Relativistische Formulierung der Elektrodynamik

Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Relativistische Formulierung der Elektrodynamik basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels der Elektrodynamikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Ko- und Kontravariante Schreibweise der Relativitätstheorie

Grundpostulat der speziellen Relativitätstheorie:

Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet ! ( Einstein, 1904). Die Lichtgeschwindigkeit c ist in jedem Inertialsystem gleich !

• Kugelwellen sind
• -> Lorentz- Invariant, also:
• ${{r}^{2}}-{{c}^{2}}{{t}^{2}}=r{{\acute {\ }}^{2}}-{{c}^{2}}t{{\acute {\ }}^{2}}$

Für Lorentz- Transformationen !

Formalisierung: Der Raumzeitliche Abstand als

${{\left(ds\right)}^{2}}:={{\left(cdt\right)}^{2}}-{{\left(d{\bar {r}}\right)}^{2}}$

Zwischen 2 Ereignissen bleibt der raumzeitliche Abstand invariant bei Lorentz- Transformationen ! zwischen den Inertialsystemen : $\Sigma \leftrightarrow \Sigma {\acute {\ }}$

Ziel: Um dies sofort zu sehen führt man Vierervektoren ein. Dann schreibt man ${{\left(ds\right)}^{2}}$ als Skalarprodukt von Vierervektoren im Minkowski- Raum V und man benutze den Formalismus der linearen orthogonalen Transformation , unter denen das Skalarprodukt invariant bleibt:

In der ko / kontravarianten Schreibweise tritt jeder Vierervektor in 2 möglichen Versionen auf:

kontravariante Komponenten:

${\begin{aligned}&{{x}^{i}}\\&{{x}^{1}}:=ct\\&{{x}^{1}},{{x}^{2}},{{x}^{3}}\\\end{aligned}}$

als Komponenten des Ortsvektors ${\bar {r}}$

kovariante Komponenten

${\begin{aligned}&{{x}_{i}}:\\&{{x}_{0}}:=ct\\&{{x}_{\alpha }}=-{{x}^{\alpha }},\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

kovarianter Vektor $\in {\tilde {V}}$ , dualer Vektorraum zu V ! Merke: Die Räume der kovarianten Vektoren ist dual zur menge der kontravarianten -> $\in {\tilde {V}}$ als Raum der linearen Funktionale l: $V\to R$

Damit werden dann die Skalarprodukte gebildet !

Schreibe

${{\left(ds\right)}^{2}}=d{{x}^{0}}d{{x}_{0}}+d{{x}^{1}}d{{x}_{1}}+d{{x}^{2}}d{{x}_{2}}+d{{x}^{3}}d{{x}_{3}}=d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}$

Mit: Summenkonvention ! über je einen ko- und einen kontravarianten Index ( hier i =0,1,2,3) wird summiert !

Physikalische Anwendung

Lorentz- Invarianten lassen sich als Skalarprodukt ${{a}^{i}}{{a}_{i}}$ schreiben !

Beispiel: dÁlemebert- Operator:

$\#=\Delta -{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}=-{\frac {\partial }{\partial {{x}^{i}}}}{\frac {\partial }{\partial {{x}_{i}}}}=-{{\partial }_{i}}{{\partial }^{i}}$

Vierergeschwindigkeit

${\begin{aligned}&{{u}^{i}}:={\frac {d{{x}^{i}}}{ds}}\Rightarrow {{u}^{i}}{{u}_{i}}={\frac {d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}}{{\left(ds\right)}^{2}}}=1\\&mit\\&ds={{\left(d{{x}^{i}}d{{x}_{i}}\right)}^{\frac {1}{2}}}=c{{\left(1-{{\beta }^{2}}\right)}^{{\frac {1}{2}}dt}}={\frac {c}{\gamma }}dt\\&\Rightarrow {{u}^{0}}=\gamma \\&{{u}^{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}{{v}^{\alpha }}\\&{{v}^{\alpha }}:={\frac {d{{x}^{\alpha }}}{dt}}\\&\beta :={\frac {v}{c}}\\&\gamma :={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\\\end{aligned}}$

Physikalische Interpretation

${\begin{aligned}&{{u}^{\alpha }}={\frac {1}{c}}{\frac {d{{x}^{\alpha }}}{d\tau }}\\&d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}\\\end{aligned}}$

Viererimpuls

${{p}^{i}}:={{m}_{0}}c{{u}^{i}}$ mit der Ruhemasse m0

Also:

${\begin{aligned}&{{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\\&{{u}^{i}}{{u}_{i}}=1\\&\Rightarrow {{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}\\&{{p}^{0}}={{m}_{0}}\gamma c=m(v)c={\frac {E}{c}}\\&{{p}^{\alpha }}={{m}_{0}}\gamma {{v}^{\alpha }}=m(v){{v}^{\alpha }}\\&{{p}^{i}}{{p}_{i}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{2}}{{u}^{i}}{{u}_{i}}\Leftrightarrow {{E}^{2}}={{m}_{0}}^{2}{{c}^{4}}+{{c}^{2}}{{\bar {p}}^{2}}\\\end{aligned}}$

