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| <math>\begin{align} | | <math>\begin{align} |
| & {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\ | | & {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\ |
| & =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\ | | & =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\ |
| & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho \right]{{U}_{0}} \\ | | & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho \right]{{U}_{0}} \\ |
| & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{0}}+{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ | | & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{0}}+{{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ |
| & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ | | & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ {{H}_{I}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ |
| & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho } \right] \\ | | & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\tilde{\rho } \right] \\ |
| \end{align}</math> | | \end{align}</math> |
| | ===Lösung=== |
| | Integrieren |
| | <math>\tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \Int:0^t [\tilde[H_I,\tilde{\rho}], dt'</math> |
Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators bestehend aus
- System
- Umgebung
- WW
Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir
- links
- und rechts zuammen mit
Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen
- Von Links ins System
- Vor Rechts ins System
- Vom System nach Links
- Vom System nach Rechts
mit
und
erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
vernichtet ...
Transformation ins WW-Bild
Operator ins WWBild
mit
und
Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung
mit der Lösung
mit
Beweis
sowie
Dann ist
beweis ende
lösung ende
Die LVN-Gln wird zu
Lösung
Integrieren
Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\Int“): {\displaystyle \tilde{\rho}=\rho_0 - \mathfrak{i} \Int:0^t [\tilde[H_I,\tilde{\rho}], dt'}