left({\bar {r}},t\right)=\rho \left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\&{\bar {j}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {j}}\left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\\end{aligned}}$

Dies sollte wegen Fourier- Zerlegung bei periodischer Erregung beliebiger Art grundsätzlich möglich sein.

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\Phi \left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\&{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)={\bar {A}}\left({\bar {r}}\right){{e}^{-i\omega t}}\\\end{aligned}}$

eingesetzt in die Wellengleichung

${\begin{aligned}&\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}=\left(\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\right)\Phi \left({\bar {r}},t\right)\\&\Rightarrow \left(\Delta +{{k}^{2}}\right)\Phi \left({\bar {r}}\right)=-{\frac {\rho \left({\bar {r}}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}\\&k:={\frac {\omega }{c}}\\\end{aligned}}$

Mit der Greenschen Funktion der Wellengleichung $\#\Phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}$

$\#G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\delta \left(t-t{\acute {\ }}\right)$

Haben wir formal sofort die allgemeine Lösung:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}{{e}^{-i\omega t{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)\\&t-t{\acute {\ }}:=\tau \\&\Rightarrow \int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}{{e}^{-i\omega t{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},t-t{\acute {\ }}\right)=\int _{-\infty }^{t}{dt{\acute {\ }}}{{e}^{-i\omega t{\acute {\ }}}}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\\&=\left[\int _{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)\right]{{e}^{-i\omega t}}:={\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{e}^{-i\omega t}}\\&\int _{0}^{\infty }{d\tau }{{e}^{i\omega \tau }}G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right):={\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Somit kann die periodische Zeitabhängigkeit absepariert werden:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}\\&mit\\&\left(\Delta +{{k}^{2}}\right){\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Problem: Die Randbedingungen für $\Phi \left({\bar {r}}\right),{\bar {A}}$ sind im stationären Fall nicht bekannt, sondern müssen selbstkonsistent bestimmt werden. Man kann das Problem jedoch mit Hilfe des Greenschen Satzes umformulieren:

Skalare Kirchhoff- Identität

( eine notwendige, nicht hinreichende Bedingung für Lösung):

Skalar: Wir beschreiben keine Polarisationseffekte !!! Alle Polarisationseffekte sind vernachlässigt. Das hat man unter dem Begriff Skalar an dieser Stelle zu verstehen !

Weiter: Greenscher Satz:

$\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left(\phi \nabla \Psi -\Psi \nabla \phi \right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\left(\phi \Delta \Psi -\Psi \Delta \phi \right)$

Setze:

${\begin{aligned}&\Psi ({\bar {r}})={\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\&\phi ({\bar {r}})=\Phi \left({\bar {r}}\right)\\\end{aligned}}$

Dabei sei das Potenzial als Lösung angenommen:

${\begin{aligned}&\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left(\Phi \left({\bar {r}}\right)\nabla {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\nabla \Phi \left({\bar {r}}\right)\right)=\int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\left(\Phi \left({\bar {r}}\right)\Delta {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)\right)\\&\Delta {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\delta \left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{{k}^{2}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\&\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)={\frac {-\rho }{{\varepsilon }_{0}}}-{{k}^{2}}\Phi \left({\bar {r}}\right)\\&\Rightarrow \int _{V}^{}{{{d}^{3}}r}\left(\Phi \left({\bar {r}}\right)\Delta {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)-{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\Delta \Phi \left({\bar {r}}\right)\right)=-\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\&\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left({\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\nabla \Phi \left({\bar {r}}\right)-\Phi \left({\bar {r}}\right)\nabla {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\right)=\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\\\end{aligned}}$

Also:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}}\left({\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\nabla \Phi \left({\bar {r}}\right)-\Phi \left({\bar {r}}\right)\nabla {\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\right)\\&{\bar {r}}{\acute {\ }}\in V\\\end{aligned}}$

Dabei ist $\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$ im inneren von V durch $\Phi$ und $\nabla \Phi$ auf dem Rand festgelegt, falls die Greensfunktion

${\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)$ bekannt ist

Freier Raum: Greensfunktion des unendlichen Raumes:

Randbedingung ${\begin{matrix}\lim \\r\to \infty \\\end{matrix}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=0$

• Retardierte Potenziale ( Vergl. § 4.2):

$G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\delta \left(\tau -{\frac {\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}{c}}\right)\quad \tau >0\\0\quad \quad \quad \quad \tau <0\\\end{matrix}}\right.$

Somit:

${\begin{aligned}&{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=\int _{0}^{\infty }{d}\tau G\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }},\tau \right){{e}^{i\omega \tau }}={\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\&k:={\frac {\omega }{c}}\\\end{aligned}}$

Es folgt für das Potenzial:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{e}^{-i\omega t}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{{e}^{-i\omega t}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}\\&\Phi \left({\bar {r}},t\right)=\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}{\frac {{e}^{i\left(k\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|-\omega t\right)}}{4\pi \left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\frac {\rho \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}{{\varepsilon }_{0}}}}\\\end{aligned}}$

beschreibt eine Überlagerung auslaufender Kugelwellen-> Lösung als Entwicklung in Kugelwellen. ( Ausstrahlbedingung, Konsequenz der Kausalität).

