Master Gleichung

Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators $H={{H}_{S}}+{{H}_{B}}+{{H}_{I}}$ bestehend aus

• System $H_{S}$
• Umgebung $H_{B}$
• WW $H_{I}$

Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir

• links ${}^{L}{{H}_{B}}=\sum \limits _{k}{{}^{L}{{\varepsilon }_{k}}{}^{L}{{N}_{k}}}$
• und rechts ${}^{R}{{H}_{B}}=\sum \limits _{k}{{}^{R}{{\varepsilon }_{k}}{}^{R}{{N}_{k}}}$ zuammen mit ${}^{X}{{N}_{k}}={}^{X}a_{k}^{+}{}^{X}{{a}_{k}}$

Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen ${{H}_{I}}={}_{S}^{L}{{H}_{I}}+{}_{S}^{R}{{H}_{I}}+{}_{L}^{S}{{H}_{I}}+{}_{R}^{S}{{H}_{I}}$

• Von Links ins System ${}_{S}^{L}{{H}_{I}}$
• Vor Rechts ins System ${}_{S}^{R}{{H}_{I}}$
• Vom System nach Links ${}_{L}^{S}{{H}_{I}}$
• Vom System nach Rechts ${}_{R}^{S}{{H}_{I}}$

mit ${}_{S}^{X}{{H}_{I}}=\sum \limits _{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}a_{k}^{\dagger }{{e}_{i}}}$ und ${}_{X}^{S}{{H}_{I}}=\sum \limits _{k,i}{{}^{X}{{V}_{k}}^{X}{{a}_{k}}e_{i}^{\dagger }}$

${{e}_{i}}$ erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i. $e_{i}^{\dagger }$ vernichtet ...

Transformation ins WW-Bild

Operator ins WWBild

${\tilde {A}}\left(t\right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}$

mit ${{U}_{0}}=\exp \left(-{\mathfrak {i}}{{H}_{0}}t\right)$

und ${{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}$

Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\mathfrac“): {\displaystyle \dot \rho = - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]}

(mit der Lösung

$\rho \left(t\right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U$

mit $U=\exp \left(-{\mathfrak {i}}Ht\right)$

Beweis

${{\partial }_{t}}U=-{\mathfrak {i}}HU$

sowie

${{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}={\mathfrak {i}}HU$

Dann ist ${{d}_{t}}\rho =\underbrace {-{\mathfrak {i}}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}{\mathfrak {i}}H{{U}^{\dagger }}} _{-{\mathfrak {i}}\left[H,\rho \right]}+\underbrace {U\left({{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}}\right){{U}^{\dagger }}} _{0}$