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| <math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math> | | <math>\tilde{A}\left( t \right):=U_{0}^{\dagger }A{{U}_{0}}</math> |
| mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math>
| | mit <math>{{U}_{0}}=\exp \left( -\mathfrak{i}{{H}_{0}}t \right)</math> |
| und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math> | | und <math>{{H}_{0}}={{H}_{S}}+{{H}_{B}}</math> |
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| Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]] | | Starte von [[Liouville-von-Neumann-Gleichung]] |
| <math> | | <math> |
| \dot \rho = - \mathfrac{i} \left[ {H,\rho } \right]</math> | | \dot \rho = - \mathfrak{i} \left[ {H,\rho } \right]</math> |
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| (mit der Lösung
| | mit der Lösung |
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| <math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math> | | <math>\rho \left( t \right)={{U}^{\dagger }}{{\rho }_{0}}U</math> |
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| <math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math> | | <math>{{\partial }_{t}}{{U}^{\dagger }}=\mathfrak{i}HU</math> |
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| Dann ist | | Dann ist |
| <math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math> | | <math>{{d}_{t}}\rho =\underbrace{-\mathfrak{i}HU{{\rho }_{0}}{{U}^{\dagger }}+U{{\rho }_{0}}\mathfrak{i}H{{U}^{\dagger }}}_{-\mathfrak{i}\left[ H,\rho \right]}+\underbrace{U\left( {{\partial }_{t}}{{\rho }_{0}} \right){{U}^{\dagger }}}_{0}</math> |
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| | beweis ende |
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| | lösung ende |
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| | Die LVN-Gln wird zu |
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| | <math>\begin{align} |
| | & {{d}_{t}}\tilde{\rho }={{d}_{t}}\left( U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}} \right) \\ |
| | & =\mathfrak{i}{{H}_{0}}U_{0}^{\dagger }\rho {{U}_{0}}-iU_{0}^{\dagger }\rho {{H}_{0}}{{U}_{0}}+U_{0}^{\dagger }{{d}_{t}}\left( \rho \right){{U}_{0}} \\ |
| | & =\mathfrak{i}\left[ {{H}_{0}},\tilde{\rho } \right]-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ H,\rho \right]{{U}_{0}} \\ |
| | & =-\mathfrak{i}U_{0}^{\dagger }\left[ +{{H}_{SB}},\rho \right]{{U}_{0}} \\ |
| | & =-\mathfrak{i}\left[ {{{\tilde{H}}}_{SB}},\tilde{\rho } \right] \\ |
| | \end{align}</math> |
Betrachtung eines mikr. Hamiltonoperators bestehend aus
- System
- Umgebung
- WW
Die Umgebung setzt sich aus einem Reservoir
- links
- und rechts zuammen mit
Wechselwirkung besteht aus 4 Teilen
- Von Links ins System
- Vor Rechts ins System
- Vom System nach Links
- Vom System nach Rechts
mit
und
erzeugt ein Electron im System mit Energieniveau i.
vernichtet ...
Transformation ins WW-Bild
Operator ins WWBild
mit
und
Starte von Liouville-von-Neumann-Gleichung
mit der Lösung
mit
Beweis
sowie
Dann ist
beweis ende
lösung ende
Die LVN-Gln wird zu