Mit

${\bar {R}}:={\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}$

lautet die Kirchhoff- Identität:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t\right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\partial V}^{}{d{{\bar {f}}_{R}}}\left[{\frac {{e}^{ikR}}{R}}{{\nabla }_{r}}\Phi \left({\bar {r}}\right)-\Phi \left({\bar {r}}\right){{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\right]\\&{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}={\frac {{e}^{ikR}}{R}}\left(ik-{\frac {1}{R}}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}\\\end{aligned}}$

Dazu eine Grafik:

Mittels $d{\bar {f}}{\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}=df\cos \vartheta$

und über Beschränkung auf Fernzone von $\partial V$ , also R >> 1/k gilt:

$\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }},t\right)={\frac {1}{4\pi }}\int _{\partial V}^{}{d{{f}_{R}}}\left[{\frac {\partial }{\partial n}}\Phi \left({\bar {r}}\right)-ik\Phi \left({\bar {r}}\right)\cos \vartheta \right]{\frac {{e}^{ikR}}{R}}$

Mit der richtungsabhängigen Amplitude $\left[{\frac {\partial }{\partial n}}\Phi \left({\bar {r}}\right)-ik\Phi \left({\bar {r}}\right)\cos \vartheta \right]$ und der Kugelwelle ${\frac {{e}^{ikR}}{R}}$ . Beides zusammen ergeben sogenannte Sekundärwellen.

Insgesamt ist dies die exakte ( mathematische) Formulierung des Huygensschen Prinzips ( jeder Punkt an der Oberfläche des Hindernisses ist Ausgangspunkt einer Kugelwelle). deren phasengerechte Überlagerung ergibt dann das Wellenfeld in r´

b) Greensfunktion zu Randbedingungen

${\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right){{\left.{}\right|}_{\begin{smallmatrix}{\bar {r}}\in \partial V\\{\bar {r}}{\acute {\ }}\in V\end{smallmatrix}}}=0$

$\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}\Phi \left({\bar {r}}\right){{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}$

Die neue Greensfunktion unterscheidet sich von der alten nur durch eine additive Lösung g der homogenen Wellengleichung:

${\begin{aligned}&{\tilde {G}}\left({\bar {R}}\right)=g\left({\bar {R}}\right)+{\frac {1}{4\pi }}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\\&\left(\Delta +{{k}^{2}}\right)g=0\\\end{aligned}}$

Mit Randbedingung

$g{{\left.{}\right|}_{\partial V}}=-{\frac {1}{4\pi }}{{\left.{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\right|}_{\partial V}}$

Beispiel für die Konstruktion von ${\tilde {G}}\left({\bar {R}}\right)$

Ebener Schirm:

Spiegelladungsmethode:

Hinter dem Schirm wird die Halbkugel im UNENDLICHEN geschlossen.

Hinter dem ebenen Schirm wenden wir die Spiegelladungsmethode an:

${\begin{aligned}&{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right)\\&\Rightarrow {{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right):={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\right)\\\end{aligned}}$

Dieser Gradient wurde einige Seiten vorher bereits gelöst:

${\begin{aligned}&{{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right):={\frac {1}{4\pi }}\left({{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}-{{\nabla }_{r}}{\frac {{e}^{ikR{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\right)\\&={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {{e}^{ikR}}{R}}\left(ik-{\frac {1}{R}}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}-{\frac {{e}^{ikR{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\left(ik-{\frac {1}{R{\acute {\ }}{\acute {\ }}}}\right){\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}\right)\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&R=R{\acute {\ }}{\acute {\ }}\\&d{\bar {f}}\cdot {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}=-d{\bar {f}}\cdot {\frac {{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}{\acute {\ }}\right|}}=+df\cos \vartheta \\&\Rightarrow d{\bar {f}}\cdot {{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}=df{\frac {1}{2\pi }}{\frac {{e}^{ikR}}{R}}\left(ik-{\frac {1}{R}}\right)\cos \vartheta \\\end{aligned}}$

Für $\lambda <<R$ ( Fernzone):

$\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-\int _{\partial V}^{}{d{\bar {f}}\Phi \left({\bar {r}}\right){{\nabla }_{r}}{\tilde {G}}\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}=-{\frac {i}{\lambda }}\int _{F}^{}{df\Phi \left({\bar {r}}\right){\frac {{e}^{ik\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}{\left|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right|}}}\cos \vartheta$

Zur Konstruktion der Lösung müssen die Randwerte ${{\left.\Phi \left({\bar {r}}\right)\right|}_{F}}$ erraten werden.