Mit der Energie

$E=m(v){{c}^{2}}$

Analoge Definition von Tensoren 2. Stufe:

${\begin{aligned}&{{A}^{ik}},{{A}^{i}}_{k},{{A}_{i}}^{k},{{A}_{ik}}\\&{{A}^{00}}={{A}^{0}}_{0}={{A}_{0}}^{0}={{A}_{00}}\\&{{A}^{10}}={{A}^{1}}_{0}=-{{A}_{1}}^{0}=-{{A}_{10}}\\&{{A}^{11}}=-{{A}^{1}}_{1}=-{{A}_{1}}^{1}={{A}_{11}}\\\end{aligned}}$

Der metrische Tensor

${{g}^{ik}}:={{\delta }^{ik}}=\left.\left\{{\begin{matrix}{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=0\\-{{\delta }^{i}}_{k}\quad k=1,2,3\\\end{matrix}}\right.\right\}={{g}_{ik}}$

${{g}^{ik}}={{g}_{ik}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{matrix}}\right)$

Mittels der Metrik werden Indices gehoben bzw. gesenkt:

${{g}^{ik}}{{a}_{k}}={{a}^{i}}$

Wichtig fürs Skalarprodukt:

$d{{s}^{2}}={{g}^{ik}}d{{x}_{i}}d{{x}_{k}}={{g}_{ik}}d{{x}^{i}}d{{x}^{k}}$

Lorentz- Trafo

zwischen Bezugssystemen: Lineare / homogene Trafo

die Lorentz- Transformation für

${\begin{aligned}&\left({{x}^{0}}{\begin{matrix},&{{x}^{1}},&{{x}^{2}},&{{x}^{3}}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}ct,&x,&y,&z\\\end{matrix}}\right)\\&d{{s}^{2}}={{c}^{2}}d{{t}^{2}}-d{{x}^{2}}-d{{y}^{2}}-d{{z}^{2}}\\\end{aligned}}$

Nämlich:

${\begin{aligned}&\left({\begin{matrix}{{x}_{0}}{\acute {\ }}\\{{x}_{1}}{\acute {\ }}\\{{x}_{2}}{\acute {\ }}\\{{x}_{3}}{\acute {\ }}\\\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}{{x}_{0}}\\{{x}_{1}}\\{{x}_{2}}\\{{x}_{3}}\\\end{matrix}}\right)\\&x{{\acute {\ }}^{i}}={{U}^{i}}_{k}{{x}^{k}}\\\end{aligned}}$

Mit ${{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

für $v||{{x}_{1}}$

Wesentliche Eigenschaft ( die Viererschreibweise ist so konstruiert worden):

U ist orthogonale Trafo:

${\begin{aligned}&{{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}=\delta _{k}^{l}\\&\Rightarrow a{{\acute {\ }}^{i}}b{{\acute {\ }}_{i}}={{U}^{i}}_{k}{{U}_{i}}^{l}{{a}^{k}}{{b}_{l}}={{a}^{k}}{{b}_{k}}\\\end{aligned}}$

Das Skalarprodukt ist invariant, falls U eine orthogonale Trafo ist Bzw. Forderung: Skalarprodukt invariant -> U muss orthogonale Trafo sein !

Umkehr- Transformation:

${{x}^{i}}={{U}_{k}}^{i}x{{\acute {\ }}^{k}}$

Transformationsverhalten der Ströme und Felder

Ziel: Ko- / Kontravariante Schreibweise der Elektrodynamik im Vakuum

Grund: Die klassische Elektrodynamik ist bereits eine Lorentz- invariante Theorie !!

Historisch gab die Maxwellsche Elektrodynamik und nicht die Mechanik den Anstoß zur Relativitätstheorie überhaupt !

Ladungserhaltung aus Kontinuitätsgleichung:

${\begin{aligned}&div{\bar {j}}+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {\partial {{j}_{x}}}{\partial x}}+{\frac {\partial {{j}_{y}}}{\partial y}}+{\frac {\partial {{j}_{z}}}{\partial z}}+{\frac {\partial c\rho }{\partial ct}}=0\\&0={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum \limits _{\alpha =1}^{3}{}{{\partial }_{\alpha }}{{j}^{\alpha }}\\\end{aligned}}$

Somit gewinnen wir aber ebenfalls wieder einen Lorentz- Skalar, nämlich

${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

in Viererschreibweise. Die Vierer- Stromdichte ist

$\left\{{{j}^{\mu }}\right\}=\left\{c\rho ,{\bar {j}}\right\}$ ebenfalls ein kontravarianter Vierer- Vektor . Er heißt Vierer- Stromdichte. Die Kontinuitätsgleichung ist gleich ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$

Forderung: Ladungserhaltung soll in allen Inertialsystemen gelten ! ->

${{j}^{\mu }}=0$ muss sich wie ein Vierervektor transformieren, damit das Skalarprodukt ${{\partial }_{\mu }}{{j}^{\mu }}=0$ Lorentz- invariant ist !:

