Klein Gordon und Relativität

Quantenmechanikvorlesung von Brandes

Der Artikel Klein Gordon und Relativität basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Moritz Schubotz des 1.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Brandes.

Klein Gordon und Relativität

LITERATUR: SKRIPT SCHLICKEISER (QMII BOCHUM), LEHRBUCH SCHWINGER (CLASSICAL ELECTRODYNAMICS)

Einstein (SRT):

• gleiche Naturgesetze in gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen
• Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen die selbe

Beispiel: Ein Lichtpuls im System S wird zur Zeit t=0 ausgesandt und legt nach Zeit t die Distanz $\left|r\right|=ct$zurück.

${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0$ (in S)

Derselbe Lichtpuls beobachtete vom gleichförmig gegen S bewegten System S‘ habe die neuen Koordinaten $\left({\underline {r}}',{t}'\right)$ in S‘, für die gilt

${{{r}'}^{2}}-{{\underbrace {c} _{={c}'}}^{2}}{{{t}'}^{2}}=0$ (in S‘)

(1.10)

Die Transformation der Koordinaten erfolgt nach der Lorentz-TransformationLorentz-Transformation

$\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)$

(1.11)

mit

$\beta ={\frac {v}{c}}\quad \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}$

Daraus folgt (mit v  -v) (CHECK)

$\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)=\gamma \left({\begin{matrix}1&\beta \\\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)$

(1.12)

Wir überprüfen die Übereinstimmung mit (1.10)

${\begin{aligned}&{\underline {{{{x}'}^{2}}-{{c}^{2}}{{{t}'}^{2}}}}=\left({\begin{matrix}{{x}'}&c{t}'\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&{{x}'}\\&c{t}'\\\end{aligned}}\right)={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&0\\0&-1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&-\beta \\-\beta &1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)\\&={{\gamma }^{2}}\left({\begin{matrix}x&ct\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1-{{\beta }^{2}}&0\\0&-1+{{\beta }^{2}}\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{aligned}&x\\&ct\\\end{aligned}}\right)={\underline {{{x}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}}}\end{aligned}}$

• Unter Lorentz-Transformation bleibt
• ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}$
• invariant.
  • Hier nur gezeigt für x-Koordinate; wegen Isotropie des Raumes gültig für beliebiges${\underline {r}}$.
  • Insbesondere bleiben die LichtabständeLichtabstände
  • ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=0$
  • invariant.

Invarianz der Wellengleichungen (Klein-Gordon-Gleichung) unter Lorentz-Transformation (LT)

WellengleichungWellengleichung:skalares klassisches Feld für skalares klassisches Feld $\varphi \left({\underline {x}},t\right)$

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle \text{in S: }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-{{\nabla }^{2}} \right)}_{\square }\phi \left( \underline{x},t \right)=0\quad \quad \text{ in {S}': }\underbrace{\left( {{c}^{-2}}\partial _{{{t}'}}^{2}-{{{{\nabla }'}}^{2}} \right)}_{{{\square }'}}\phi \left( {\underline{x}}',{t}' \right)=0}

(1.13)

mit ${{\nabla }^{2}}=\partial _{{x}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{x}_{2}}^{^{2}}+...\quad {{{\nabla }'}^{2}}=\partial _{{{x}'}_{1}}^{^{2}}+\partial _{{{x}'}_{2}}^{^{2}}+...$ und selben c.

Zeige dass unter Lorentz-Transformation $\square$in ${\square }'$übergeht: Lösungen φ‘ in S‘ haben dann die selbe Form wie Lösungen φ in S.

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Hierzu

${\begin{aligned}&{{\partial }_{x}}={{\partial }_{x}}\left({{x}'}\right){{\partial }_{{x}'}}+{{\partial }_{x}}\left({{t}'}\right){{\partial }_{{t}'}}=\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\\&\partial _{x}^{2}={{\partial }_{x}}{{\partial }_{x}}=\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\left\{\gamma \,{{\partial }_{{x}'}}-{\frac {\gamma \beta }{c}}{{\partial }_{{t}'}}\right\}\\&\partial _{t}^{2}\,{\text{analog}}\\\end{aligned}}$

AUFGABE

• d’Alembert-Operator $\square ={{c}^{-2}}\partial _{t}^{2}-\Delta$ist invariant unter LT
• Forminvarianz der Wellengleichung und Klein Gordon Gleichung unter LT.

Lösungen der Klein Gordon Gleichung

Sind ebene Wellenebene Wellen:SRT (und deren Überlagerungen):

$\Psi \left({\underline {x}},t\right)={{e}^{\mp {\frac {\mathfrak {i}}{\hbar }}{\sqrt {{{m}^{2}}{{c}^{4}}+{{p}^{2}}{{c}^{2}}}}\,t+i{\underline {p}}.{\underline {x}}}}$

(1.14)

mit

${\begin{aligned}&-:\,{\text{ negative Energie +}}{\sqrt {}}\\&+:\,{\text{ postivive Energie -}}{\sqrt {}}\\\end{aligned}}$