Kirchhoffsche Näherung

Beugung an Blenden B in einem ebenen Schirm:

Annahme:

${{\left.\Phi \left({\bar {r}}\right)\right|}_{S}}=0$ Das Potenzial verschwindet auf dem Schirm ( leitender Schirm)

${{\left.\Phi \left({\bar {r}}\right)\right|}_{B}}={\frac {{e}^{ik{{R}^{Q}}}}{{R}^{Q}}}$ freie einfallende Welle -> Kugelwellen in der Blende

Ro rage dabei zum Schwerpunkt der Blende

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{\frac {i}{\lambda }}\int _{B}^{}{df{\frac {{e}^{ik\left|R+{{R}^{Q}}\right|}}{R{{R}^{Q}}}}}\cos \vartheta \\&\cos \vartheta \approx const.\\\end{aligned}}$

Der Winkel ist näherungsweise konstant für kleine Blenden:

$\lambda <<d$

${\begin{aligned}&{\bar {R}}={\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\\&{{\bar {R}}^{Q}}={\bar {r}}-{{\bar {r}}^{Q}}\\&df={{d}^{2}}r\\\end{aligned}}$

Somit:

${\begin{aligned}&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=-{\frac {i}{\lambda }}{\frac {\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}}\int _{B}^{}{df}{{e}^{ik\left|R+{{R}^{Q}}\right|}}\\&\cos \vartheta \approx const.\\\end{aligned}}$

im schnell oszillierenden Exponenten darf man R und RQ nicht so ohne weiteres durch Ro / RQo ersetzen !

• typisches Näherungsverfahren in Fernfeldoptik

Grenzfälle

1. Fraunhofersche Beugung ( Fernzone:
2. $\lambda <<d<<R$
3. )

Setze ${\bar {R}}={{\bar {R}}_{0}}+{\bar {s}}$

${{R}^{2}}\approx {{R}_{0}}^{2}+2{{\bar {R}}_{0}}{\bar {s}}$

${\begin{aligned}&\Rightarrow R\approx {{R}_{0}}+{\bar {\alpha }}{\bar {s}}\\&{\bar {\alpha }}:={\frac {{\bar {R}}_{0}}{{R}_{0}}}\\\end{aligned}}$

Analog:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{R}^{Q}}\approx {{R}_{0}}^{Q}+{{\bar {\alpha }}_{0}}{\bar {s}}\\&{{\bar {\alpha }}_{0}}:={\frac {{{\bar {R}}_{0}}^{Q}}{{{R}_{0}}^{Q}}}\\\end{aligned}}$

$\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)\approx -{\frac {i}{\lambda }}{{e}^{ik\left({{R}_{0}}+{{R}_{0}}^{Q}\right)}}{\frac {\cos {{\vartheta }_{0}}}{{{R}_{0}}{{R}_{0}}^{Q}}}\int _{B}^{}{{{d}^{2}}s}{{e}^{ik\left({\bar {\alpha }}+{{\bar {\alpha }}_{0}}\right){\bar {s}}}}$

Fresnelsche Beugung ( Mittelzone: $\lambda <<R\approx d$

hier: ${{R}^{2}}={{R}_{0}}^{2}+2{{\bar {R}}_{0}}{\bar {s}}+{{s}^{2}}$ nicht genähert !!