${\begin{aligned}&{{x}^{0}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{x}^{0}}-\beta {{x}^{1}}\right)\Leftrightarrow t{\acute {\ }}=\gamma \left(t-{\frac {v}{{c}^{2}}}{{x}^{1}}\right)\\&{{x}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{x}^{1}}-\beta {{x}^{0}}\right)\Leftrightarrow {{x}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{x}^{1}}-vt\right)\\&{{x}^{2}}{\acute {\ }}={{x}^{2}}\\&{{x}^{3}}{\acute {\ }}={{x}^{3}}\\\end{aligned}}$

Also gilt für Ladungs- und Stromdichten:

${\begin{aligned}&{{j}^{0}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{j}^{0}}-\beta {{j}^{1}}\right)\Leftrightarrow \rho {\acute {\ }}=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{{c}^{2}}}{{j}^{1}}\right)\\&{{j}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{j}^{1}}-\beta {{j}^{0}}\right)\Leftrightarrow {{j}^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{j}^{1}}-v\rho \right)\\&{{j}^{2}}{\acute {\ }}={{j}^{2}}\\&{{j}^{3}}{\acute {\ }}={{j}^{3}}\\\end{aligned}}$

Merke: Es sollte kein Missverständnis geschehen: Ist ein Vektor in ein Lorentz- invariantes Skalarprodukt verwickelt, so ist es ein Vierervektor. Damit ist klar: Seine Komponenten transfornmieren nach der Lorentz- Trafo. Dadurch aber ist die Trafo für seine Komponenten, die Beispielsweise Ladungs- und Stromdichten sind, gefunden.

4- Potenziale:

Die Potenziale $\Phi ,{\bar {A}}$ sind in der Lorentz- Eichung $\nabla \cdot {\bar {A}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0$ Lösungen von

${\begin{aligned}&\Delta {\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\\&\#=-{{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\\&{{\mu }_{0}}c={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}\\&\#{\bar {A}}\left({\bar {r}},t\right)=-{{\mu }_{0}}{\bar {j}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}c{{A}^{\alpha }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\alpha }}\\&\alpha =1,2,3\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\Delta \phi \left({\bar {r}},t\right)-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {{\partial }^{2}}{\partial {{t}^{2}}}}\phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}=-{{\mu }_{0}}{{c}^{2}}\rho \\&\#\phi \left({\bar {r}},t\right)=-{\frac {\rho }{{\varepsilon }_{0}}}\Leftrightarrow {{\partial }_{\mu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\\end{aligned}}$

Zusammen:

${\begin{aligned}&-\#{{\Phi }^{\mu }}={{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{\mu }}={{\mu }_{0}}{{j}^{\mu }}\\&{{\Phi }^{0}}:=\phi \\&{{\Phi }^{i}}:=c{{A}^{i}}\quad i=1..3\\\end{aligned}}$

Da ${{j}^{\mu }}$ Vierervektoren sind ( wie Vierervektoren transformieren), muss auch ${{\Phi }^{\mu }}$ wie ein Vierervektor transformieren. Denn: Der d´Alembert- Operator ist Lorentz- invariant:

${{\partial }_{\alpha }}{{\partial }^{\alpha }}$ lorentz- invariant !:

${\begin{aligned}&{{\Phi }^{0}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{\Phi }^{0}}-\beta {{\Phi }^{1}}\right)\quad bzw.\quad \Phi {\acute {\ }}=\gamma \left(\Phi -v{{A}^{1}}\right)\\&{{\Phi }^{1}}{\acute {\ }}=\gamma \left({{\Phi }^{1}}-\beta {{\Phi }^{0}}\right)\quad bzw.\quad A{{\acute {\ }}^{1}}=\gamma \left({{A}^{1}}-{\frac {v}{{c}^{2}}}\Phi \right),{{A}^{{\acute {\ }}2}}={{A}^{2}},A{{\acute {\ }}^{3}}={{A}^{3}}\\\end{aligned}}$

Nun: Lorentz- Eichung:

$\nabla \cdot {\bar {A}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0$

Lorentz- Eichung <-> Lorentz- Invarianz ${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$ ( Gegensatz zur Coulomb- Eichung)

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0\Leftrightarrow \nabla \cdot {\bar {A}}+{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\phi =0$

Umeichung:

${\begin{aligned}&{\tilde {\bar {A}}}={\bar {A}}+\nabla F\\&{\tilde {\phi }}=\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}F\\&\Leftrightarrow \\&c{{\tilde {A}}^{\alpha }}=c{{A}^{\alpha }}+{{\partial }_{\alpha }}cF=c{{A}^{\alpha }}-{{\partial }^{\alpha }}cF\\&{{\tilde {\Phi }}^{0}}={{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}cF={{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}cF\\\end{aligned}}$

Also:

${{\tilde {\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}-{{\partial }^{\mu }}cF$

Felder E und B:

