Prüfungsfragen:Quantenmechanik

Grundgleichungen

Dirac Gleichung

• Spin ist eine Beobachtungsgröße und wird erst in der relativistischen QM notwendig

und zuwar als offener Freiheitsgrad der Dirac-Gleichung

• • Zeemann Effekt [1]
• [2]
• zum Wasserstoffatom was ändert sich Störungstheorie

Pauli Gleichung

2

• Entwicklung Dirac-Gleichung
• Abspaltung Ruheenergie

q/m(1/mc^2-1/r \partial_r \phi s.l

   $\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,mc}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,.$ 

• http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Gleichung

Anwendungen

Teilchen im EM-Feld

• kanonischer Formalismus
• Hamilton mit Herleitung $H={\frac {(p-eA)^{2}}{2m}}+e\phi (+V)$ $\phi$ Kernpotential
• $p\to i\hbar \nabla$
• Glauber-Zustand $\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle$
• Lagrangegleichung für Teilchen im EM-Feld
• zeitabhängige Störung $H_{0}=p^{2}$
• vertauschung von vektorpotential und impuls
• Coulomb eichung
• $-\nabla A=0;{\hat {H}}$ nähern
  • $A=A(0)cos(kr-\omega t)\to e^{\dots }$
  • \lambda \ge Atomdurchmesser
  • zu Dipolübergängen
  • neue Quantenzahl j=l+s spin+bahndrehimpuls

Dipolmatrix

[3]

Drehimpuls

Spin Bahn Kopplung

• von EM-Feld Coulomb-Eichung...
• $pA={\sqrt {(}}rxB)$???
• Energiekorrektur linear zum Magnetfeld
• Bahndrehimpulsentartung 2l+1 wird aufgehoben
• F:Aufhebung der Bahndrehimpulsentartung
  • 2l+1 fach Entartet
  • Verschiebeun gder Energieniveaus um \mu B
• Thermschema
  • Nebenquantenzahl
  • Feinstrukturaufspaltung2 zeichnen
• Spin
  • Spin-Bahn Kopplung ohne Magnetfeld
• Energiekorrekturen

(neben Darwin-Term /relativistischem Impuls)

• LS-Koppplung
• Quantenzahlen bei festem l : l=+-1/2
• Spin-Bahn-Kopplung für Wasserstoffatom

Drehimpulse in der qM

• l=r x p
• $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{i,j,k}L_{k}$ Vertauschungsrelation
• allgemein Kommutatorrelation Quantisiert dadurch?
• Haputquantenzahl $n=1\to \infty$
• Eigenerwertproblem $L^{2}\left|lm\right\rangle =l(l+1)\left|lm\right\rangle$
  • z.B: $L_{z}\left|lm\right\rangle =m\left|lm\right\rangle$
  • gleiche Eigenfunktion $\left[L^{2},L_{z}\right]=0$ aber $\left|lm\right\rangle$ nicht Eigenvektor zu L_y da $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{i,j,k}L_{k}$ gilt
  • $\left[L_{i},L_{i}\right]=0$??
• Koordinaten von L_z: freie Wahl der Koordnaten aber nach Wahl $\left|lm\right\rangle$ nicht EV zu anderen Achsen

Sonstiges

Bilder in der QM

• Festlegung Zeitentwicklung Verteilung auf Operatoren und Zustände
• Schrödingerbild Zustände zeitabh.
• Heisenbergbild Operatoren zeitabh. (Heisenberg fährt mit Hamiltonoperator im Wohnmobil, während Schrödinger zu ${\hat {H}}ause$ mit seiner Katze Hausaufgaben macht. )
• WW-Bild

WSK?? bleibt erhalten

• Unitärität des Zeitentwicklungsoperators $U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}$