Prüfungsfragen:Quantenmechanik

Wiederholung: Schema der Schrödingerschen Wellenmechanik 4.1

Schrödingergleichung

• zeitabh
• zeitunabh.
• Lösung
• Quantenzahlen

Potentialtopf

Länge Volumen Energie 1/n^2

• http://de.wikipedia.org/wiki/Lippmann-Schwinger-Gleichung

induzierte Emission ?

Formalisierung der Quantenmechanik

Zeitliches Verhalten: Bewegungsgleichung und Bilder

• Festlegung Zeitentwicklung Verteilung auf Operatoren und Zustände
• Schrödingerbild Zustände zeitabh.
• Heisenbergbild Operatoren zeitabh. (Heisenberg fährt mit Hamiltonoperator im Wohnmobil, während Schrödinger zu ${\hat {H}}ause$ mit seiner Katze Hausaufgaben macht.)
• WW-Bild

WSK?? bleibt erhalten

• Unitärität des Zeitentwicklungsoperators $U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}$

Der Drehimpuls in der Quantenmechanik 4.3

Drehimpuls

Spin Bahn Kopplung

• von EM-Feld Coulomb-Eichung...
• $pA={\sqrt {(}}rxB)$???
• Energiekorrektur linear zum Magnetfeld
• Bahndrehimpulsentartung 2l+1 wird aufgehoben
• F:Aufhebung der Bahndrehimpulsentartung
  • 2l+1 fach Entartet
  • Verschiebeun gder Energieniveaus um \mu B
• Thermschema
  • Nebenquantenzahl
  • Feinstrukturaufspaltung2 zeichnen
• Spin
  • Spin-Bahn Kopplung ohne Magnetfeld
• Energiekorrekturen

(neben Darwin-Term /relativistischem Impuls)

• LS-Koppplung
• Quantenzahlen bei festem l : l=+-1/2
• Spin-Bahn-Kopplung für Wasserstoffatom

Drehimpulse in der qM=

• l=r x p
• $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{i,j,k}L_{k}$ Vertauschungsrelation
• allgemein Kommutatorrelation Quantisiert dadurch?
• Haputquantenzahl $n=1\to \infty$
• Eigenerwertproblem $L^{2}\left|lm\right\rangle =l(l+1)\left|lm\right\rangle$
  • z.B: $L_{z}\left|lm\right\rangle =m\left|lm\right\rangle$
  • gleiche Eigenfunktion $\left[L^{2},L_{z}\right]=0$ aber $\left|lm\right\rangle$ nicht Eigenvektor zu L_y da $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{i,j,k}L_{k}$ gilt
  • $\left[L_{i},L_{i}\right]=0$??
• Koordinaten von L_z: freie Wahl der Koordnaten aber nach Wahl $\left|lm\right\rangle$ nicht EV zu anderen Achsen

Pauligleichung, Spin-Bahn-Kopplung und Feinstruktur des H-Atoms

Teilchen im EM-Feld

• kanonischer Formalismus
• Hamilton mit Herleitung $H={\frac {(p-eA)^{2}}{2m}}+e\phi (+V)$ $\phi$ Kernpotential
• $p\to i\hbar \nabla$
• Glauber-Zustand $\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle$
• Lagrangegleichung für Teilchen im EM-Feld
• zeitabhängige Störung $H_{0}=p^{2}$
• vertauschung von vektorpotential und impuls
• Coulomb eichung
• $-\nabla A=0;{\hat {H}}$ nähern
  • $A=A(0)cos(kr-\omega t)\to e^{\dots }$
  • \lambda \ge Atomdurchmesser
  • zu Dipolübergängen
  • neue Quantenzahl j=l+s spin+bahndrehimpuls

Pauli Gleichung

2

• Entwicklung Dirac-Gleichung
• Abspaltung Ruheenergie

q/m(1/mc^2-1/r \partial_r \phi s.l

   $\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,mc}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,.$ 

