Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

$\begin{array}{rl}& i\hslash \dot{\mathrm{\Psi }}(\overline{r},t)=\hat{H}\mathrm{\Psi }=\frac{1}{2m}{(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})}^2\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)+V\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)\\ & V=e\mathrm{\Phi }\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& i\hslash \dot{\mathrm{\Psi }}(\overline{r},t)=\frac{1}{2m}(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)+V\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)\\ & =\frac{1}{2m}[-{\hslash }^2\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }+i\hslash e\mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\mathrm{\Psi }\right)+i\hslash e\overline{A}\left(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\right)+e^2{A}^2\mathrm{\Psi }]+V\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)\\ \end{array}$

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

$\overline{A}(\overline{r},t)$

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

$i\hslash \dot{\mathrm{\Psi }}*(\overline{r},t)=\frac{1}{2m}[-{\hslash }^2\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }*-i\hslash e\mathrm{\nabla }(\overline{A}\mathrm{\Psi }*)-i\hslash e\overline{A}(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)+e^2{A}^2\mathrm{\Psi }*]+V\mathrm{\Psi }*(\overline{r},t)$

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

$\begin{array}{rl}& i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2=i\hslash \frac{\partial }{\partial t}(\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)\mathrm{\Psi }*(\overline{r},t))=\mathrm{\Psi }*(\overline{r},t)i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)+\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Psi }*(\overline{r},t)\\ & i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2=i\hslash (\mathrm{\Psi }*(\overline{r},t)\dot{\mathrm{\Psi }}(\overline{r},t)+\dot{\mathrm{\Psi }}*(\overline{r},t)\mathrm{\Psi }(\overline{r},t))=\mathrm{\Psi }*\hat{H}\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }(\hat{H}\mathrm{\Psi })*\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl}& i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }*)+\frac{e^2}{2m}[\mathrm{\Psi }*{\overline{A}}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\overline{A}}^2\mathrm{\Psi }*]+\mathrm{\Psi }*V\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }V\mathrm{\Psi }*\\ & +\frac{i\hslash e}{2m}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\mathrm{\Psi }\right)+\overline{A}\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*+\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }(\overline{A}\mathrm{\Psi }*)+\overline{A}\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi })\\ & \mathrm{\Psi }*{\overline{A}}^2\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }{\overline{A}}^2\mathrm{\Psi }*=0\\ & \mathrm{\Psi }*V\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }V\mathrm{\Psi }*=0\\ & \mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\mathrm{\Psi }\right)+\overline{A}\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*=\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }(\overline{A}\mathrm{\Psi }*)+\overline{A}\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Psi }\overline{A}\mathrm{\Psi }*)\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }*)+\frac{i\hslash e}{m}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Psi }\overline{A}\mathrm{\Psi }*)\\ & \mathrm{\Psi }*\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\Delta }\mathrm{\Psi }*=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)-(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)\\ & (\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)=0\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2=\frac{-{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)+\frac{i\hslash e}{m}\mathrm{\nabla }(\mathrm{\Psi }\overline{A}\mathrm{\Psi }*)\\ & \Rightarrow i\hslash \frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2=\mathrm{\nabla }[\frac{-{\hslash }^2}{2m}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)+\frac{i\hslash e}{m}(\mathrm{\Psi }\overline{A}\mathrm{\Psi }*)]\\ \end{array}$

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

$\frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

$\begin{array}{rl}& \overline{j}=\frac{\hslash }{2mi}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)-\frac{e}{m}(\mathrm{\Psi }\overline{A}\mathrm{\Psi }*)\\ & =\frac{1}{2m}\{\mathrm{\Psi }*(\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})\mathrm{\Psi }+\mathrm{\Psi }(-\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A})\mathrm{\Psi }*\}\\ \end{array}$

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

$\overline{j}=\frac{\hslash }{2mi}(\mathrm{\Psi }*\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }-\mathrm{\Psi }\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }*)$ als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm $-\frac{e}{m}(\mathrm{\Psi }\overline{A}\mathrm{\Psi }*)$ ergänzt wird

$\overline{j}=\frac{1}{2m}\{\mathrm{\Psi }*{\hat{\overline{P}}}_{kin}\mathrm{\Psi }+\mathrm{\Psi }\left({\hat{\overline{P}}}_{kin}\mathrm{\Psi }\right)*\}$

Mit dem kinetischen Impulsoperator

${\hat{\overline{P}}}_{kin}:=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A}$

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

1. Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${\hat{\overline{P}}}_{}:=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }$, wobei klassisch $p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${\hat{\overline{P}}}_{kin}:=\frac{\hslash }{i}\mathrm{\nabla }-e\overline{A}$zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator $\hat{\overline{v}}:=\frac{{\hat{\overline{P}}}_{kin}}{m}$zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator $\hat{\overline{v}}:=\frac{{\hat{\overline{P}}}_{kin}}{m}$NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${\hat{\overline{P}}}_{kin}=m\hat{\overline{v}}$und $\hat{p}\ne m\hat{\overline{v}}$

1. Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

$\frac{\partial }{\partial t}{|\mathrm{\Psi }(\overline{r},t)|}^2+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$mit $\overline{j}=\frac{1}{2}\{\mathrm{\Psi }*\hat{\overline{v}}\mathrm{\Psi }+\mathrm{\Psi }\left(\hat{\overline{v}}\mathrm{\Psi }\right)*\}$

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

$\dot{\rho }+\mathrm{\nabla }\cdot \overline{j}=0$mit $\overline{j}=\rho \cdot \overline{v}$

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form $\overline{j}=\mathrm{\Re }\{\mathrm{\Psi }*\hat{\overline{v}}\mathrm{\Psi }\}$wählen, da hier $\rho \cdot \hat{\overline{v}}$oder $\hat{\overline{v}}\rho$nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

1. In $\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\hat{\overline{p}}-e\overline{A}(\hat{\overline{r}},t))}^2=\frac{1}{2m}({\hat{\overline{p}}}^2-e\hat{\overline{p}}\overline{A}-e\overline{A}\hat{\overline{p}}+e^2{A}^2)$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0$gilt:

$\begin{array}{rl}& (\hat{\overline{p}}\overline{A}+\overline{A}\hat{\overline{p}})\mathrm{\Psi }=\frac{\hslash }{i}[\mathrm{\nabla }\left(\overline{A}\mathrm{\Psi }\right)+\overline{A}\left(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\right)]=\frac{\hslash }{i}[(\mathrm{\nabla }\cdot \overline{A})\mathrm{\Psi }+2\overline{A}\left(\mathrm{\nabla }\mathrm{\Psi }\right)]\\ & \mathrm{\nabla }\cdot \overline{A}=0\\ \end{array}$

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

$(\hat{\overline{p}}\overline{A}+\overline{A}\hat{\overline{p}})\mathrm{\Psi }=2\overline{A}\hat{\overline{p}}\mathrm{\Psi }$

Also in diesem Fall:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\hat{\overline{p}}-e\overline{A}(\hat{\overline{r}},t))}^2=\frac{1}{2m}({\hat{\overline{p}}}^2-2e\overline{A}\hat{\overline{p}}+e^2{A}^2)$

Merke: Die Coulombeichung bringt $\overline{A}$und $\hat{p}$zum Vertauschen!

1. Im Gaußschen Maßsystem gilt:

$\hat{H}=\frac{1}{2m}{(\hat{\overline{p}}-\frac{e}{c}\overline{A})}^2$