Prüfungsfragen:Quantenmechanik

Grundgleichungen

Dirac Gleichung

• Spin ist eine Beobachtungsgröße und wird erst in der relativistischen QM notwendig

und zuwar als offener Freiheitsgrad der Dirac-Gleichung

• • Zeemann Effekt [1]
• [2]
• zum Wasserstoffatom was ändert sich Störungstheorie
• Interpretation der WF
• $-dim Vektor (2+2)dim
• Spinteil
• negative Energie Diracsee aus QFT Teilchen und Antitielchen
• relativisitesche Theorie immer Vielteilcehntheorie

Übergang Pauli, Schrödinger

• • große oder kleine Komponenten bis Ordnung \beta^2 mit \beta=v/c

Verwendung Dirac Gleichung f Elektronen Spin 1/2

Klein Gordon Gleichung

   \left[ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \mathbf{\nabla}^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2} \right] \phi(t, \mathbf{x}) = 0\,. 
   \left(\Box + m^2 \right) \phi(x) = 0\,. 

• bedeutuung von \Psi
• Lösung : A \cdot \mathrm e^{\mathrm i \bigl(\mathbf k\cdot \mathbf x - \omega\,t\bigr)}
• Spin 1 Teilchen für Welche Teilechen
• Energie immer positiv
• Quantenzahlen für positive und negative Ladung
• Lagrangegleichung \mathcal{L} = \frac{1}{2} \left[ (\partial_t \varphi)^2 - (\partial_x \varphi)^2 - (\partial_y \varphi)^2 - (\partial_z \varphi)^2 - m^2 \varphi^2 \right]\ =\frac{1}{2} \left[ (\partial_\mu \varphi)(\partial^\mu \varphi) - m^2 \varphi^2 \right]\,

für klein Gordon feld Noetherteorem Ladungserhaltung

• Quantezahlen
• vgl Schrödingergleichung
• Kontinuitätsgleichung → wiki http://de.wikipedia.org/wiki/Klein-Gordon-Gleichung
• keine Wahrscheinlichkeitsinterpretation
• erhaltung der LADUNG

Schrödingergleichung

zeitabh zeitunabh. Lösung Quantenzahlen

Pauli Gleichung

2

• Entwicklung Dirac-Gleichung
• Abspaltung Ruheenergie

q/m(1/mc^2-1/r \partial_r \phi s.l

   $\mathrm {i} \,\hbar \,\partial _{t}\,\varphi =\underbrace {\left({\frac {({\vec {p}}-q{\vec {A}})^{2}}{2\,m}}+q\,\phi \right)} _{\text{Hamiltonoperator ohne Spin}}\,\varphi -g\,\underbrace {{\frac {q\,\hbar }{2\,mc}}\,{\frac {\vec {\sigma }}{2}}\cdot {\vec {B}}} _{\text{Spin-Magnetfeld}}\,\varphi \,.$ 

• http://de.wikipedia.org/wiki/Pauli-Gleichung

Anwendungen

Wasserstoffatom

Energie 1/n^2 Glauberzustand

chemische Bindung

• Bild Kern Elektron
• Yukava + Coulomb Potential
• $H=H_{f}rei+H_{w}w(-e^{2}/r)$
• Atom Feld WW?
• LCAO?
• Überlapp WF \psi^2
• Elektronenaufenthaltswahrscheinlichkeit Zeichnen

2-Niveau System

• absorption
• Störungsrechnung
• Übergangsrate
• konstante+periodische Störung
• auswahlregeln für dipolübergänge
• wie kammt man darauf

2.Quantisierung

• dipolmatrixelement
• Näherung für H_1= eAp+peA+eA^2
• Woher kommt das zeitabhängige Störungsrechnung
• absorption fGolden Matrixelement
• Matrixelement und Parität?
  • 1.3 WF \spi für harm OSC. --abwechselnde parität
  • Dipolübergänge \Delta l = +-1
  • entsprechung
  • funktionen senkrecht aufeinander
• Auswahlregeln!!! (f Dipolnäherung)
• Übergänge zwischen niveaus

