Klein Gordon und Relativität: Unterschied zwischen den Versionen
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Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt | Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten <math>\left( {\underline{r}}',{t}' \right)</math> in S‘, für die gilt | ||
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<math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math> | <math>{{{r}'}^{2}}-{{\underbrace{c}_{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0</math> | ||
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Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB|Lorentz-Transformation}} | Die Transformation der Koordinaten<ref>Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z </ref> erfolgt nach der Lorentz-Transformation{{FB|Lorentz-Transformation}} | ||
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** invariant. | ** invariant. | ||
== Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT) == | |||
Wellengleichung{{FB|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math> | Wellengleichung{{FB|Wellengleichung:skalares klassisches Feld}} für skalares klassisches Feld <math>\varphi \left( \underline{x},t \right)</math> | ||
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* d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT | * d’Alembert-Operator <math>\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta </math>ist invariant unter LT | ||
* Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT. | * Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT. | ||
== Lösungen der Klein Gordon Gleichung == | |||
Sind ebene Wellen{{FB|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen): | Sind ebene Wellen{{FB|ebene Wellen:SRT}} (und deren Überlagerungen): |
Version vom 5. September 2010, 00:53 Uhr
Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes. |
Klein Gordon und Relativität | ||
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LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)
Einstein (SRT):
- gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
- Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe
Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz zurück.
(in S)
{{{3}}}
Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten in S‘, für die gilt
(in S‘) (1.10)
{{{3}}}
Die Transformation der Koordinaten[1] erfolgt nach der Lorentz-TransformationLorentz-Transformation
(1.11)
mit
Daraus folgt (mit v -v) (CHECK)
(1.12)
Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)
- Unter Lorentz-Transformation bleibt
- invariant.
- Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges.
- Insbesondere bleiben die LichtabständeLichtabstände
- invariant.
Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)
WellengleichungWellengleichung:skalares klassisches Feld für skalares klassisches Feld
Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \text{in S: }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0\quad \quad \text{ in {S}': }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0}
(1.13)
mit und selben c.
Zeige dass unter Lorentz-Transformation in übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.
Hierzu
AUFGABE
- d’Alembert-Operator ist invariant unter LT
- Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.
Lösungen der Klein Gordon Gleichung
Sind ebene Wellenebene Wellen:SRT (und deren Überlagerungen):
(1.14)
mit
- ↑ Hier ist die Bewegung in x-Richtung also die x-Achse ist parallel zu v und y‘=y, z‘=z