Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD

Der Artikel Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik) basiert auf der Vorlesungsmitschrift von Franz- Josef Schmitt des 1.Kapitels (Abschnitt 4) der Quantenmechanikvorlesung von Prof. Dr. E. Schöll, PhD.

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Schrödingergleichung für Teilchen in Potenzialen V und A (beide reell):

\begin{matrix} i ℏ \dot{Ψ} (\bar{r}, t) = \hat{H} Ψ = \frac{1}{2 m} {(\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A})}^{2} Ψ (\bar{r}, t) + V Ψ (\bar{r}, t) \\ V = e Φ \end{matrix}

\begin{matrix} i ℏ \dot{Ψ} (\bar{r}, t) = \frac{1}{2 m} (\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) (\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) Ψ (\bar{r}, t) + V Ψ (\bar{r}, t) \\ = \frac{1}{2 m} [- ℏ^{2} Δ Ψ + i ℏ e \nabla (\bar{A} Ψ) + i ℏ e \bar{A} (\nabla Ψ) + e^{2} A^{2} Ψ] + V Ψ (\bar{r}, t) \end{matrix}

Dabei sind alle Terme außer dem ersten und dem letzten (V) magnetfeldabhängig, also abhängig von

\bar{A} (\bar{r}, t)

Die Gleichung kann komplex konjugiert werden:

i ℏ \dot{Ψ} * (\bar{r}, t) = \frac{1}{2 m} [- ℏ^{2} Δ Ψ * - i ℏ e \nabla (\bar{A} Ψ *) - i ℏ e \bar{A} (\nabla Ψ *) + e^{2} A^{2} Ψ *] + V Ψ * (\bar{r}, t)

Damit ergibt sich eine Bewegungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte:

\begin{matrix} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = i ℏ \frac{\partial}{\partial t} (Ψ (\bar{r}, t) Ψ * (\bar{r}, t)) = Ψ * (\bar{r}, t) i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (\bar{r}, t) + Ψ (\bar{r}, t) i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ * (\bar{r}, t) \\ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = i ℏ (Ψ * (\bar{r}, t) \dot{Ψ} (\bar{r}, t) + \dot{Ψ} * (\bar{r}, t) Ψ (\bar{r}, t)) = Ψ * \hat{H} Ψ - Ψ (\hat{H} Ψ) * \end{matrix}

\begin{matrix} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} (Ψ * Δ Ψ - Ψ Δ Ψ *) + \frac{e^{2}}{2 m} [Ψ * {\bar{A}}^{2} Ψ - Ψ {\bar{A}}^{2} Ψ *] + Ψ * V Ψ - Ψ V Ψ * \\ + \frac{i ℏ e}{2 m} (Ψ * \nabla (\bar{A} Ψ) + \bar{A} Ψ \nabla Ψ * + Ψ \nabla (\bar{A} Ψ *) + \bar{A} Ψ * \nabla Ψ) \\ Ψ * {\bar{A}}^{2} Ψ - Ψ {\bar{A}}^{2} Ψ * = 0 \\ Ψ * V Ψ - Ψ V Ψ * = 0 \\ Ψ * \nabla (\bar{A} Ψ) + \bar{A} Ψ \nabla Ψ * = Ψ \nabla (\bar{A} Ψ *) + \bar{A} Ψ * \nabla Ψ = \nabla (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} (Ψ * Δ Ψ - Ψ Δ Ψ *) + \frac{i ℏ e}{m} \nabla (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ Ψ * Δ Ψ - Ψ Δ Ψ * = \nabla (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) - (\nabla Ψ * \nabla Ψ - \nabla Ψ \nabla Ψ *) \\ (\nabla Ψ * \nabla Ψ - \nabla Ψ \nabla Ψ *) = 0 \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \frac{- ℏ^{2}}{2 m} \nabla (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) + \frac{i ℏ e}{m} \nabla (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ \Rightarrow i ℏ \frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} = \nabla [\frac{- ℏ^{2}}{2 m} (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) + \frac{i ℏ e}{m} (Ψ \bar{A} Ψ *)] \end{matrix}

Diese Gleichung hat die Form einer Kontinuitätsgleichung der lokalen Wahrscheinlichkeitserhaltung für die Wahrscheinlichkeitsdichte quantenmechanischer Wellenfunktionen im elektromagnetischen Feld

\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} + \nabla \cdot \bar{j} = 0

Die Wahrscheinlichkeitsstromdichte lautet:

\begin{matrix} \bar{j} = \frac{ℏ}{2 m i} (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *) - \frac{e}{m} (Ψ \bar{A} Ψ *) \\ = \frac{1}{2 m} {Ψ * (\frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) Ψ + Ψ (- \frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}) Ψ *} \end{matrix}

