2vorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD
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Der Artikel Stationäre Ströme und Magnetfeld basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des Elektrodynamik.Kapitels der 2vorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.
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Kontinuitätsgleichung
Bewegte Ladungen entsprechen elektrischem Strom I
Experimentelle Erfahrung: Die Ladung bleibt erhalten:
Damit folgt ein globaler Erhaltungssatz:
Also gerade die Ladung, die durch
pro zeit aus V herausströmt
Als eine lokale Größe findet man die elektrische Stromdichte:
( Gauß !) für alle Volumina V ( einfach zusammenhängend)
Somit folgt die Kontinuitätsgleichung als LOKALER Erhaltungssatz:
Speziell bei stationären Ladungsverteilungen gilt die Divergenzfreiheit des Stroms:
Aber : natürlich muss deswegen nicht
gelten. Der Strom muss räumlich lediglich stationär sein !
Magnetische Induktion
Experimentelle Erfahrung:
Es existieren Wechselwirkungen zwischen den Ladungen: Eine Kraft wirkt auf Ladungen q, die sich mit v bewegen:
Die sogenannte Lorentz- Kraft !
ist die magnetische Induktion am Ort
, die erzeugt wird von den anderen Ladungen mit einer zugeordneten Stromdichte
.
Die Erzeugung dieser Magnetischen Induktion erfolgt gemäß des Ampereschen Gesetzes:
Dies läuft völlig analog zur Coulomb- Wechselwirkung in der Elektrostatik:
Die Einheiten im SI- System lauten:
Mit diesen Einheiten ist dann
festgelegt, wie die Dielektrizitätskonstante jedoch frei wählbar !!
Die magnetische Induktion beschreibt keine neue, von der Coulomb- Wechselwirkung unabhängige WW: Man betrachte dazu lediglich die Transformation auf das lokale Ruhesystem einer bewegten Ladung:
Im Gauß System:
Die Kraft zwischen 2 stromdurchflossenen Leitern:
Betrachten wir zwei infinit. dünne Leiter L, L´, die mit konstanten Strömen I und I´ durchflossen werden:
Der Strom durch L´:
Somit folgt das Biot- Savartsche Gesetz für unendlich lange Leiter L´:
Die magnetische Induktion ist gerade:
Die Kraft auf eine Ladung im Volumenelement d³r von L ist damit gerade:
Also:
Dies ist dann die gesamte Kraft von L´ auf L
mit
( Der Leiter ist entweder geschlossen oder die Enden liegen im Unendlichen)
folgt:
für parallele Ströme:
folgt Anziehung
für antiparallele Ströme:
dagegen Abstoßung
Man sieht außerdem das dritte Newtonsche Gesetz:
Somit:
( actio gleich reactio)
Die magnetostatischen Feldgleichungen
Sie gelten auch in quasistaischer Näherung: Die zeitliche Änderung muss viel kleiner sein als die räumliche !!
Mit dem Vektorpotenzial
Welches nicht eindeutig ist, sondern beliebig gemäß
umgeeicht werden kann.
(
beliebig möglich, da
)
Mit diesem Vektorpotenzial also kann man schreiben:
Beweis:
Folgende Aussagen sind äquivalent:
Es existiert ein Vektorpotenzial mit
Beweis:
es gibt keine Quellen der magnetischen Induktion ( es existieren keine "magnetischen Ladungen".
Aber: Magnetische Monopole wurden 1936 von Dirac postuliert, um die Quantelung der Ladung zu erklären. ( aus der quantenmechanischen Quantisierung des Drehimpulses !)
Dies wurde durch die vereinheitlichte Feldtheori4e wieder aufgenommen !
Es wurden extrem schwere magnetische Monopole postuliert, die beim Urknall in den ersten
erzeugt worden sein sollen.
Sehr umstritten ist ein angeblicher experimenteller Nachweis von 1982 ( Spektrum der Wissenschaft, Juni 1982, S. 78 ff.)
Der Zusammenhang zwischen
und
Wobei die verwendete Kontinuitätsgleichung natürlich nur für statische Ladungsverteilungen gilt !
Im Allgemeinen Fall gilt dagegen:
Mit dem Gaußschen Satz.
Wenn das Potenzial jedoch ins unendliche hinreichend rasch abfällt, so gilt:
Also:
Also:
Auf der anderen Seite ergibt sich ganz einfach
wegen
Also:
Für stationäre Ströme, die gerade bei stationären Ladungsverteilungen vorliegen, folgt:
Dies ist die differenzielle Form des Ampereschen Gesetzes
Die Ströme sind die Wirbel der magnetischen Induktion !!
Integration über eine Fläche F mit Rand
liefert die Intgralform:
Mit dem Satz von Stokes
Das sogenannte Durchflutungsgesetz !
Zusammenfassung:
Magnetostatik:
( quellenfreiheit)
Gilt jedoch nur im Falle der Coulomb- Eichung:
Dies geschieht durch die Umeichung
Elektrostatik:
( Wirbelfreiheit)
differenzielle Form / integrale Form
( Poissongleichung)
Magnetische Multipole
( stationär)
Ausgangspunkt ist
(mit der Coulomb- Eichung
)
mit den Randbedingungen
für r-> unendlich
Taylorentwicklung nach
von analog zum elektrischen Fall:
Die Stromverteilung
sei stationär für
Monopol- Term
Mit
Im stationären Fall folgt aus der Kontinuitätsgleichung:
Mit
folgt dann:
Somit verschwindet der Monopolterm in der Theorie
Dipol- Term
mit
und mit
Folgt:
Da
weil der Strom verschwindet !
Somit gibt der Term
keinen Beitrag zum
Also:
Als DIPOLPOTENZIAL !!
das magnetische Dipolmoment !
Analog zu
dem elektrischen Dipolmoment
Die magnetische Induktion des Dipolmomentes ergibt sich als:
Wegen:
mit
Analog ergab sich als elektrisches Dipolfeld:
Beispiel: Ebene Leiterschleife L:
Mit I = Strom durch den Leiter
Dabei ist
die Normale auf der von L eingeschlossenen Fläche F
Also: Ein Ringstrom bedingt ein magnetisches Dipolmoment
analog: 2 Punktladungen bedingen ein elektrisches Dipolmoment
, welches von der positiven zur negativen Ladung zeigt.
Bewegte Ladungen
N Teilchen mit den Massen mi und den Ladungen qi bewegen sich.
Dabei sei die spezifische Ladung
konstant:
Das magnetische Dipolmoment beträgt:
Mit dem Bahndrehimpuls
gilt aber auch für starre Körper !
Jedoch gilt dies nicht für den Spin eines Elektrons !!!
Somit ist der Spin nicht vollständig durch die Vorstellung von einer rotierenden Ladungsverteilung zu verstehen !
Kraft auf eine Stromverteilung:
im Feld einer externen magnetischen Induktion
Spürt die Lorentzkraft
Talyorentwicklung liefert:
im stationären Fall gilt wieder:
( keine Monopole)
Also:
Man fordert:
( Das externe Feld soll keine Stromwirbel im Bereich von
haben:
( Vergl. S. 34)