Beispiel: Fraunhofersche Beugung am Spalt ( eindimensional):

Bei senkrechtem Einfall gilt: ${{\bar {\alpha }}_{0}}{\bar {s}}=0$

${\begin{aligned}&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=C\int _{-d/2}^{d/2}{d{{s}_{1}}}{{e}^{ik\alpha {{s}_{1}}}}\\&\alpha :=\sin {{\vartheta }_{0}}\\&{\bar {\alpha }}{\bar {s}}={{s}_{1}}\sin {{\vartheta }_{0}}\\&\Rightarrow \Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)={\frac {C}{ik\alpha }}\left({{e}^{ik\alpha {\frac {d}{2}}}}-{{e}^{-ik\alpha {\frac {d}{2}}}}\right)\\&\Phi \left({\bar {r}}{\acute {\ }}\right)=Cd{\frac {\sin \left(k\alpha {\frac {d}{2}}\right)}{k\alpha {\frac {d}{2}}}}\\\end{aligned}}$

Die Spaltfunktion, Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ( Blende)

Wir finden Beugungsminima bei den Nullstellen des Sinus ( Außer in der Mitte), also

$\sin {{\vartheta }_{0}}=n\cdot {\frac {\lambda }{d}}$

ebenso ( als ÜBUNG !!!) können dann Beugung am Gitter und an kreisförmigen Blenden berechnet werden.

Einwurf: 1. Der holografische Prozess

• 1. Aufzeichnung und Rekonstruktion

Lichtintensität einer Lichtwelle:

$I(x,y)=|O(x,y)|{}^{\text{2}}=O(x,y)\bullet O*(x,y)$

• Phaseninformationen gehen verloren
• Idee: Phaseninfo durch Interferenz aufzeichnen
• Lösung mittels eines Zweistufenprozesses: Aufzeichnung und Rekonstruktion
• Kohärenz erforderlich
• monochromatisches Licht
• unpolarisiertes Licht

1. Schritt: Die Aufzeichnungsphase

• Problem: Speichern komplexer Funktionen in einem reellen Medium
• Überlagerung der Objektwelle

$O(x,y)=|O(x,y)|\bullet \exp(i{{\varphi }_{O}}(x,y))$

• Mit einer Referenzwelle

$R(x,y)=|R(x,y)|\bullet \exp(i{{\varphi }_{R}}(x,y))$

• Auch in diesem Fall werden nur Intensitäten gespeichert. Doch diese sind nun:

$I(x,y)=|O(x,y)+R(x,y)|{}^{\text{2}}\ =\quad |O|{}^{\text{2}}\ +\ |R|{}^{\text{2}}\ +\ OR*\ +\ O*R$

$I(x,y)=|O|{}^{\text{2}}\ +\ |R|{}^{\text{2}}\ +2RO\cos[{{\varphi }_{R}}(x,y)-{{\varphi }_{O}}(x,y)]$

• Diese Intensitätsverteilung kann verstanden werden als " Hologrammfunktion" oder "Aperturefunktion"
• Planare Wellen: Fraunhofer Hologramme
• Divergierende Wellen: Fresnelhologramme
• Im obigen Bild dargestellt: Trägerfrequenzholografie
• Eigentliche Holografie: ohne Trägerfrequenz: Referenzstrahl, in den auch das Objekt gestellt wird.
• Dabei überlagern sich jedoch mehrere Ordnungen.
• Generell: verschiedenste Aufzeichnungstechniken:
• Trägerfrequenzholografie ( wie oben)
• Denisyukhologramm

2. Schritt: Rekonstruktionsphase

• Gleiche Wellenlänge wie bei Aufzeichnung rekonstruiert das Objekt
• Ansonsten: Verzerrung
• Beugung durch Hologrammstrukturen vergleichbar mit Gitter
• Motivation: Gittergeister an Gitterspektrographen
• Das Gitter kann als leeres Hologramm verstanden werden ( Überlagerung zweier ebener Wellen)
• Die Hologrammfunktion / Aperturefunktion ( bei optischen Hologrammen eine Intensitätsfunktion -> reell) moduliert dabei die einfallende Rekonstruktionswelle:

$O{\acute {\ }}=R\cdot I(x,y)=R\cdot (|O|{}^{\text{2}}+|R|{}^{\text{2}})+O\cdot |R|{}^{\text{2}}+R\cdot R\cdot O*$

• Zu beachten: komplexe Funktionen

Fresnel- und Fourier- Hologramme

• Wesentlich für Fourier- Hologramme: Aufzeichnung mittels ebener Wellen
• Linse
• Objekt in weiter Entfernung
• Wesentlich für Fresnelhologramme: Die Objektwelle ist eine Kugelwelle. Das Objekt muss sich also in der Nähe der Hologrammebene befinden.

• Fouriernäherung des Beugungsintegrals
• Fresnel- Näherung des Beugungsintegrals

• 1. Grundlagen der Beugung

• Das Beugungsintegral beschreibt die Lichterregung in der Beobachtungsebene.
• Keine Berücksichtigung der Polarisation
• Voraussetzung: kohärente Beleuchtung

• Die einfallende Welle wird mit der Aperturefunktion A(x1, y1) ( z.B. Amplitudentransparenz einer Blende oder Phasenaddition durch ein Phasenobjekt) multipliziert und dann über den gesamten Raum integriert.