${\begin{aligned}&{\bar {E}}=-grad\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}\\&\Rightarrow {{E}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}\phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}c{{A}^{\alpha }}=-{{\partial }_{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }_{0}}{{\Phi }^{\alpha }}={{\partial }^{\alpha }}{{\Phi }^{0}}-{{\partial }^{0}}{{\Phi }^{\alpha }}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&{\bar {B}}=\nabla \times {\bar {A}}\\&\Rightarrow c{{B}^{1}}={{\partial }_{2}}c{{A}^{3}}-{{\partial }_{3}}c{{A}^{2}}={{\partial }_{2}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }_{3}}{{\Phi }^{2}}={{\partial }^{3}}{{\Phi }^{2}}-{{\partial }^{2}}{{\Phi }^{3}}\\\end{aligned}}$

Die anderen Komponenten gewinnt man durch zyklische Vertauschung:

${\begin{aligned}&c{{B}^{2}}={{\partial }^{1}}{{\Phi }^{3}}-{{\partial }^{3}}{{\Phi }^{1}}\\&c{{B}^{3}}={{\partial }^{2}}{{\Phi }^{1}}-{{\partial }^{1}}{{\Phi }^{2}}\\\end{aligned}}$

Diese Gleichungen werden zusammengefasst durch den antisymmetrtischen Feldstärketensor:

${\begin{aligned}&\left\{{{F}_{\mu \nu }}\right\}=\left\{{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&0&-{{B}_{z}}&{{B}_{y}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{{B}_{z}}&0&-{{B}_{x}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}&-{{B}_{y}}&{{B}_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\\&{{F}^{\mu \nu }}=\left\{{{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&-{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&-{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}\\{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&0&-{{B}_{z}}&{{B}_{y}}\\{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{{B}_{z}}&0&-{{B}_{x}}\\{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}&-{{B}_{y}}&{{B}_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)\\&\Leftrightarrow {{F}^{\mu \nu }}=\left\{{{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&-{{E}^{1}}&-{{E}^{2}}&-{{E}^{3}}\\{{E}^{1}}&0&-c{{B}^{3}}&c{{B}^{2}}\\{{E}^{2}}&c{{B}^{3}}&0&-c{{B}^{1}}\\{{E}^{3}}&-c{{B}^{2}}&c{{B}^{1}}&0\\\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}$

Wegen der Antisymmetrie hat ${{F}^{\mu \nu }}$ nur 6 unabhängige Komponenten !

Das bedeutet, die Raum- Raum- Komponenten entsprechen

$rot{\bar {A}}={\bar {B}}$

während die Raum- zeit- Komponenten:

${\bar {E}}=-grad\phi -{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {A}}$ erfüllen.

Lorentz- Trafo der Felder:

Der Feldstärketensor ist kovariant und transformiert demnach über die inverse Lorentz- Transformation. Das heißt: Für die Transformation in ein in x- Richtung mit konstanter Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ bewegtes System K´ gilt:

${{F}_{}}{{\acute {\ }}^{\mu \nu }}={{U}^{\mu }}_{\lambda }{{U}^{\nu }}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}$

${{U}^{i}}_{k}=\left({\begin{matrix}{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\{\frac {-\beta }{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&{\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{matrix}}\right)$

Damit läßt sich nun das uns unbekannte Transformationsverhalten der Felder ${\bar {E}}$ und $rot{\bar {A}}={\bar {B}}$ berechnen, die auch kovariant transformieren müssen. Dabei sollte keinesfalls die Summation über die Indices auf der rechten Seite vergessen werden !!

${\begin{aligned}&E{{\acute {\ }}^{1}}=F{{\acute {\ }}^{10}}={{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}=-\beta \gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{0\kappa }}+\gamma {{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{1\kappa }}={{\left(\beta \gamma \right)}^{2}}{{F}^{01}}+{{\gamma }^{2}}{{F}^{10}}=\\&={{\gamma }^{2}}\left(1-{{\beta }^{2}}\right){{F}^{10}}={{E}^{1}}\\&{{\gamma }^{2}}\left(1-{{\beta }^{2}}\right)=1\\&\\&E{{\acute {\ }}^{2}}=F{{\acute {\ }}^{20}}={{U}^{2}}_{\lambda }{{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{2\kappa }}=\gamma {{F}^{20}}-\beta \gamma {{F}^{21}}=\gamma \left({{E}^{2}}-v{{B}^{3}}\right)\\\end{aligned}}$

$E{{\acute {\ }}^{3}}=F{{\acute {\ }}^{30}}={{U}^{0}}_{\kappa }{{F}^{3\kappa }}=\gamma {{F}^{30}}-\beta \gamma {{F}^{31}}=\gamma \left({{E}^{3}}+v{{B}^{2}}\right)$

