Streuamplitude und Streuquerschnitt

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Streuamplitude und Streuquerschnitt basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 6.Kapitels (Abschnitt 2) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

Streuamplitude und Streuquerschnitt	Streutheorie
	Lippmann- Schwinger- Gleichung Streuamplitude und Streuquerschnitt Bornsche Näherung Drehimpulsdarstellung und Streuphasen	Schrödingsche Wellenmechanik Formalisierung der Quantenmechanik Drehimpuls Spin und Systeme identischer Teilchen Näherungsmethoden Streutheorie Relativistische Quntenmechanik

Voraussetzung ${\begin{matrix}\lim \\r{\acute {\ }}\to \infty \\\end{matrix}}V({\bar {r}}{\acute {\ }})=0$ hinreichend rasch!

Ansonsten versagen die Näherungsmethoden, die hier gemacht werden.

das Potenzial muss also eine endliche Reichweite haben. Zum Integral der Lippmann- Schwinger Gleichung trägt dann für r-> unendlich der Integrand nur mit $r{\acute {\ }}<<r$ bei. r´ kennzeichnet das Gebiet des Potenzials. Wenn dieses viel kleiner ist und man sich vor allem für die Fernfeldlösungen interessiert, so kann der Integrand in diesem Fall geschickt genähert werden, was die Integrale lösbar macht. !

Wir können also ${{\hat {G}}_{+}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})=-{\frac {{e}^{ik|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}{4\pi |{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|}}$

für r>> r´ entwickeln:

${\begin{aligned}&|{\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}|={\sqrt {{\left({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}^{2}}}={\sqrt {\left({{\bar {r}}^{2}}-2{\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}+{\bar {r}}{\acute {\ }}\right)}}=r{\sqrt {\left(1-2{\frac {{\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{r}^{2}}}+{{\left({\frac {r{\acute {\ }}}{r}}\right)}^{2}}\right)}}\approx r{\sqrt {\left(1-2{\frac {{\bar {r}}{\bar {r}}{\acute {\ }}}{{r}^{2}}}\right)\approx }}r-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}\\&{{\bar {e}}_{r}}={\frac {\bar {r}}{r}}\\\end{aligned}}$

Somit

${{\hat {G}}_{+}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\cong -{\frac {{e}^{ik\left(r-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}\right)}}{4\pi r}}$

Dabei bezeichnet ${{e}^{ik\left(r-{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}\right)}}$ die Streuphase, die uns die Information über die Richtungsverteilung des Streuprozess liefert ! ${\frac {1}{4\pi r}}$ ist die Streuamplitude, die sich wie eine Kugelwellenamplitude verhält ! Dabei wird in der Amplitude der Greenschen Funktion stärker genähert als in der Phase. Dies ist gerechtfertigt, das uns die Streurichtung mehr interessiert als die Streuamplitude!

${{\hat {G}}_{+}}({\bar {r}}-{\bar {r}}{\acute {\ }})\cong -{\frac {{e}^{ikr}}{4\pi r}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}$

Dies ist der für große Abstände genäherte Greensche Operator! ( Da es sich bei dieser Art der " Greenschen Funktion" eigentlich um einen Operator handelt, ist es besser, von einem Greenschen Operator zu sprechen ! Das Asymptotische Verhalten der Lippmann- Schwinger- Gleichung für r- > unendlich kann also angegeben werden:

${\begin{matrix}\lim \\r->\infty \\\end{matrix}}{{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\frac {{e}^{ikr}}{4\pi r}}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}V({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$

${\begin{matrix}\lim \\r->\infty \\\end{matrix}}{{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}+f({{\bar {e}}_{r}}){\frac {{e}^{ikr}}{r}}$

Dies ist im Limes für r- > unendlich eine exakte Lösung !

• ${{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}$ als durchlaufende Welle
• ${\frac {{e}^{ikr}}{4\pi r}}$ als auslaufende Kugelwelle

Dabei besitzt die auslaufende Kugelwelle die Streuamplitude

$f({{\bar {e}}_{r}})=-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}V({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$

Man sieht, dass die Amplitude dieser Streuwelle, eine Kugelwelle, von der Beobachtungsrichtung ${{\bar {e}}_{r}}={\frac {\bar {r}}{r}}$ abhängt: Die Streuung ist elastisch !