• Fällt das Licht durch ein Hologramm, so muss in die Gleichungen die entsprechende Funktion der Lichttransmission, die das Hologramm beschreibt, gesetzt werden ( Hologramm-/ Aperturefunktion).

• Ausgangspunkt:

Helmholtz- Gleichung $(\nabla {}^{\text{2}}+k{}^{\text{2}})\,U({\bar {r}})=0$

mit $U({\bar {r}})={\frac {{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}o1}}{ro1}}$

• lauter Kugelwellen in x1/y1

$O(xo,yo){\tilde {\ }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)\bullet U({\bar {r}})dx1dy1}}$

$\approx {\tilde {\ }}{\frac {1}{z}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{{{e}^{ikr}}\bullet A(x1,y1)}}dx1dy1$

• Komposition des Objekts durch Interferenz aufgrund von Phasenunterschieden im Raum hinter der Blende

Reihenentwicklung des Abstandes als Näherung:

$r={\sqrt {(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}+z{}^{\text{2}}}}$

$\approx z\left[1+{\frac {(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}}{2z{}^{\text{2}}}}\right]$

Fresnel- Näherung:

• Die Hologrammfunktion / Aperturfunktion kodiert das Fresnelsche Beugungsbild

$O(xo,yo)\approx {\tilde {\ }}{\frac {{e}^{ikz}}{z}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\int \limits _{-\infty }^{\infty }{A(x1,y1)}}\bullet {{e}^{{\frac {i\pi }{\lambda z}}\left[(xo-x1){}^{\text{2}}+(yo-y1){}^{\text{2}}\right]}}dx1dy1$

Fraunhofer- Näherung:

• Aufzeichnung allgemein mit Linse
• Zur Aufzeichnung: ebene Welle erforderlich

• Das Integral entspricht einer Fouriertransformation der Hologrammfunktion/ Aperturefunktion

Aufzeichnung:

1.3 Beispiele: Einfach- und Doppelspalt

Hintergrund

• Laufstreckenunterschiede von kohärenten Lichtstrahlen bestimmen Interferenzerscheinungen

Fernfeldnäherungen/ Fouriernäherungen:

• Für schmalen Doppelspalt gilt:

$d\varphi (P)=k\cdot ds=k(r2-r1)\approx k\cdot \sin \theta \cdot a=2\pi \sin \theta \cdot {\frac {a}{\lambda }}$

$\Rightarrow \sin \theta \cdot a=m\lambda$ als Maximabedingung

Sofort ersichtlich:

• Variation des Spaltabstands variiert Phase
• Variation der Spaltbreite variiert Amplitude

• Breiter Spalt: Interferenz der Strahlen untereinander
• 1. Strahl <-> n/2 +1 , 2. Stahl <-> N/2 + 2

 $\sin \theta \cdot b=m\lambda$ als Minimabedingung

Der Einfachspalt:

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$O{\tilde {\ }}{\text{sinc(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$ entspricht Feldverteilung des E-Feldes: $E{\tilde {\ }}{\text{sinc(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

$I(\theta )={{I}_{o}}\cdot {\text{sinc }}\!\!{}^{\text{2}}\!\!{\text{ (}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

2. Doppelspalt mit endlicher Spaltbreite/ Minimalgitter:

• Lösung Gesamtproblem: Reihe von Beugungsintegralen

Amplitudenverteilung bei Einzelspalt:

$E{\tilde {\ }}{\text{sinc(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )$

• Entspricht den Beugungserscheinungen an einer Periode

Amplitudenverteilung bei mehreren schmalen Spalten/ Vielstrahlinterferenz:

$E{\tilde {\ }}\left\{{\frac {\sin({\frac {Nka}{2}}\sin(\theta ))}{\sin({\frac {ka}{2}}\sin(\theta ))}}\right\}$

$I(\theta )={{I}_{o}}{\text{sin}}{{\text{c}}^{\text{2}}}{\text{(}}{\frac {k}{2}}\cdot b\cdot \sin \theta )\cdot {{\left\{{\frac {\sin({\frac {Nka}{2}}\sin(\theta ))}{\sin({\frac {ka}{2}}\sin(\theta ))}}\right\}}^{2}}$

• Der Abstand der Spalte ist immer größer als die Breite: a>b
• Die Interferenzstreifen aus Spaltbreite modulieren mit niedriger Frequenz
• Interferenzstreifen aus Spaltanzahl modulieren mit hoher Frequenz
• Für schmale Spalte: Kammfunktion