${\begin{aligned}&B{{\acute {\ }}^{1}}={\frac {1}{c}}F{{\acute {\ }}^{32}}={\frac {1}{c}}{{U}^{3}}_{\lambda }{{U}^{2}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={\frac {1}{c}}{{F}^{32}}={{B}^{1}}\\&B{{\acute {\ }}^{2}}={\frac {1}{c}}F{{\acute {\ }}^{13}}={\frac {1}{c}}{{U}^{1}}_{\lambda }{{U}^{3}}_{\kappa }{{F}^{\lambda \kappa }}={\frac {1}{c}}{{U}^{1}}_{\kappa }{{F}^{\kappa 3}}=-{\frac {\beta \gamma }{c}}{{F}^{03}}+{\frac {\gamma }{c}}{{F}^{13}}=\gamma \left({{B}^{2}}+{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{3}}\right)\\\end{aligned}}$

$B{{\acute {\ }}^{3}}=\gamma \left({{B}^{3}}-{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{2}}\right)$

Zusammenfassung

${\begin{aligned}&{{E}^{1}}{\acute {\ }}={{E}^{1}}\\&{{E}^{2}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{E}^{2}}-v{{B}^{3}}\right)\\&{{E}^{3}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{E}^{3}}+v{{B}^{2}}\right)\\&{{B}^{1}}{\acute {\ }}={{B}^{1}}\\&{{B}^{2}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{B}^{2}}+{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{3}}\right)\\&{{B}^{3}}{\acute {\ }}={\frac {1}{\sqrt {1-{{\beta }^{2}}}}}\left({{B}^{3}}-{\frac {v}{{c}^{2}}}{{E}^{2}}\right)\\\end{aligned}}$

Elektrische und magnetische Felder werden beim Übergang zwischen verschiedenen Inertialsystemen ineinander transformiert !

Umeichung:

${{\tilde {\Phi }}^{\mu }}={{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi$

Somit:

${\begin{aligned}&{{\tilde {F}}^{\mu \nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\tilde {\Phi }}^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\tilde {\Phi }}^{\mu }}={{\partial }^{\mu }}\left({{\Phi }^{\nu }}+{{\partial }^{\nu }}\phi \right)-{{\partial }^{\nu }}\left({{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}\phi \right)\\&={{\partial }^{\mu }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\mu }}+{{\partial }^{\mu }}{{\partial }^{\nu }}\phi -{{\partial }^{\nu }}{{\partial }^{\mu }}\phi ={{F}^{\mu \nu }}\\\end{aligned}}$

Homogene Maxwell- Gleichungen

${\begin{aligned}&\nabla \cdot {\bar {B}}={{\partial }_{1}}{{B}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{B}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{B}^{3}}=0\\&\Rightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{32}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{13}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{21}}=0\\&\\\end{aligned}}$

Mit

${\begin{aligned}&{{\partial }_{1}}=-{{\partial }^{1}}\\&{{F}^{32}}=-{{F}^{23}}\\&\Rightarrow {{\partial }^{1}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{31}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{12}}=0\\&\\\end{aligned}}$

+ zyklisch in (123)

innere Feldgleichung für E- Feld

$\nabla \times {\bar {E}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {B}}$

1. Komponente

${{\partial }_{2}}{{E}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{E}^{2}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{{B}^{1}}=0$

$\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{23}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{30}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{02}}=0$ und zyklisch (023)

zyklische Permutation 1 -> 2 -> 3 -> 1 und mit

${{F}^{ik}}=-{{F}^{ki}}$

liefert:

${\begin{aligned}&\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{13}}+{{\partial }^{3}}{{F}^{01}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{30}}=0\quad zyklisch(013)\\&\Rightarrow {{\partial }^{0}}{{F}^{12}}+{{\partial }^{1}}{{F}^{20}}+{{\partial }^{2}}{{F}^{01}}=0\quad zyklisch(012)\\\end{aligned}}$

Zusammenfassung der homogenen Maxwellgleichungen

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }_{\lambda }}{{F}_{\mu \nu }}=0$

${{\varepsilon }_{\kappa \lambda \mu \nu }}{{\partial }^{\lambda }}{{F}^{\mu \nu }}=0$

Die "4- Rotation" des Feldstärketensors verschwindet !

Levi- Civita- Tensor: +1 für gerade Permutation von 0123 -1 für ungerade Permutation von 0123 0, sonst

Bemerkungen

1. Levi- Civita ist vollständig antisymmetrisch ( per Definition).

2. ${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$
3. transformiert unter Lorentz- Trafo

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{\acute {\ }}={{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}\\&=\left|{\begin{matrix}{{U}^{\kappa }}_{0}&{{U}^{\kappa }}_{1}&{{U}^{\kappa }}_{2}&{{U}^{\kappa }}_{3}\\{{U}^{\lambda }}_{0}&{{U}^{\lambda }}_{1}&{{U}^{\lambda }}_{2}&{{U}^{\lambda }}_{3}\\{{U}^{\mu }}_{0}&{{U}^{\mu }}_{1}&{{U}^{\mu }}_{2}&{{U}^{\mu }}_{3}\\{{U}^{\nu }}_{0}&{{U}^{\nu }}_{1}&{{U}^{\nu }}_{2}&{{U}^{\nu }}_{3}\\\end{matrix}}\right|=\left(\det U\right)\cdot {{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}\\&\left(\det U\right)=\pm 1\\\end{aligned}}$

Damit nun der Levi- Civita- Tensor invariant unter Lorentz- Trafos wird, also

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{\acute {\ }}={{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}$ , muss vereinbart werden, dass die Transformation lautet

${{\varepsilon }^{\kappa \lambda \mu \nu }}{\acute {\ }}=\left(\det U\right){{U}^{\kappa }}_{\alpha }{{U}^{\lambda }}_{\beta }{{U}^{\mu }}_{\gamma }{{U}^{\nu }}_{\delta }{{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$

Damit ist der Tensor aber ein Pseudotensor !