Wirkungsquerschnitt

Macht Sinn als Definition entsprechend einer Streuung eines Teilchenstrahls an einem undurchdringlichen Streuzentrum.

Dabei ist definiert:

${\frac {Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}}={\frac {\sigma }{Strahlfl{\ddot {a}}che}}$

Strahlfläche:= Fläche, auf die der Strahl trifft

$\sigma$: streuende Fläche

Die Definition läßt sich verallgemeinern auf weiche Streuzentren:

Mn spricht dann vom Wirkungsquerschnitt (wie vom Streuquerschnitt)

$\sigma$

$\sigma :={\frac {Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}}={\frac {Zahl(gestreut)/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}}c{{m}^{2}}$

Man muss aber, um Probleme behandeln zu können, den differenziellen Wirkungsquerschnitt betrachten

${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{\bar {e}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec ./c{{m}^{2}}}}={\frac {Zahl(gestreut)in\ d\Omega \ ({{\bar {e}}_{r}})/\sec .}{Zahl(ein-fallend)/\sec .}}c{{m}^{2}}$

$d\sigma ={\frac {{{\left({{\bar {j}}_{s}}\right)}_{r}}{{r}^{2}}d\Omega }{\left|{{\bar {j}}_{e}}\right|}}$

$d\Omega :=\sin \vartheta \ d\vartheta \ d\phi$

Zur einlaufenden Welle:

${{\Psi }_{e}}({\bar {r}})={{e}^{i{\bar {k}}{\bar {r}}}}$

gehört, wie bereits abgeleitet wurde, die Stromdichte:

${{\bar {j}}_{e}}={\frac {\hbar }{2im}}\left({{\Psi }_{e}}*\nabla {{\Psi }_{e}}-{{\Psi }_{e}}\nabla {{\Psi }_{e}}*\right)={\frac {\hbar {\bar {k}}}{m}}{{\Psi }_{e}}{{\Psi }_{e}}*={\frac {\hbar {\bar {k}}}{m}}{{\left|\Psi \right|}^{2}}$

Zur Streuwelle in Richtung ${{\bar {e}}_{r}}={\frac {\bar {r}}{r}}$

also: ${{\Psi }_{S}}({\bar {r}})=f({{\bar {e}}_{r}}){\frac {{e}^{ikr}}{r}}$

gehört die Radialkomponente der Stromdichte:

${\begin{aligned}&{{\left({{\bar {j}}_{s}}\right)}_{r}}={\frac {\hbar }{2im}}\left({{\Psi }_{S}}*{\frac {\partial }{\partial r}}{{\Psi }_{S}}-{{\Psi }_{S}}{\frac {\partial }{\partial r}}{{\Psi }_{S}}*\right)={\frac {\hbar }{2im}}{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}\left({\frac {{e}^{-ikr}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {{e}^{ikr}}{r}}-{\frac {{e}^{ikr}}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\frac {{e}^{-ikr}}{r}}\right)\\&\Rightarrow {{\left({{\bar {j}}_{s}}\right)}_{r}}={\frac {\hbar }{2im}}{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}\left({\frac {{e}^{-ikr}}{r}}\left({\frac {ik}{r}}-{\frac {1}{{r}^{2}}}\right){{e}^{ikr}}-{\frac {{e}^{ikr}}{r}}\left(-{\frac {ik}{r}}-{\frac {1}{{r}^{2}}}\right){{e}^{-ikr}}\right)={\frac {\hbar {\bar {k}}}{m{{r}^{2}}}}{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}\\\end{aligned}}$

Somit ergibt sich die einfache Form des differenziellen Wirkungsquerschnitts: ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}$

Und der totale Wirkungsquerschnitt folgt zu

${{\sigma }_{tot.}}=\int _{}^{}{d\Omega }{{\left|f({{\bar {e}}_{r}})\right|}^{2}}$

Mit der Streuamplitude

$f({{\bar {e}}_{r}})=-{\frac {2m}{{\hbar }^{2}}}{\frac {1}{4\pi }}\int _{}^{}{{{d}^{3}}r{\acute {\ }}}{{e}^{-ik{\bar {r}}{\acute {\ }}{{\bar {e}}_{r}}}}V({\bar {r}}{\acute {\ }}){{\Psi }^{(+)}}({\bar {r}}{\acute {\ }})$