Master Gleichung: Unterschied zwischen den Versionen

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   & {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B  \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
   & {{d}_{t}}\tilde{\rho_S }=-\mathfrak{i} \operatorname{Tr}_B \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]-\int_{0}^{t}{\operatorname{Tr}_B  \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\,\tilde{\rho } \right] \right]}d{t}'
\end{align}</math>
\end{align}</math>
==Annahmen==
* WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
* no korrelation beteween System and Bath at t=0
-->
<math>{{\tilde{\rho }}_{0}}={{\rho }_{0}}={{\rho }_{S,0}}{{R}_{B,0}}</math>
* Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.
-->
<math>{{\operatorname{Tr}}_{S}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}}{{R}_{B,0}} \right]=0\Rightarrow \left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},{{\rho }_{0}} \right]=0</math>
*Dichtematrix zu t=0 Sperabel
*Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
*Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst
<math>\tilde{\rho }={{{\tilde{\rho }}}_{S,0}}{{R}_{B,0}}+O\left( {{H}_{I}} \right)</math>
===Bornsche Näherung===
* Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2
<math>{{d}_{t}}{{{\tilde{\rho }}}_{S}}=-\int_{0}^{t}{{{\operatorname{Tr}}_{B}}\left[ {{{\tilde{H}}}_{I}},\left[ \tilde{H}{{'}_{I}},\,\tilde{\rho }{{'}_{S}}{{R}_{B,0}} \right] \right]}d{t}'</math>
===Markov Näherung===
* Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab
<math>{{\rho }_{S}}=\rho {{'}_{S}}</math>

Version vom 11. September 2009, 13:44 Uhr

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators bestehend aus

  • System
  • Umgebung
  • WW

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

  • links
  • und rechts zuammen mit


Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen

  • Von Links ins System
  • Vor Rechts ins System
  • Vom System nach Links
  • Vom System nach Rechts

mit und

erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

mit und

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung

mit der Lösung

mit

Beweis

sowie

Dann ist

beweis ende

lösung ende

Die LVN-Gln wird zu



Lösung

Integrieren auf rechter Seite einsetzen

System Dichteoperator

Der Dichteoperator des Systems ist die Spur über das Bad



damit folgt für

Annahmen

  • WW zur Zeit t=0 eingeschaltet
  • no korrelation beteween System and Bath at t=0

-->

  • Kopplung Reservoiroperatoren ans System in Zustand R_0 liefern keinen Beitrag.

-->

  • Dichtematrix zu t=0 Sperabel
  • Schwache Kopplung zwischen System und Bad H_I
  • Systemgröße von B größer als S daher B nicht beeinflusst

Bornsche Näherung

  • Jetzt vernachlässigen von Termen mit Ordnung von H_I>2

Markov Näherung

  • Zukunft hängt nur von aktuellem Zustand ab