Insgesamt ist die vierdimensionale Schreibweise die gleiche Formalisierung wie im Dreidimensionalen:

${{\left(\nabla \times {\bar {A}}\right)}_{\alpha }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \gamma }}{{\partial }_{\beta }}{{A}_{\gamma }}$

Mit Pseudovektor

${{\left(\nabla \times {\bar {A}}\right)}_{\alpha }}$

Inhomogene Maxwellgleichungen im Vakuum

( Erregungsgleichungen)

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }_{0}}\nabla \cdot {\bar {E}}=\rho \\&\Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{E}^{1}}+{{\partial }_{2}}{{E}^{2}}+{{\partial }_{3}}{{E}^{3}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}c\rho \\&\Leftrightarrow {{\partial }_{1}}{{F}^{10}}+{{\partial }_{2}}{{F}^{20}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{30}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\&\Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 0}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\&wegen{{\partial }_{0}}{{F}^{00}}=0\\&auch{{\partial }_{i}}{{F}^{i0}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{0}}\\\end{aligned}}$

2. $\nabla \times {\bar {B}}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}={{\mu }_{0}}\left(\nabla \times {\bar {H}}-{{\varepsilon }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\bar {E}}\right)={{\mu }_{0}}{\bar {j}}$

1. Komponente

${\begin{aligned}&{{\partial }_{2}}{{B}^{3}}-{{\partial }_{3}}{{B}^{2}}={{\mu }_{0}}{{j}^{1}}+{{\varepsilon }_{0}}{{\mu }_{0}}{\frac {\partial }{\partial t}}{{E}^{1}}\\&{{\mu }_{0}}c={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}\\&\Leftrightarrow {{\partial }_{2}}{{F}^{21}}-.{{\partial }_{3}}{{F}^{13}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{1}}+.{{\partial }_{0}}{{F}^{10}}\\&{{\partial }_{2}}{{F}^{21}}+{{\partial }_{3}}{{F}^{31}}+{{\partial }_{0}}{{F}^{01}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{1}}\\&\Leftrightarrow {{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu 1}}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{1}}\\&wegen{{\partial }_{1}}{{F}^{11}}=0\\\end{aligned}}$

Dies kann analog für die zweite und dritte Komponente durchgeixt werden. Aus der Nullten Komponente hatten wir die Nullte des Stroms ( Erregungsgleichung des elektrischen Feldes), so dass insgesamt folgt:

${\begin{aligned}&{{\partial }_{\nu }}{{F}^{\mu \nu }}=-{\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\mu }}\\&{{\partial }_{\nu }}{{F}^{\nu \mu }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\mu }}\\\end{aligned}}$

Die Viererdivergenz des elektrischen Feldstärketensors !

Bemerkungen

1. die homogenen Maxwellgleichungen sind durch den Potenzialansatz

$\left\{{{F}_{\mu \nu }}\right\}=\left\{{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}\right\}=\left({\begin{matrix}0&{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{x}}&0&-{{B}_{z}}&{{B}_{y}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{y}}&{{B}_{z}}&0&-{{B}_{x}}\\-{\frac {1}{c}}{{E}_{z}}&-{{B}_{y}}&{{B}_{x}}&0\\\end{matrix}}\right)$

automatisch erfüllt:

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}\\&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}=0,\\&da:{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}\quad symmetrisch\\&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}\quad antisymmetrisch\\&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0\\\end{aligned}}$

Aus den inhomogenen Maxwell- Gleichungen

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}-{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\nu }}$

folgt mit Lorentz- Eichung

${{\partial }_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}=0$

${\begin{aligned}&{{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\nu }}{{\Phi }^{\beta }}={{\partial }^{\nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\Phi }^{\beta }}=0\\&also:\\\end{aligned}}$

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\nu }}$ als inhomogene Wellengleichung

Die Maxwellgleichungen

${\begin{aligned}&{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{F}_{\mu \nu }}={{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\mu }}{{\Phi }_{\nu }}-{{\varepsilon }^{\alpha \beta \mu \nu }}{{\partial }_{\beta }}{{\partial }_{\nu }}{{\Phi }_{\mu }}=0\\&{{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={{\partial }_{\beta }}{{\partial }^{\beta }}{{\Phi }^{\nu }}={\frac {1}{{{\varepsilon }_{0}}c}}{{j}^{\nu }}\\\end{aligned}}$

sind ihrerseits nun Lorentz- kovariant, da sie durch 4 Pseudovektoren ausgedrückt sind. Merke: Pseudo - 4- Vektor stört nicht, da rechte Seite gleich Null !!