Fermis goldene regel

gilt für t\to \infty sonst Energie Zeit unschärfe

Teilchen im EM-Feld

• kanonischer Formalismus
• Hamilton mit Herleitung $H={\frac {(p-eA)^{2}}{2m}}+e\phi (+V)$ $\phi$ Kernpotential
• $p\to i\hbar \nabla$
• Glauber-Zustand $\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle$
• Lagrangegleichung für Teilchen im EM-Feld
• zeitabhängige Störung $H_{0}=p^{2}$
• vertauschung von vektorpotential und impuls
• Coulomb eichung
• $-\nabla A=0;{\hat {H}}$ nähern
  • $A=A(0)cos(kr-\omega t)\to e^{\dots }$
  • \lambda \ge Atomdurchmesser
  • zu Dipolübergängen
  • neue Quantenzahl j=l+s spin+bahndrehimpuls

Dipolmatrix

[3]

Störungsrechnung

stationär energieerhalungssatz

Drehimpuls

Spin Bahn Kopplung

• von EM-Feld Coulomb-Eichung...
• $pA={\sqrt {(}}rxB)$???
• Energiekorrektur linear zum Magnetfeld
• Bahndrehimpulsentartung 2l+1 wird aufgehoben
• F:Aufhebung der Bahndrehimpulsentartung
  • 2l+1 fach Entartet
  • Verschiebeun gder Energieniveaus um \mu B
• Thermschema
  • Nebenquantenzahl
  • Feinstrukturaufspaltung2 zeichnen
• Spin
  • Spin-Bahn Kopplung ohne Magnetfeld
• Energiekorrekturen

(neben Darwin-Term /relativistischem Impuls)

• LS-Koppplung
• Quantenzahlen bei festem l : l=+-1/2
• Spin-Bahn-Kopplung für Wasserstoffatom

Drehimpulse in der qM

• l=r x p
• $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{i,j,k}L_{k}$ Vertauschungsrelation
• allgemein Kommutatorrelation Quantisiert dadurch?
• Haputquantenzahl $n=1\to \infty$
• Eigenerwertproblem $L^{2}\left|lm\right\rangle =l(l+1)\left|lm\right\rangle$
  • z.B: $L_{z}\left|lm\right\rangle =m\left|lm\right\rangle$
  • gleiche Eigenfunktion $\left[L^{2},L_{z}\right]=0$ aber $\left|lm\right\rangle$ nicht Eigenvektor zu L_y da $\left[L_{i},L_{j}\right]=i\hbar \epsilon _{i,j,k}L_{k}$ gilt
  • $\left[L_{i},L_{i}\right]=0$??
• Koordinaten von L_z: freie Wahl der Koordnaten aber nach Wahl $\left|lm\right\rangle$ nicht EV zu anderen Achsen

2. Quantisierung

• Erwartungswerte des Felds in 2. Quantisierung

?E\neq 0 a^+, a

Sonstiges

Bilder in der QM

• Festlegung Zeitentwicklung Verteilung auf Operatoren und Zustände
• Schrödingerbild Zustände zeitabh.
• Heisenbergbild Operatoren zeitabh. (Heisenberg fährt mit Hamiltonoperator im Wohnmobil, während Schrödinger zu ${\hat {H}}ause$ mit seiner Katze Hausaufgaben macht.)
• WW-Bild

WSK?? bleibt erhalten

• Unitärität des Zeitentwicklungsoperators $U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}$

Fermionen und Bosonen

• symmetrische und antisymmetrische WF
• Pauliprinzip

Potentialtopf

Länge Volumen Energie 1/n^2

Streutheorie

Herleitung bis Lippmann Schwinger Gleichung

   $\psi _{k}({\vec {r}})={\frac {1}{(2\pi )^{3/2}}}e^{i{\vec {k}}{\vec {r}}}-{\frac {2m}{4\pi \hbar ^{2}}}\int d^{3}{\vec {r^{\prime }}}\cdot {\frac {e^{ik|{\vec {r}}-{\vec {r^{\prime }}}|}}{|{\vec {r}}-{\vec {r^{\prime }}}|}}V({\vec {r^{\prime }}})\psi _{k}({\vec {r^{\prime }}})$

• Bornsche Näherung : 0. Nähering ost Lösung ohne WW einsetzen in Lippmann schnwinger gleichung → 1. näherung usw

Fockzustand

z.B. Laser

• STrahlungszustände

Erwarungswert des EFELDS 0

ununterscheidbarkeit

bed an observable -symmetriosierungsoperator Symmetriserung für 2 Elektronen Slater Determinante Pauli Prinzip Störungstheorie bei kostanter Störung / Übergangswahrscheinlichkeit?

• http://de.wikipedia.org/wiki/Lippmann-Schwinger-Gleichung

induzierte Emission ?