Denn: Wenn die Kontinuitätsgleichung $\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} + \nabla \cdot \bar{j} = 0$ erfüllt sein soll, so muss der Wahrscheinlichkeitsstrom die obige Form haben! Die Kontinuitätsgleichung erhält man sauber durch Anwenden der Schrödingergleichung auf Die Wahrscheinlichkeit! Dabei bezeichnet man

\bar{j} = \frac{ℏ}{2 m i} (Ψ * \nabla Ψ - Ψ \nabla Ψ *)

als die freie Wahrscheinlichkeitsstromdichte, die im elektromagnetischen Potenzial durch den Potenzialterm

- \frac{e}{m} (Ψ \bar{A} Ψ *)

ergänzt wird

\bar{j} = \frac{1}{2 m} {Ψ * {\hat{\bar{P}}}_{k i n} Ψ + Ψ ({\hat{\bar{P}}}_{k i n} Ψ) *}

Mit dem kinetischen Impulsoperator

{\hat{\bar{P}}}_{k i n} := \frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}

Führt man den kinetischen Impuls ein, so ist die Form analog zur Darstellung der freien Wahrscheinlichkeitsstromdichte verallgemeinert! Bemerkungen

Neben dem kanonischen Impulsoperator: ${\hat{\bar{P}}}_{} := \frac{ℏ}{i} \nabla$ , wobei klassisch $p_{i} = \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}$ haben wir es nun mit dem kinetischen Impulsoperator ${\hat{\bar{P}}}_{k i n} := \frac{ℏ}{i} \nabla - e \bar{A}$ zu tun. Dieser hängt mit dem Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}} := \frac{{\hat{\bar{P}}}_{k i n}}{m}$ zusammen, wobei der Geschwindigkeitsoperator $\hat{\bar{v}} := \frac{{\hat{\bar{P}}}_{k i n}}{m}$ NICHT die Zeitableitung des Orts- Operators repräsentiert.

Also: ${\hat{\bar{P}}}_{k i n} = m \hat{\bar{v}}$ und $\hat{p} \neq m \hat{\bar{v}}$

Mit Hilfe des Geschwindigkeitsoperators lautet die Kontinuitätsgleichung

\frac{\partial}{\partial t} {| Ψ (\bar{r}, t) |}^{2} + \nabla \cdot \bar{j} = 0

mit

\bar{j} = \frac{1}{2} {Ψ * \hat{\bar{v}} Ψ + Ψ (\hat{\bar{v}} Ψ) *}

Dies ist ganz analog zur Kontinuitätsgleichung für klassische Dichten:

\dot{ρ} + \nabla \cdot \bar{j} = 0

mit

\bar{j} = ρ \cdot \bar{v}

Quantenmechanisch muss man lediglich die symmetrische reelle Form $\bar{j} = Re {Ψ * \hat{\bar{v}} Ψ}$ wählen, da hier $ρ \cdot \hat{\bar{v}}$ oder $\hat{\bar{v}} ρ$ nicht wohldefiniert ist. (Worauf wirkt der Operator ?)

In $\hat{H} = \frac{1}{2 m} {(\hat{\bar{p}} - e \bar{A} (\hat{\bar{r}}, t))}^{2} = \frac{1}{2 m} ({\hat{\bar{p}}}^{2} - e \hat{\bar{p}} \bar{A} - e \bar{A} \hat{\bar{p}} + e^{2} A^{2})$ ist die Reihenfolge der Faktoren zu beachten!

Nur in der Coulomb- Eichung $\nabla \cdot \bar{A} = 0$ gilt:

\begin{matrix} (\hat{\bar{p}} \bar{A} + \bar{A} \hat{\bar{p}}) Ψ = \frac{ℏ}{i} [\nabla (\bar{A} Ψ) + \bar{A} (\nabla Ψ)] = \frac{ℏ}{i} [(\nabla \cdot \bar{A}) Ψ + 2 \bar{A} (\nabla Ψ)] \\ \nabla \cdot \bar{A} = 0 \end{matrix}

Im Spezialfall der Coulomb- Eichung. Somit:

(\hat{\bar{p}} \bar{A} + \bar{A} \hat{\bar{p}}) Ψ = 2 \bar{A} \hat{\bar{p}} Ψ

Also in diesem Fall:

\hat{H} = \frac{1}{2 m} {(\hat{\bar{p}} - e \bar{A} (\hat{\bar{r}}, t))}^{2} = \frac{1}{2 m} ({\hat{\bar{p}}}^{2} - 2 e \bar{A} \hat{\bar{p}} + e^{2} A^{2})

Merke: Die Coulombeichung bringt $\bar{A}$ und $\hat{p}$ zum Vertauschen!

Im Gaußschen Maßsystem gilt:

\hat{H} = \frac{1}{2 m} {(\hat{\bar{p}} - \frac{e}{c} \bar{A})}^{2}

Kontinuitätsgleichung (Quantenmechnik)

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