Gauß- System:

${{\partial }_{\beta }}{{F}^{\beta \nu }}={\frac {4\pi }{c}}{{j}^{\nu }}$

Relativistisches Hamiltonprinzip

Ziel: Formulierung der Elektrodynamik als Lagrange- Feldtheorie

Die rel. Dynamik eines Massepunktes kann aus dem Extremalprinzip abgeleitet werden, wenn man Die Punkt 1 und 2 als Anfangs- und Endereignis im 4- Raum sieht und wenn man die Ränder bei Variation festhält:

${\begin{aligned}&\delta W=0\\&W=\int _{1}^{2}{}ds\\\end{aligned}}$

letzteres: Wirkungsintegral Wichtig: ${{\left.\delta {{x}^{i}}\right|}_{1,2}}=0$

Newtonsche Mechanik ist Grenzfall:

$W=-{{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds$

Wechselwirkung eines Massepunktes mit einem 4- Vektor- Feld

${\begin{aligned}&\left({{\phi }^{i}}\right)({{x}^{j}})\\&\Rightarrow \\\end{aligned}}$

$W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}cds-{{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}\right\}$

mit den Lorentz- Invarianten

${{m}_{0}}cds$

und

${{\phi }^{i}}d{{x}_{i}}$

Variation:

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}c\delta \left(ds\right)-\delta \left({{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right)\right\}$

Nun:

${\begin{aligned}&\delta \left(ds\right)=\delta {{\left(d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right)}^{\frac {1}{2}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\left(d\delta {{x}^{\mu }}\right)d{{x}_{\mu }}+d{{x}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)}{ds}}\\&\left(d\delta {{x}^{\mu }}\right)d{{x}_{\mu }}=d{{x}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)\\&={\frac {d{{x}^{\mu }}}{ds}}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)={{u}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)\\\end{aligned}}$

Außerdem:

$\delta \left({{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right)=\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}+{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)$

Somit:

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right\}$

Weiter mit partieller Integration:

${\begin{aligned}&\int _{1}^{2}{}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=\left[-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right]_{1}^{2}+\int _{1}^{2}{}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\\&\left[-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right]_{1}^{2}=0,weil\delta {{x}_{\mu }}_{1}^{2}=0\\&\Rightarrow \int _{1}^{2}{}-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=\int _{1}^{2}{}{{m}_{0}}cd{{u}^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=\int _{1}^{2}{}{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)ds\\\end{aligned}}$

Weiter:

$\int _{1}^{2}{}-{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)=-\left[{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\mu }}\right]_{1}^{2}+\int _{1}^{2}{}d{{\phi }^{\mu }}\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)$

Mit

${\begin{aligned}&d{{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}{{u}_{\nu }}ds\\&\delta {{\phi }^{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}\\&\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}={{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\delta {{x}_{\nu }}d{{x}_{\mu }}=i<->k={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}d{{x}_{\nu }}={{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}{{u}_{\nu }}\delta {{x}_{\mu }}ds\\\end{aligned}}$

Einsetzen in

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\left(d\delta {{x}_{\mu }}\right)-\delta {{\phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}-{{\phi }^{\mu }}d\left(\delta {{x}_{\mu }}\right)\right\}$

liefert:

$\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}-\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right){{u}_{\nu }}\right\}\delta {{x}_{\mu }}$

Wegen

${\begin{aligned}&\delta W=\int _{1}^{2}{}\left\{{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}-\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right){{u}_{\nu }}\right\}\delta {{x}_{\mu }}=0\\&{{m}_{0}}c{\frac {d{{u}^{\mu }}}{ds}}=\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right){{u}_{\nu }}:={{f}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\\&{{f}^{\mu \nu }}=\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right)\\\end{aligned}}$

Dies ist dann die aus dem hamiltonschen Prinzip abgeleitete Bewegungsgleichung eines Massepunktes der Ruhemasse m0 und der Ladung q unter dem Einfluss der Lorentz- Kraft.

Man setze:

${\begin{aligned}&{{p}^{\mu }}={{m}_{0}}c{{u}^{\mu }}\\&{{f}^{\mu \nu }}={\frac {q}{c}}{{F}^{\mu \nu }}=\left({{\partial }^{\mu }}{{\phi }^{\nu }}-{{\partial }^{\nu }}{{\phi }^{\mu }}\right)\\&{{\phi }^{\mu }}={\frac {q}{c}}{{\Phi }^{\mu }}\\&{\frac {d}{ds}}{{p}^{\mu }}={\frac {q}{c}}{{F}^{\mu \nu }}{{u}_{\nu }}\Leftrightarrow \delta W=\delta \int _{1}^{2}{}\left\{-{{m}_{0}}cds-{\frac {q}{c}}{{\Phi }^{\mu }}d{{x}_{\mu }}\right\}=0\\\end{aligned}}$