• http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Gleichung

Näherungsmethoden

Zeitabhängige Störungsrechnung

Fermis goldene regel

gilt für t\to \infty sonst Energie Zeit unschärfe

Zeitunabhängige Störungsrechnung ohne Entartung

stationär energieerhalungssatz

Stark-Effekt im H-Atom

Wasserstoffatom

Energie 1/n^2 Glauberzustand

Chemische Bindung des H2-Moleküls

chemische Bindung

• Bild Kern Elektron
• Yukava + Coulomb Potential
• $H=H_{f}rei+H_{w}w(-e^{2}/r)$
• Atom Feld WW?
• LCAO?
• Überlapp WF \psi^2
• Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit Zeichnen

Systeme identischer Teilchen

Fockzustand z.B. Laser

• STrahlungszustände

Erwarungswert des EFELDS 0

Ununterscheidbarkeit, Fermionen, Bosonen, Pauli-Prinzip

• symmetrische und antisymmetrische WF
• Pauliprinzip

ununterscheidbarkeit

bed an observable -symmetriosierungsoperator Symmetriserung für 2 Elektronen Slater Determinante Pauli Prinzip Störungstheorie bei kostanter Störung / Übergangswahrscheinlichkeit?

Streutheorie

Dipolmatrix

[1]

Lippmann-Schwinger-Gleichung

Herleitung bis Lippmann Schwinger Gleichung

   $\psi _{k}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r^{\prime }}}\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r^{\prime }}}|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r^{\prime }}}|}}V({\vec {r^{\prime }}})\psi _{k}({\vec {r^{\prime }}})$

• Bornsche Näherung : 0. Nähering ost Lösung ohne WW einsetzen in Lippmann schnwinger gleichung → 1. näherung usw

Dynamik von Zweiniveausystemen

2-Niveau System

• absorption
• Störungsrechnung
• Übergangsrate
• konstante+periodische Störung
• auswahlregeln für dipolübergänge
• wie kammt man darauf

2.Quantisierung

• dipolmatrixelement
• Näherung für H_1= eAp+peA+eA^2
• Woher kommt das zeitabhängige Störungsrechnung
• absorption fGolden Matrixelement
• Matrixelement und Parität?
  • 1.3 WF \spi für harm OSC. --abwechselnde parität
  • Dipolübergänge \Delta l = +-1
  • entsprechung
  • funktionen senkrecht aufeinander
• Auswahlregeln!!! (f Dipolnäherung)
• Übergänge zwischen niveaus

A: Relativistische Quantentheorie

Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung

Dirac Gleichung

• Spin ist eine Beobachtungsgröße und wird erst in der relativistischen QM notwendig

und zuwar als offener Freiheitsgrad der Dirac-Gleichung

• • Zeemann Effekt [2]
• [3]
• zum Wasserstoffatom was ändert sich Störungstheorie
• Interpretation der WF
• $-dim Vektor (2+2)dim
• Spinteil
• negative Energie Diracsee aus QFT Teilchen und Antitielchen
• relativisitesche Theorie immer Vielteilcehntheorie

Übergang Pauli, Schrödinger

• • große oder kleine Komponenten bis Ordnung \beta^2 mit \beta=v/c

Verwendung Dirac Gleichung f Elektronen Spin 1/2

Klein Gordon Gleichung

  $\left[{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\mathbf {\nabla } ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right]\phi (t,\mathbf {x} )=0\,.\left(\Box +m^{2}\right)\phi (x)=0\,.$

• bedeutuung von \Psi
• Lösung : $A\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} {\bigl (}\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega \,t{\bigr )}}$
• Spin 1 Teilchen für Welche Teilechen
• Energie immer positiv
• Quantenzahlen für positive und negative Ladung
• Lagrangegleichung ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left[(\partial _{t}\varphi )^{2}-(\partial _{x}\varphi )^{2}-(\partial _{y}\varphi )^{2}-(\partial _{z}\varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right]\ ={\frac {1}{2}}\left[(\partial _{\mu }\varphi )(\partial ^{\mu }\varphi )-m^{2}\varphi ^{2}\right]\,$

für klein Gordon feld Noetherteorem Ladungserhaltung

• Quantezahlen
• vgl Schrödingergleichung
• Kontinuitätsgleichung → wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon-Gleichung
• keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation
• erhaltung der LADUNG

Aspekte der Quantenfeldtheorie

B: 2. Quantisierung für Elektronen, Zweiteilchenwechselwirkung

• Erwartungswerte des Felds in 2. Quantisierung

?$E\neq 0$ a^+, a