Kurzer historischer Überblick

(Rückwärtsüberblick über die Vorlesung)

A Avangado (1776-1856)

hat als einer der erste so etwas we die idealea Gasgleichung aufgeschrieben $pV=nkT$

J Losschmidt (1821-1879)

Anschätzung zur Zahl Moleküle in typischem makroskopischem Volumen von 10²³ Teilchen

J.C. Maywell (1831-1879)

berechnet erstmalig die Geschwidgkeitsverteilung des Teilchen in ein em idealn Gas

$\underbrace {w\left(v\right)} _{\begin{aligned}&{\text{Wahrscheinlichkeit beim }}\\&{\text{Reingreifen in ein}}\\&{\text{Gas ein Teilchen mit}}\\&\left|{\underline {v}}\right|{\text{=}}v{\text{ zu finden }}\\\end{aligned}}=4\pi {{\left({\frac {m}{2\pi {{k}_{B}}T}}\right)}^{3/2}}{{v}^{2}}\underbrace {\exp \left(-{\frac {m{{v}^{2}}}{2{{k}_{B}}T}}\right)} _{\begin{smallmatrix}{\text{legt einen Abschneideparameter}}\\{\text{kT}}\triangleq {\text{thermischen Energie fest}}\end{smallmatrix}}$

siehe auch [1]

J.W. Gibbs (1839-1903) u.a.

führen unabhängig von Gas Wahscheinlichkeitsverteilungen recht allgemein ein. $\left\{\left|{{\Psi }_{i}}\right\rangle \right\}$ Systemezustände mit Energie \epsilon_i treten mit Wahrscheinlichkeit ${{w}_{i}}{\tilde {\ }}\exp \left(-{\frac {{\varepsilon }_{i}}{kT}}\right)$ auf.

L. Bolzmann (1844-1906) u.a.

verbinden die Entrobie S mit den w_i 's undn führen die Temperaturdefinition über S ein:

$S=S\left(N,E,V\right)=-{{k}_{\text{B}}}\sum \limits _{i}{{p}_{i}}\ln {{w}_{i}}\rightleftharpoons {{T}^{-1}}={{\partial }_{E}}S$ (E=Energie)

man verbindet die mikroskopiscen Größen $\epsilon _{i}$ mit T, einer makroskopischen Größe.

(siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Entropie_(Thermodynamik)#Statistische_Physik)

Quantenstatistik

neben der klassischen Statistik von Maxwell gibt es die Quantenstatistik

• E. Fermi (1901-1954) --> Fermionen (halbzahliger Spin)
• N. Bose (1894-1955) --> Bose (ganzzahliger Spin)

Was ist die Wahrscheinlichkeit ein Teilchen im Zustand $\Psi _{i}$ mit Energie $\epsilon _{i}$ zu finden? $f_{{\varepsilon }_{i}}^{F/B}={\frac {1}{\exp \left(\beta \left({{\varepsilon }_{i}}\pm 1\right)\right)}}$ mit

• $F+1,B:-1$
• $\beta ={\frac {1}{kT}}$ Abkürzung für inverse thermische Energie
• $\mu$ Chemisches Potential

So wie Temeperatur Wäremeaustauisch zwischen System und Umgebung charakterisiert, so charakterisert $\mu$ den Teilchenaustausch.

Verfeinerungen jenseits ${{e}^{-{{\varepsilon }_{i}}\beta }}$ sind Quanteneffekte.

klassisch $pV=NkT{\xrightarrow {T\to 0}}0,p=0$ qantenmechanisch $pV{\xrightarrow {T\to 0}}\neq 0$ Fermigas

Druck von quantemechanischen Fermionen verschwindet bei T=0 nicht aufgrund von Unschärfe/Pauliprinzip "Fermidruck"

Schwarzkörperstrahlung

es gibt Bosonen ohne Masse \mu=0 z.B. Photonen sind masselose Bosonen M.Planck (1858-1947) leitet 1900 die spektrale Energiedichte eines Strahlers ab

$u\left(\omega \right)={\frac {16\pi \hbar }{{c}^{2}}}{\frac {\omega }{\exp \left({\frac {\hbar \omega }{kT}}\right)-1}}$

P.Debey (1884-1966)

wichtige Beiträge durch P.Debey [2] zur Materialphysik Theorie der Flüssigkeiten un der spezifischen Wärme von Festkörpern spezifisce Wäremkapazität

klassisch ${{C}_{V}}\left(T\right)=3kN\quad \forall T$ qantenmechanisch ${{C}_{V}}\left(T\to 0\right)=V{\frac {2{{\pi }^{2}}}{5{{\left(\hbar {{c}_{s}}\right)}^{3}}}}{{T}^{3}}$

L.D. Landau [3] (1908-1966) arbeitet auf dem Gebiet der Transporttheorie/ Ferromagnetismus

Ratengleichung

Beschreibung von Stößen zwischen Teilchen bisher nicht diskutiert, einfacher Ansatz sind Ratengleichungen

${{\dot {f}}_{k}}=-\sum \limits _{l}{\underbrace {{\Gamma }_{k\to l}} _{\text{Ausstreurate}}{{f}_{k}}}+\sum \limits _{l}{\underbrace {{\Gamma }_{l\to k}} _{\text{Einstreurate}}{{f}_{l}}}$

Bezetzungszahl (wie viele Teilchen sind im Mittel im Zustand k) beschreibt die Dynamik aus einem Nichtgleichgewicht in ein Gleichgewichtszustand

L. von Neumann (1903-1957)

allgemeinster Zugang zur Statistik erfolgt über die von neumann Gleichung ds Statischen Operator $\rho$

$i\hbar {\dot {\rho }}=\left[H,\rho \right]$ Dynamik eines Quantensystems in Umgebung ersetzt die Schrödingergleichung.

${\dot {\rho }}$ ist der Wahrscheinlichkeitsoperator

((Vorlesung nimmt den Weg rückwärts))