Man bestimmt die Ortskomponenten $\alpha =1,2,3$ über

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{\bar {p}}=q\left({\bar {E}}+{\bar {v}}\times {\bar {B}}\right)\\&\\\end{aligned}}$

überein, denn mit

${\begin{aligned}&{{u}^{0}}=\gamma \\&{{u}^{\alpha }}={\frac {\gamma }{c}}{{v}^{\alpha }}=-{{u}_{\alpha }}\\\end{aligned}}$

folgt dann:

${\begin{aligned}&{\frac {d}{dt}}{{p}^{1}}=q\left({{E}^{1}}+{{v}^{2}}{{B}^{3}}-{{v}^{3}}{{B}^{2}}\right)\\&=q\left({{F}^{10}}+{{F}^{21}}{\frac {1}{c}}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}{\frac {1}{c}}{{v}^{3}}\right)\\&={\frac {q}{\gamma }}\left({{F}^{10}}\gamma +{{F}^{21}}{\frac {\gamma }{c}}{{v}^{2}}-{{F}^{13}}{\frac {\gamma }{c}}{{v}^{3}}\right)={\frac {q}{\gamma }}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}\\\end{aligned}}$

mit

$ds={\frac {c}{\gamma }}dt$

${\frac {d}{ds}}{{p}^{1}}={\frac {q}{c}}{{F}^{1\mu }}{{u}_{\mu }}$

Die zeitartige Komponente $\mu =0$ gibt wegen ${{p}^{0}}={\frac {E}{c}}$

${\begin{aligned}&{\frac {d}{ds}}{\frac {E}{c}}={\frac {\gamma }{{c}^{2}}}{\frac {dE}{dt}}={\frac {q}{c}}\left({{F}^{01}}{{u}_{1}}+{{F}^{02}}{{u}_{2}}+{{F}^{03}}{{u}_{3}}\right)=\\&={\frac {q\gamma }{{c}^{2}}}\left(-{{E}^{1}}{{v}_{1}}-{{E}^{2}}{{v}_{2}}-{{E}^{3}}{{v}_{3}}\right)={\frac {q\gamma }{{c}^{2}}}\left({{E}^{1}}{{v}^{1}}+{{E}^{2}}{{v}^{2}}+{{E}^{3}}{{v}^{3}}\right)\\&{\frac {dE}{dt}}=q{\bar {E}}\cdot {\bar {v}}\\\end{aligned}}$

Dies ist die Leistungsbilanz: Die Änderung der inneren Energie ist gleich der reingesteckten Arbeit

Eichinvarianz und Ladungserhaltung

Wirkungsintegral:

$W=-{{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds-{\frac {q}{c}}\int _{1}^{2}{}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}$

Dabei:

${{m}_{0}}c\int _{1}^{2}{}ds={{W}_{t}}$ ( Teilchen)

$-{\frac {q}{c}}\int _{1}^{2}{}d{{x}_{\mu }}{{\Phi }^{\mu }}={{W}_{tf}}$ ( Teilchen- Feld- Wechselwirkung)

Verallgemeinerung auf kontinuierliche Massendichte $m\left({{x}^{\mu }}\right)$

Vorsicht: m ist hier Massendichte !!!

${\begin{aligned}&{{W}_{t}}=-c\int _{}^{}{}{{d}^{3}}rm\int _{1}^{2}{}ds=-\int _{\Omega }^{}{}d\Omega m{\frac {ds}{dt}}\\&d\Omega :={{d}^{3}}rcdt=d{{x}^{0}}d{{x}^{1}}d{{x}^{2}}d{{x}^{3}}\\\end{aligned}}$

dOmega als Volumenelement im Minkowski- Raum !!!

Bemerkungen:

2. $d\Omega$
3. ist eine Lorentz- Invariante , da das Volumen unter orthogonalen Transformationen

${{U}^{\mu }}_{\nu }$ erhalten bleibt.

2) Aus $d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}d\Omega$

folgt, dass die Vierer- Massenstromdichte mit Massendichte m= $d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}{{d}^{3}}rcdt;{{d}^{3}}rcdt=d\Omega \Rightarrow d{{m}_{0}}d{{x}^{\mu }}={\frac {\mu }{c}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}d\Omega$

${{m}_{0}}{\frac {d{{x}^{\mu }}}{dt}}\equiv {{g}^{\mu }}$

ein Vier- Vektor ist, da $d{{m}_{0}},d\Omega$ Lorentz- Skalare sind und natürlich $d{{x}^{\mu }}$ selbst auch ein Vierervektor

2. ${{\mu }^{2}}{\frac {d{{x}^{\mu }}d{{x}_{\mu }}}{{\left(dt\right)}^{2}}}={{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}={{\left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)}^{2}}$
3. ist Lorentz - Invariant.

Also ${{g}^{\mu }}{{g}_{\mu }}$ ist Lorentz- Invariant. Also auch $\left(\mu {\frac {ds}{dt}}\right)$ .

Somit ist ${{W}_{t}}$ insgesamt Lorentz- Invariant !