Eine Vektorraum über einem Körper(K) ist eine Menge V M {\displaystyle {{V}_{M}}} zusammen mit einer inneren Verknüpfung:
+ : V M × V M → V M ( v , w ) → v + w {\displaystyle {\begin{aligned}&+:{{V}_{M}}\times {{V}_{M}}\to {{V}_{M}}\\&\left(v,w\right)\to v+w\\\end{aligned}}}
Und einer äußeren Verknüpfung:
⋅ : K × V M → V M ( λ , v ) → λ ⋅ v {\displaystyle {\begin{aligned}&\centerdot :K\times {{V}_{M}}\to {{V}_{M}}\\&\left(\lambda ,v\right)\to \lambda \centerdot v\\\end{aligned}}}
So dass gilt: [V.1] ( V M , + ) {\displaystyle \left({{V}_{M}},+\right)} ist abelsche Gruppe [V.2] ∀ λ , μ ∈ K , ∀ v , w ∈ V M : ( ( λ + μ ) ⋅ v = λ ⋅ v + μ ⋅ v , λ ⋅ ( v + w ) = λ ⋅ v + λ ⋅ w , λ ⋅ ( μ ⋅ v ) = ( λ ⋅ μ ) ⋅ v , f u ¨ r 1 ∈ K : 1 ⋅ v = v ) {\displaystyle {\begin{matrix}\forall \lambda ,\mu \in K,\forall v,w\in {{V}_{M}}:\\\left({\begin{aligned}&\left(\lambda +\mu \right)\centerdot v=\lambda \centerdot v+\mu \centerdot v,\quad \lambda \centerdot \left(v+w\right)=\lambda \centerdot v+\lambda \centerdot w,\\&\lambda \centerdot \left(\mu \centerdot v\right)=\left(\lambda \centerdot \mu \right)\centerdot v,\quad {\text{f }}\!\!{\ddot {\mathrm {u} }}\!\!{\text{ r }}1\in K:1\centerdot v=v\\\end{aligned}}\right)\\\end{matrix}}}
zusammen mit einer inneren Verknüpfung:
ist abelsche Gruppe
[V.2]
