F u ¨ r jede stetig , differentierbare Funktion f(x): [ x 0 , x 1 ] → R : ∃ ξ ∈ ( x 0 , x 1 ) : f ( x 1 ) − f ( x 0 ) = f ′ ( ξ ) ( x 1 − x 0 ) {\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{F }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r jede stetig}}{\text{, differentierbare Funktion f(x):}}\left[{{\text{x}}_{\text{0}}}{\text{,}}{{\text{x}}_{\text{1}}}\right]\to \mathbb {R} :\exists \xi \in \left({{\text{x}}_{\text{0}}}{\text{,}}{{\text{x}}_{\text{1}}}\right):\\&f\left({{x}_{1}}\right)-f\left({{x}_{0}}\right)=f'\left(\xi \right)\left({{x}_{1}}-{{x}_{0}}\right)\\\end{aligned}}}
Beweis über Satz von Rolle der im wesentlichen dasselbe aussagt wie der Mittelwertsatz jedoch gilt hier zusätzlich, dass die Funktion an den stellen x1 und x0 den selben Wert haben muss. Diesen Satz kann man durch nachrechnen des Limes beweisen.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{F }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r jede stetig}}{\text{, differentierbare Funktion f(x):}}\left[{{\text{x}}_{\text{0}}}{\text{,}}{{\text{x}}_{\text{1}}}\right]\to \mathbb {R} :\exists \xi \in \left({{\text{x}}_{\text{0}}}{\text{,}}{{\text{x}}_{\text{1}}}\right):\\&f\left({{x}_{1}}\right)-f\left({{x}_{0}}\right)=f'\left(\xi \right)\left({{x}_{1}}-{{x}_{0}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ff8e370f3a5c3af88708e3ae023a6fc4c3da53)